Методы моделирования

Может случиться так, что  для одного или нескольких факторов неравенство не выполняется. В подобных ситуациях многие исследователи  исключают соответствующие факторы  из модели. Однако к исключению из модели переменных следует относиться осторожно. Ведь таким образом из модели может  быть исключена переменная, оказывающая  существенное влияние на показатель . Может случиться ситуация, когда несколько частных коэффициентов корреляции окажутся незначимыми, и исключенная вместе с другими переменная с начальными незначимым коэффициентом могла бы иметь значимый коэффициент в сокращенной модели, если бы она была там оставлена.  При изменении состава системы «показатель-факторы» будут изменяться матрицы и , а значит, другие значения будут иметь и частные коэффициенты корреляции.

Следует также иметь в  виду, что если экономическая теория и интуиция подсказывают, что переменная должна быть в списке существенных переменных, а двухсторонний критерий говорит об обратном, то можно использовать односторонние критерии значимости, если заранее известно направление действия (положительное или отрицательное) переменной на показатель . Использование односторонних критериев значимости вместо двусторонних  значительно уменьшает вероятность допущения ошибки второго рода.

С помощью корреляционного  анализа системы «показатель-факторы» мы только определяем кандидатов на исключение из числа объясняющих переменных. Какие из них должны быть исключены  из модели может подсказать корреляционный анализ системы «факторы».

 

Корреляционный анализ системы  «факторы»

Рассмотрим матрицу

 

составленную из выборочных парных коэффициентов корреляции системы  «факторы». Очевидно, она симметрическая и получается из матрицы зачеркиванием первой строки и первого столбца. В предположении, что матрица невырождена , существует обратная матрица

 

через элементы, которой выражаются выборочные частные коэффициенты корреляции системы «факторы». Имеем

 

Значимость коэффициентов проверяется по двустороннему критерию при уровне значимости a и числе степеней свободы . Если для одного или нескольких коэффициентов выполняется , это будет означать наличие в модели проблемы мультиколлинеарности (зависимости между факторами). В этом случае спецификация переменных должна быть пересмотрена заново. Количество объясняющих переменных необходимо уменьшить.

Каким образом осуществлять новую спецификацию переменных? Представляется разумным последовательно уменьшать  количество переменных на единицу и на каждом шаге заново проводить корреляционный анализ системы “показатель-факторы” и системы “факторы”. Здесь на каждом этапе могут возникать следующие ситуации.

1. Только один из коэффициентов оказался значимым. В этом случае из двух переменных и из модели исключается та, которой соответствует незначимый выборочный коэффициент корреляции. Случай, когда обе переменные ранее оказались существенными маловероятен. Если же обе переменные ранее попали в список кандидатов на исключение из модели, то должна сработать интуиция исследователя. Можно отработать также оба варианта.
2. Сразу несколько коэффициентов значимы. Здесь может возникнуть большая свобода в принятии решения о том, какую из переменных удалить. Если есть сомнения в правильности действий, необходимо просчитывать разные варианты.

Может случиться так, что  спецификация уравнения модели осуществлена неправильно, и тогда корреляционный анализ может привести к ложным выводам  относительно спецификации переменных. Поэтому необходимо проверять не только значимость выборочных частных  коэффициентов корреляции, но и направленность связи между переменными, согласуя ее с экономической теорией.

В решении проблемы спецификации модели может помочь регрессионный  анализ. Иногда, вместо того, чтобы исключать  из модели одну из двух или нескольких переменных, следует подумать о сохранении в модели сразу всех переменных, например, путем линейного ограничения  на параметры. Количество объясняющих  переменных будет уменьшено, однако данные будут использованы по всем переменным. Такая процедура, как  правило, приводит к повышению точности модели.

Регрессионный анализ модели

Будем исходить из линейной модели

 

которая на базисных данных в векторной форме принимает вид

 

Оцененная регрессия 

 

где вычислены ее основные характеристики.

Вектор МНК-оценок удовлетворяет системе линейных уравнений

 

и может быть получен по формуле

 

Оцененная ковариационная матрица  оценок коэффициентов регрессии имеет вид

 

где –оценки дисперсии остатков, равная

 

На диагонали матрицы  находятся оценки дисперсий оценок , корни из которых дают стандартные ошибки коэффициентов регрессии

 

Оцененная ковариационная матрица  значений на базисных  данных имеет вид

 

На ее диагонали находятся  оценки ,, корни из которых представляют собой стандартные ошибки значений регрессии на базисных данных.

Регрессионный анализ  позволяет  проверить значимость объясняющих  переменных в уравнении регрессии. Для этого можно использовать двусторонний критерий значимости коэффициентов  регрессии

 

где – критическое значение, вычисленное по таблице Стьюдента при уровне значимости α и числе степеней свободы . Этот критерий эквивалентен критерию Фишера, и может быть осуществлена проверка результатов корреляционного анализа. В случае необходимости можно использовать односторонние критерии значимости коэффициентов регрессии, если из экономических соображений или из опытных данных имеются большие аргументы в пользу положительного или отрицательного направления действия объясняющей переменной на показатель .

Предположим, что нами оценена  модель (2.10)

 

Значимость регрессионной  модели в целом определяется согласно критерию

 

где — критическое значение, при уровне значимости и числах степеней свободы и . Статистика связана с коэффициентом детерминации соотношением

 

Пусть корреляционный и регрессионный  анализы модели, а также сокращенных  версий, получающихся после последовательного  удаления из исходной модели на наш  взгляд несущественных переменных привели  нас к модели

 

Значимость суммарного вклада исключенных переменных можно проверить с помощью -статистики

 

которую в данном случае можно  переписать в эквивалентной форме

 

Если выполняется неравенство

 

где – критическое значение, равное соответствующему квантилю распределения Фишера  при уровне значимости и числах степеней свободы и , то мы делаем вывод о значимости совместного вклада исключенных переменных в “длинную” регрессию. В этом случае “короткая” регрессия должна быть скорректирована, спецификация переменных должна быть пересмотрена заново.

Проведение корреляционного анализа

Проведем корреляционный анализ системы «показатель-факторы» для заданного варианта задания.

Сначала вычислим полную корреляционную матрицу, составленной из выборочных парных коэффициентов корреляции. Для этого необходимо провести некоторые предварительные расчеты.

Матрица из примет вид:

 

Зная  можно рассчитать матрицу :

 

Используя которую можно  рассчитать полную корреляционную матрицу :

 

Анализ матрицы  свидетельствует о сильной значимости всех выборочных парных коэффициентов корреляции, ввиду высоких значений парных коэффициентов корреляции, являющихся элементами этой матрицы.

Систему «показатель-факторы» будем характеризовать выборочными  частными коэффициентами корреляции . Для их вычисления рассчитаем значения матрицы :

 

Зная ее рассчитаем искомые  частные коэффициенты корреляции:

 

Для того, чтобы определить, какие факторы значимо влияют на изучаемый показатель найдем . При уровне значимости и числе степеней свободы , . Тогда из критерия , видим, что из трех факторов только материальные затраты на выпуск продукции не значимо влияют на стоимость выпущенной продукции (при исключении влияния других факторов).

Проанализируем теперь систему  «факторы».

Матрица будет иметь вид:

 

Тогда, рассчитав матрицу , через элементы которой выражаются выборочные частные коэффициенты корреляции системы «факторы», получим:

 

и найдем матрицу

 

элементы которой указывают  на наличие в линейной модели проблемы мультиколлинеарности, поскольку значение превосходит

Но так как фактор у нас незначим его можно исключить из линейной модели, что, возможно, позволит избежать проблемы мультиколлинеарности и проблемы присутствия в модели незначимого фактора.

Тогда вместо нашей модели следует употреблять двухфакторную функцию регрессии:

.

В этом случае система «показатель-фактор»  будет иметь вид .

Проводя расчеты, аналогично приведенным выше, получим:

1. Частные коэффициенты корреляции  будут равны: 
   

Для того, чтобы определить, какие факторы значимо влияют на изучаемый показатель найдем . При уровне значимости и числе степеней свободы , . Тогда из критерия , приходим к выводу о значимости всех факторов системы.

2. Матрица выборочных частных коэффициентов корреляции системы «факторы» будет равна:

 

элементы которой указывают  на наличие в линейной модели проблемы мультиколлинеарности, поскольку значение превосходит

Таким образом, исключение из модели фактора  все равно не решает проблему наличия мультиколлинеарности в указанной системе.

Убедимся теперь, что регрессионный  анализ линейной модели приведет к  аналогичным результатам. Модель имеет  вид:

.

Рассчитав отклонение функции  регрессии от заданных значений показателя , с помощью формулы (2.16) найдем

 

 

Воспользовавшись результатами предыдущих расчетов из главы один, найдем

 

 

 

Откуда     

Тогда уравнение регрессии  перепишется в виде

 

 

 

Проверим значимость коэффициентов  уравнения регрессии с помощью  критерия , где находим при и числе степеней свободы , .

 

Тогда проверяя критерий, находим что только коэффициент при не значим, что говорит о незначимости вклада фактора в уравнение регрессии. Заметим, что этот результат совпадает с результатами корреляционного анализа  и свидетельствует о правильности проведенных расчетов.

Проверим значимость регрессионной  модели в целом. Получим:

 

что намного превосходит  и значит уравнение регрессии в целом значимо. 

3 Многофакторные производственные  функции

Функция

 

называется производственной функцией Кобба-Дугласа. Для нее  эластичность замещения ресурсов , т.е. при увеличении капиталовооруженности производства на 1% предельная норма их замещения также увеличивается на 1% независимо от объемов используемых ресурсов.

Для функции Кобба-Дугласа  предельные производительности ресурсов

 

 

Коэффициенты эластичности выпуска по затратам ресурсов

 

 

Как и следовало ожидать, сумма коэффициентов эластичности

 

Из  следует, что предельные производительности обоих ресурсов положительны, т.е. увеличение затрат K и L приводит к росту выпуска. Предельные производительности обоих ресурсов прямо пропорциональны их средним производительностям, причем, коэффициентом пропорциональности в каждом случае служит показатель степени соответствующего ресурса.

 

В процессе производства, описываемом  функцией Кобба-Дугласа, ресурсы взаимозаменяемы, причем с ростом затрат одного ресурса  высвобождается все большее количество другого. Линии уровня функции имеют вид, представленный на рисунке.

Формула Кобба-Дугласа  является частным случаем более общей формулы:

 

где показатели эластичности выпуска по затратам капитала и труда 

 

не связаны между собой. Можно предположить, что обе величины a и b находятся между и . Показатели a и b больше нуля, так как увеличение затрат ресурсов и должно вызвать рост выпуска . С другой стороны, a и b меньше единицы, так как разумно предположить, что увеличение затрат и приводит к более медленному росту выпуска продукции (затраты других ресурсов предполагаются постоянными).

Производственная функция  Кобба–Дугласа (3.5) является однородной, причем

 

Если по отдельности показатели эластичности a и b указывают на процентное увеличение (или уменьшение) выпуска при однопроцентных колебаниях величин капитала и труда , то сумма ab отразит уже общую реакцию производства на указанные изменения затрат. Степень однородности nab характеризует эффект от масштаба производства.

Пусть,  например, затраты  и возросли в пропорции l, т.е. расход и капитала, и труда увеличился на . Тогда новый уровень выпуска

.

При ab имеем постоянный эффект от масштаба производства ( увеличивается в той же пропорции, что и , и ), наблюдается постоянная отдача факторов. Если ab, то рост производства превышает отметку. В подобных случаях (при возрастании и в некоторой пропорции выпуск растет в большей пропорции) говорят о возрастающем эффекте от масштаба производства или положительном эффекте масштаба. Его экономический смысл заключается в повышении эффективности производства под воздействием концентрации ресурсов, кооперации труда. Если же ab, то рост выпуска не достигает отметки. Налицо убывающий эффект от масштаба производства ( растет в меньшей пропорции, чем и ) или отрицательный эффект масштаба: наращивание затрат ресурсов оборачивается снижением их продуктивности. Подобное бывает, например, при переконцентрации производства, когда его размеры выходят за оптимальные границы.