Дроби

Первой дробью, с которой  познакомились люди, была половина. Следующей дробью была треть. И у  египтян, и у вавилонян были специальные  обозначения для дробей 1/3 и 2/3 , не совпадавшие с обозначениями  для других дробей. 
 
Египтяне все дроби старались записать как суммы долей, то есть дробей вида 1/n. Например, вместо 8/15 они писали 1/3 + 1/5. Единственным исключением была, как мы сказали дробь 2/3. Иногда это бывало удобно. В папирусе Ахмеса есть задача: 
"Разделить 7 хлебов между 8 людьми". 
Если резать каждый хлеб на 8 частей, придется провести 49 разрезов. 
 
А по-египетски эта задача решалась так. Дробь 7/8 записывали в виде долей: 1/2 + 1/4 + 1/8. Значит, каждому человеку надо дать полхлеба, четверть хлеба и восьмушку хлеба; поэтому четыре хлеба разрезаем пополам, два хлеба - на 4 части и один хлеб - на 8 долей, после чего каждому даем его часть. 
 
Но складывать такие дроби было неудобно. Ведь в оба слагаемых могут входить одинаковые доли, и тогда при сложении появится дробь вида 2/n. А таких дробей египтяне не допускали. Поэтому папирус Ахмеса начинается с таблицы, в которой все дроби такого вида от 2/5 до 2/99 записаны в виде сумм долей. С помощью этой таблицы выполняли и деление чисел. Вот, например, как 5 делили на 21:

Умели египтяне также умножать и делить дроби. Но для умножения  приходилось умножать доли на доли, а потом, быть может, снова использовать таблицу. Еще сложнее обстояло дело с делением. Совсем иным путем пошли  вавилоняне. Они работали только с  шестидесятеричными дробями. Так как знаменателями таких дробей служат числа 60, 60², 60³ и т. д., то такие дроби, как 1/7, нельзя было точно выразить через шестидесятеричные: выражали через них приближенно. Так как система счисления у вавилонян была позиционной, они действовали с шестидесятеричными дробями с помощью тех же таблиц, что и для натуральных чисел. 
 
Шестидесятеричными дробями, унаследованными от Вавилона, пользовались греческие и арабские математики и астрономы. Но было неудобно работать над натуральными числами, записанными по десятичной системе, и дробями, записанными по шестидесятеричной. А работать с обыкновенными дробями было уж совсем трудно. Поэтому голландский математик Симон Стевин предложил перейти к десятичным дробям. Сначала их писали весьма сложно, но постепенно перешли к современной записи. Сейчас ЭВМ используют двоичные дроби, которые когда-то применяли и на Руси: половина, четь, полчети, пол-полчети и т. д. 
 
Интересная система дробей была в Древнем Риме. Она основывалась на делении на 12 долей единицы веса, которая называлась асс. Двенадцатую долю асса называли унцией. А путь, время и другие величины сравнивали с наглядной вещью - весом. Например, римлянин мог сказать, что он прошел семь унций пути или прочел пять унций книги. При этом, конечно, речь не шла о взвешивании пути или книги. Имелось в виду, что пройдено 7/12 пути или прочтено 5/12 книги. 
 
А для дробей, получающихся сокращением дробей со знаменателем 12 или раздроблением двенадцатых долей на более мелкие, были особые названия. Даже сейчас иногда говорят: "Он скрупулезно изучил этот вопрос". Это значит, что вопрос изучен до конца, что ни одной самой малой неясности не осталось. А происходит странное слово "скрупулезно" от римского названия 1/288 асса - "скрупулус". В ходу были и такие названия: "семис" - половина асса, "секстане" - шестая его доля, "семиунция" - полунции, то есть 1/24 асса, и т. д. Всего применялось 18 различных названий дробей. Чтобы работать с дробями, надо было для этих дробей помнить и таблицу сложения, и таблицу умножения. Поэтому римские купцы твердо знали, что при сложении триенса (1/3 асса) и секстанса получается семис, а при умножении беса (2/3 асса) на сескунцию (3/2 унции, то есть 1/8 асса) получается унция. Для облегчения работы составлялись специальные таблицы, некоторые из них дошли до нас. 
 
Из-за того что в двенадцатеричной системе нет дробей со знаменателями 10 или 100, римляне затруднялись делить на 10, 100 и т. д. При делении 1001 асса на 100 один римский математик сначала получил 10 ассов, потом раздробил асе на унции и т. д. Но от остатка он не избавился. Чтобы не иметь дела с такими вычислениями, римляне стали использовать проценты. Они брали с должника лихву (то есть деньги сверх того, что было дано в долг). При этом говорили: не "лихва составит 16 сотых суммы долга", а "на каждые 100 сестерциев долга заплатишь 16 сестерциев лихвы". И сказано то же самое, и дробей использовать не пришлось! Так как слова "на сто" звучали по-латыни "про центум", то сотую часть и стали называть процентом. И хотя теперь дроби, а особенно десятичные дроби, известны всем, проценты все-таки применяются и в финансовых расчетах, и в планировании, то есть в различных областях человеческой деятельности. А раньше применяли еще и промилли - так называли тысячные доли (по-латыни "про милле" - на тысячу). В отличие от процентов, которые обозначают знаком %, промилли обозначают %_о. 
 
В греческих сочинениях по математике дробей не встречалось. Греческие ученые считали, что математика должна заниматься только целыми числами. Возиться с дробями они предоставляли купцам, ремесленникам, а также астрономам, землемерам, механикам и другому "черному люду". Но старая пословица гласит: "Гони природу в дверь - она влетит в окно". Поэтому и в строго научные сочинения греков дроби проникали "с заднего хода". Кроме арифметики и геометрии, в греческую науку входила музыка. Музыкой греки называли учение о гармонии. Это учение опиралось на ту часть нашей арифметики, в которой говорится об отношениях и пропорциях. Греки знали: чем длиннее натянутая струна, тем ниже получается звук, который она издает, а короткая струна издает высокий звук. Но у всякого музыкального инструмента не одна, а несколько струн. Для того чтобы все струны при игре звучали "согласно", приятно для слуха, длины звучащих частей их должны быть в определенном отношении. Поэтому учение об отношениях и дробях использовалось в греческой теории музыки. 
 
Современную систему записи дробей с числителем и знаменателем создали в Индии. Только там писали знаменатель сверху, а числитель - снизу и не писали дробной черты. А записывать дроби в точности, как сейчас, стали арабы. Интегрированный урок (математика + история) по теме "Дроби. Древневосточные цивилизации"

Кононова  Анна Юрьевна, учитель математики 
Цыганкова Марина Юрьевна, учитель истории

Статья отнесена к разделу: Преподавание математики, Преподавание истории и обществознания

 

Главная дидактическая  цель.

Обобщить и систематизировать  знания учащихся по теме урока.

Обучающие цели урока.

Выявить качество и уровень овладения  знаниями умениями и навыками, полученными  на предыдущих уроках, основами научного мировоззрения через интеграцию истории и математики.

Развивающие цели урока.

Развитие монологической речи учащихся, вопросно-ответной формы; развивать  умение объяснять особенности, закономерности, анализировать, сопоставлять, сравнивать; развивать коммуникативные навыки при работе в группах, развивать  познавательный интерес.

Воспитывающие цели урока.

Воспитание положительного отношения  к знаниям к процессу учения. Создание условий для воспитания гуманного  чувства отношения человеку к  человеку; для сотрудничества в группе.

Формы организации познавательной деятельности учащихся на уроке.

Фронтальная, коллективная, групповая.

Структура урока.

1. Мотивационная беседа с последующей постановкой цели.
2. Сообщение правил игры.
3. Входной контроль – учебные действия, в процессе которых происходит актуализация опорных знаний.
4. Игровые действия, в процессе которых раскрывается познавательное содержание; происходит воспроизведение и коррекция учебных знаний; проводится диагностика усвоения системы знаний и умений ее применения для выполнения практических заданий стандарта с переходом на более высокий уровень.
5. Итог игры, подведение итогов урока.
6. Разноуровневое домашнее задание.
7. Рефлексия.

Ход урока.

1. Мотивационная беседа  с последующей постановкой цели.

Согласование целей с учащимися. (слайды №1 и №2)

2. Сообщение правил игры.

На этом этапе команды знакомятся с правилами игры, разыгрывают  очередность задаваемых вопросов и  капитаны представляют свои команды.

Жюри получает инструкции о правилах заполнения итоговых листов, в которых  жюри фиксирует количество баллов за каждый правильный ответ. (слайд №3)

3. Входной контроль –  учебные действия, в процессе  которых происходит актуализация  опорных знаний.

1 вопрос. Об истории, каких древневосточных  цивилизаций мы говорили на  уроках? 
2 вопрос. Что вы знаете об обыкновенных дробях? (слайд № 4)

4. Игровые действия, в  процессе которых раскрывается  познавательное содержание; происходит  воспроизведение и коррекция  учебных знаний; проводится диагностика  усвоения системы знаний и  умений ее применения для выполнения  практических заданий стандарта  с переходом на более высокий  уровень.

1). Итак, мы начинаем.

Текст задания выводится на экран  с использованием мультимедиапроекора.

Задание № 1. (слайд № 5)

Длина отрезка АВ равна 2 см. Найдите  длину отрезка CD, если его длина  составляет от длины отрезка АВ.

Вопрос  № 1. С какими священными животными, охранявшими вход в столицу Персии, связано число 5?

В подтверждение правильного ответа просматриваем слайды 6,7,8.

2). После круга вопросов учителей, вопрос задают ученики. (слайд № 9)

3). Вопрос учителей.

Учащиеся получают задания на карточках.

Задание № 2. (слайд № 10)

Расшифруйте названия рек и скажите  по территории, каких древневосточных  государств они протекают?

Команда 1.

Найти НОД(6и8) Решить уравнение: 12х-6х = 18 Радиус окружности равен 2см 6мм. Найти диаметр. Шифр а = 46  н = 3  к = 5  и = 2  д = 52  о = 4

1) Найти НОК(11и3)  2) Найти   от 27  3) Упростить 2х-2х  4) Вычислить 64 : 4 Шифр а = 19  т = 33  е = 9  г = 0  в = х  и = 18  р = 16

Команда 2.

Найти НОД(13и7) Решить уравнение: 8у-4у = 12 Диаметр окружности равен 15мм. Найти радиус. Шифр с = 4  д = 30  е = 4  н = 3  и = 1  а = 51

1) Найти НОК(6и8)  2) Найти   от 10  3) Упростить 7х-7х  4) Вычислить 51 : 3 Шифр к = х  р = 17  г = 0  м = 48  т = 24  и = 4  ф = 21

Команда 3.

Найти НОД(4и2) Решить уравнение: 3•х = 9 Радиус окружности равен 2см. Найти диаметр. Шифр е = 8  л = 6  и = 2  а = 1  д = 4  н = 3

1) Найти НОК(3и4)  2) Найти   от 8  3) Упростить 3х-3х  4) Вычислить 48 : 3 Шифр т = 12  и = 2  р = 16  а = 4  г = 0  н = 32  п = 21

Во время ответа ученик должен показать реки на карте.

4). Круг вопросов учащихся.

5). Вопрос учителей.

Задание № 3. (слайд № 11. Ответы на слайдах 12,13).

Исходя из деления древне-индийского общества на социальные слои составьте  две дроби (составляя дроби учитывайте иерархическое строение общества).

Вопрос  № 3. (слайд № 14)

Правильные или неправильные дроби  получились? Почему? 
Как это соотносится с морально-этическими нормами? 
Кто из мыслителей призывал не делать ничего того, чего не пожелал бы себе?

6). Вопрос учителей.

Учащиеся получают задания на карточках.

Задание № 4. (слайд № 15)

Составьте числовое выражение и  найдите его значение.

Команда 1.  Задание № 4 Составьте числовое выражение  и найдите его значение. Если из   доли года Взятия Вавилона Персами вычесть   доли года Захвата Египта Персами, то получится…

Команда 2.  Задание № 4. Составьте числовое выражение  и найдите его значение. Если из   доли года Разрушения Ниневии - Столицы Ассирии вычесть   доли года Захвата Египта Персами, то получится…

Команда 3.   Задание № 4. Составьте числовое выражение  и найдите его значение. Если к   доли первого года Правления Хаммурапи в Вавилонии прибавить   долю года Разрушения Ниневии – Столицы Ассирии, то получится…

7). Круг вопросов учащихся.

8). Вопрос учителей.

Задание № 5. (слайд № 16)

Просмотр видеофрагмента.

О какой древневосточной цивилизации  идет речь в этом фрагменте?

Вопрос  № 5.

Постарайтесь найти изобретение  этой цивилизации, которое дает представление  о геометрической фигуре. (Ответ: компас и т. п.) (слайд № 17)

9). Вопрос учителей.

Задание № 6. (слайд № 18)

Радиус окружности равен 11. Найти  диаметр.

Вопрос  № 6.

Как полученное вами число может  быть связано с финикийской цивилизацией?

Ответ слайд № 19.

5. Итог игры, подведение  итогов урока. (слайд № 20)

Слово предоставляется жюри.

Выставление отметок.

I место – “5” 
II место – “4” 
III место – жетоны

6. Разноуровневое домашнее задание. (слайд № 21)

Разноуровневое домашнее задание.

I уровень –  кроссворд. 
II уровень - таблица. 
III уровень – таблица фраз с пропущенными словами - определениями.

7. Рефлексия.