Методы моделирования

Министерство образования и  науки, молодежи и спорта Украины 

Сумской государственный университет

Кафедра моделирования сложных  систем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Курсовая работа

по дисциплине «Моделирование экономических, экологических и социальных процессов»

по теме: «Исследование заданного социально-экономического процесса с помощью практического применения эконометрического моделирования»

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Выполнила:                  студентка

группы ИН-83

Чуйко И.Ю.

 

Проверил:         Назаренко А. М.

 

 

 

 

 

 

Сумы 2012 

Содержание

 

Постановка задачи 3

Введение 5

1 Линейные регрессионные уравнения 6

2 Корреляционный анализ системы 13

3 Многофакторные производственные функции 23

Список используемой литературы 30

Приложение. Код программы 31

 

 

Постановка задачи

Провести исследование заданного  социально-экономического процесса с  помощью практического применения эконометрического моделирования, используя его для качественного  и количественного оценивания социально- экономических явлений, и нахождение модели, наиболее адекватно описывающей  предложенный процесс.

По ходу выполнения работы должны быть раскрыты следующие вопросы.

1. Теория применения линейных производственных функций (ПФ) вида

 

при моделировании социально-экономических  процессов.

2. Практическое применение линейных производственных функций при моделировании заданного процесса на примере данных своего варианта:

а) построение однофакторной, двухфакторной и трехфакторной ПФ и оценивание их качества приближения с помощью коэффициента детерминации ;

б) формулировка выводов, объясняющих полученные результаты.

3. Теоретические основы проведения корреляционного анализа систем «показатель — факторы» и «факторы».
4. Проведение корреляционного анализа систем «показатель-факторы» и «факторы» на данных своего варианта.
5. Проведение регрессионного анализа линейной трехфакторной ПФ.
6. Теория применения ПФ типа Кобба-Дугласа вида

 

при моделировании  социально-экономических процессов.

7. Построение ПФ типа Кобба-Дугласа на примере данных своего варианта и оценивание ее качества приближения с помощью коэффициента детерминации .
8. Проведение корреляционного и регрессионного анализа линеаризированной ПФ типа Кобба-Дугласа.
9. Сравнение линейной модели и функции типа Кобба-Дугласа, выявление наиболее адекватной модели и описание ее с экономической точки зрения.

В таблице приведены статистические данные о стоимости выпущенной продукции (, тыс. грн), объеме основных фондов (, тыс. грн), материальных затратах на выпуск продукции (,тыс. грн), фонде заработной платы (, тыс. грн) некоторого предприятия за несколько лет.

Для заданного варианта необходимо выполнить задания курсовой работы (приведенные выше), придерживаясь  требований по содержанию и правил оформления, которые даны ниже.

Вариант № 99

	454.72	496.59	588.72	597.19	664.02	749.32	790.78	862.93	928.91
	84.02	93.70	110.91	116.34	123.48	144.62	155.95	160.84	176.90
	68.59	89.88	97.99	115.53	135.02	145.68	171.22	179.79	211.15
	26.38	32.19	37.72	41.63	49.21	53.51	59.70	68.07	73.92

 

 

Введение

Данная курсовая работа должна помочь систематизировать, закрепить  и расширить теоретические знания, предоставляет возможность применить  на практике совокупности математических методов, используемых для количественной оценки социально-экономических явлений  и процессов,  подготовить к  прикладным исследованиям в области  экономики, развить аналитических  навыки, овладеть навыками эмпирического  вывода социально-экономических законов  и элементами самостоятельной исследовательской  работы.

Курсовая работа должна показать сущность социально-экономического моделирования  как науки, расположенной между  экономикой, статистикой и математикой; научить студентов использовать данные или наблюдения для построения количественных зависимостей и социально-экономических  соотношений, для выявления связей, закономерностей и тенденций  развития социально-экономических  явлений, выработать у студентов  умение формировать социально- экономические  модели, основываясь на экономической  теории или на эмпирических данных, оценивать неизвестные параметры  в этих моделях, делать прогнозы и  оценивать их точность, давать рекомендации по социально-экономической политике и хозяйственной деятельности.

 

 

1 Линейные регрессионные уравнения

Будем исходить из того, что  между объясняемой и объясняющими переменными выбрана линейная связь. Имеем

 

Здесь – фиктивная переменная, введённая для удобства; слагаемое отражает влияние на других факторов, ошибки измерений, ошибки выбора модели.

Пусть с целью исследования линейной связи проведена выборка  объёма . Тогда для наблюдаемых величин можно записать

 

В системе уравнений постоянные коэффициенты неизвестны и должны быть оценены (приближенно вычислены).

Если  – возможные оценки (приближенные значения) параметров , то функция регрессии, соответствующая модели, имеет вид

 

Отклонения выборочных данных от неё определяются величинами

 

Отметим, что несмещенной  оценкой неизвестной дисперсии  возмущений является выборочная дисперсия

 

где – число связей, накладываемых функцией регрессии на выборку. Следуя положениям § 3.3 [1], заключаем, что , т.е. общее число связей равно числу оценок, от которых зависит функция регрессии.

Критерием выбора оценок в математической статистике является условие минимума дисперсии, которое при фиксированном значении эквивалентно условию минимума функции ошибок

 

Имеем

 

В результате для определения  МНК-оценок приходим к системе линейных уравнений с неизвестными

 

Предполагая, что определитель системы уравнений отличен от нуля, из нее находим единственные значения оценок , которые и обеспечивают минимальные значения функции ошибок и выборочной дисперсии возмущений .

Таким образом, функция регрессии, соответствующая МНК-оценкам , имеет вид

 

Несмещенной оценкой неизвестной  дисперсии  является МНК-оценка

 

 

Матричный способ оценки

Процесс оценивания регрессионной  модели при ³ является довольно громоздким, поскольку приходится вычислять большое число сумм и решать системы уравнений с тремя и более неизвестными, что без использования ЭВМ весьма затруднительно. Если же в распоряжении пользователя ЭВМ имеются стандартные программы, позволяющие осуществлять действия над матрицами, то регрессионный анализ значительно упрощается.

Запишем регрессионное соотношение для наблюдаемых величин в развёрнутом виде

 

Здесь для всех . Матричная запись системы уравнений такова:

 

где

 

В линейных регрессионных  моделях предполагается, что выборочные наблюдения  должны быть такими, чтобы  число степеней свободы  было больше , и чтобы матрица имела полный столбцевой ранг . Из курса линейной алгебры известно, что в этом случае ранг транспонированной матрицы также равен , а симметричная матрица размерности

 

имеет ранг, равный , и, следовательно, существует обратная матрица .

Нетрудно заметить, что  система линейных уравнений, из которой  определяются МНК-оценки , может быть записана в виде

 

откуда находим вектор-столбец  искомых МНК-оценок. Имеем

 

Таким образом, вектор-оценку можно определять двумя способами: либо решая систему линейных уравнений, либо пользуясь формулой.

Далее получаем

 

 

 

 

 

 

 

Коэффициент детерминации

Качество регрессионной  модели будем характеризовать коэффициентом  детерминации, который в случае линейной регрессии обозначается и равен квадрату выборочного коэффициента корреляции между двумя рядами наблюдений - экспериментальными значениями показателя и его расчётными значениями .

 

Можно показать, что 

££.

Значение  (в процентах) означает, что линейная модель объясняет всей дисперсии показателя, остальные не обусловлены линейной моделью.

Из формулы вытекает следующее: минимизация функции ошибок по методу наименьших квадратов эквивалентна максимизации коэффициента детерминации . Чем ближе при прочих равных условиях значение к единице, тем лучше оценено регрессионное уравнение, и, следовательно, лучше качество полученной модели.

 

 

Рассмотрим построения множественной, используя матричный способ оценивания неизвестных коэффициентов, по которому вектор оценок вычисляется согласно формуле:

Для однофакторного регрессионного уравнение вида

 

имеем следующее:

.

Проведем вычисления по формуле

 

тогда:

 

Таким образом, оцененное  однофакторное уравнение регрессии  имеет вид

.

Для того, чтобы оценить  качество, с которым данное уравнение  аппроксимирует исходные данные, используем коэффициент детерминации .

 

Полученное значение указывает на то, что модель объясняет исходных значений, а остальные носят случайный характер.

Рассмотрим теперь двухфакторное  регрессионное уравнение вида

.

Проведем вычисления по формуле

 

тогда:

 

Таким образом, оцененное  двухфакторное уравнение регрессии  имеет вид

.

Для того, чтобы оценить  качество, с которым данное уравнение  аппроксимирует исходные данные, используем коэффициент детерминации .

 

Полученное значение указывает  на то, что данное уравнение объясняет  исходных значений, а остальные 0,74 носят случайный характер.

Рассмотрим теперь трехфакторное  регрессионное уравнение вида

.

Проведем вычисления по формуле

 

тогда:

 

само уравнение будет  иметь вид

.

Для того, чтобы оценить  качество, с которым данное уравнение  аппроксимирует исходные данные, используем коэффициент детерминации .

 

Полученное значение указывает  на то, что данное уравнение объясняет  исходных значений, а остальные 0,13 носят случайный характер.

Анализируя полученные результаты можно заметить, что при добавлении факторов в модель ее адекватность повышается. Например, добавление к двуфакторной модели позволило улучшить качество приближения на 0 но в то же время добавление второго фактора улучшило приближение на

Отсюда можно сделать  вывод, что не все факторы вносят одинаковый вклад в качество аппроксимации  модели, и для определения наиболее значимых показателей проведем ниже корреляционный и регрессионный  анализ изучаемой модели.

 

  2 Корреляционный  анализ системы

Изучение проблемы спецификации переменных (выбора факторов) следует  начинать с корреляционного анализа  связи между переменными. Будем  различать корреляционный анализ системы  «показатель-факторы» и корреляционный анализ системы «факторы».

 

Корреляционный анализ системы  «показатель-факторы»

Запишем матрицу исходных данных в виде

 

Матрица имеет размерность . Тогда транспонированная матрица имеет размерность , и для матрицы размерности получаем

 

Элементы полной корреляционной матрицы 

 

составленной из выборочных парных коэффициентов корреляции, как  нетрудно заметить, связаны с элементами матрицы  соотношениями

 

Будем считать, что матрица  невырождена, т.е. что определитель матрицы отличен от нуля . В этом случае существует обратная матрица , через элементы которой выражаются многие характеристики регрессионной модели. В частности, интересующие нас здесь выборочные частные коэффициенты корреляции , равны

 

Частный коэффициент корреляции характеризует истинную корреляцию показателя и фактора при исключении влияния других факторов.

Значимость выборочных частных  коэффициентов корреляции проверяется по двустороннему критерию

 

где критическое значение вычислено по таблице Фишера-Иейтса при уровне значимости и числе степеней свободы . Выполнение критерия для коэффициента означает наличие стохастической связи между показателем и фактором , и переменную следует включить в число существенных переменных.