Методика изучения прямой и обратной пропорциональности в начальной школе

Этапы обучения решению составных задач можно отразить в следующей структуре:

- подготовительный (решение  простых задач с недостающими  данными; решение пар простых  задач; постановка вопроса к данному  условию; выработка умений решать простые задачи, входящие в составную),

- ознакомительный (решение  задач в два действия, включающих  простые задачи на нахождение  суммы и на нахождение остатка  или на уменьшение числа на  несколько единиц и на нахождение  суммы; решение задач в два действия, включающих простые задачи на уменьшение числа на несколько единиц и на нахождение суммы и т.д.),

- закрепление (задания  на решение и преобразование  задач).

Составные задачи можно попытаться классифицировать по количеству арифметических действий необходимых для ее решения (в два, в три действия и т.п.), по конкретному содержанию задачи (на производительность, на движение и т.п.), по алгоритму решения (на простое тройное правило, на пропорциональное деление и т.п.) и др.

           Составные задачи с пропорциональными величинами, среди которых особо можно выделить 3 типа составных задач: на нахождение четвёртого пропорционального; на пропорциональное деление; на нахождение неизвестного по двум разностям.

Задачи на нахождение четвёртого пропорционального.    

В задачах на нахождение четвёртого пропорционального даны три величины, связанные прямо или обратнопропорциональной зависимостью. Одна из них постоянная, две – переменные. При этом даны два значения одной переменной величины и одно из соответствующих значений второй переменной величины. Второе значение величины является искомым. С каждым из групп пропорциональных величин можно составить 6 видов задач на четвёртое пропорциональное. 4 вида с прямопропорциональной зависимостью и 2 вида с обратной.

Задачи на пропорциональное деление.

В задачах на пропорциональное деление даны три величины, связанные прямо или обратнопропорциональной зависимостью. Одна из них постоянная, две – переменные. При этом даны два значения одной переменной величины и сумма соответствующих значений другой переменной величины. Слагаемые этой суммы являются искомыми. С каждой из групп можно составить 6 видов задач на пропорциональное деление. В начальной школе изучаются только 4 из них, с прямопропорциональной зависимостью. Все задачи на пропорциональное деление решаются способом нахождения постоянной величины.

Задачи на нахождение неизвестных по двум разностям.

В задачах на нахождение неизвестных по двум разностям даны три величины, связанные прямо или обратнопропорциональной зависимостью. Одна из них постоянная, две – переменные. При этом даны два значения одной переменной величины и разность соответствующих значений другой переменной величины. Компоненты этой разности являются искомыми. С каждой из троек величин можно составить 6 видов задач на нахождение неизвестного по двум разностям. В начальной школе изучаются 2 из них с прямопропорциональной зависимостью.

В решении таких задач многие учащиеся затрудняются. Сокращённая запись условия задачи, при которой «прозрачные» связи зависимости между числовыми значениями величин записываются с помощью математических выражений, значительно облегчает разбор и решение задачи. При этом задача разделяется на две части: на «прозрачную» часть и часть, в которой зависимость между числовыми значениями величин дана в завуалированном виде.  

          Рассмотрим методику изучения данных задач:

          1)Методика обучения решению составных задач на нахождение четвертого пропорционального.

           Задача на нахождение четвертого пропорционального - это задача, в которой даны три величины, связанные прямо или обратно пропорциональной зависимостью, из них две переменные и одна постоянная, при этом известны два значения одной переменной величины и одно из соответствующих значений другой переменной величины, а второе значение этой величины является искомым .

Особое внимание необходимо уделить классификации задач на нахождение четвертого пропорционального. Используя любые три величины, связанные пропорциональной зависимостью (третья равна произведению первой и второй), можно составить шесть видов задач на нахождение четвертого пропорционального.

Классификация задач на нахождение четвертого пропорционального:

№ вида задачи	Величины
	1-я величина (например - цена)	2-я величина (например - количество)	3-я величина (например - стоимость)
1	Постоянная	Даны два значения	Дано одно значение, а другое является искомым
2	Постоянная	Дано одно значение, а другое является искомым	Даны два значения
3	Даны два значения	Постоянная	Дано одно значение, а другое является искомым
4	Дано одно значение, а другое является искомым	Постоянная	Даны два значения
5	Даны два значения	Дано одно значение, а другое является искомым	Постоянная
6	Дано одно значение, а другое является искомым	Даны два значения	Постоянная

 

 

 Среди этих задач первые четыре задачи с прямо пропорциональной зависимостью величин, а две последние с обратно пропорциональной.

Основным способом решения задач такого вида в начальной школе - арифметический (нахождение значения постоянной величины и нахождением отношения двух значений одной величины), также практикуется и алгебраический способ решения (уравнением).

Для решения задачи удобно записывать данные условия в виде таблицы.

Таблицы для решения задач на нахождение четвертого пропорционального:

№ вида задачи	Величины
	1-я величина (например - цена)	2-я величина (например - количество)	3-я величина (например - стоимость)
1	Одинакова	А	С
		В	?
2	Одинакова	С	А
		?	В
3	А	Одинакова	С
	В		?
4	С	Одинакова	А
	?		В
5	А	С	Одинакова
	В	?
6	С	А	Одинакова
	?	В

 

 

Этапы обучения решению задач на нахождение четвертого пропорционального аналогичны как и в работе с другими задачами - подготовительный, ознакомительный, закрепление. В начале рассматривают преимущественно задачи с прямо пропорциональной зависимостью с такими группами величин:

- цена, количество, стоимость;

- масса одного предмета, число предметов, общая масса;

- емкость одного сосуда, число сосудов, общая емкость;

- выработка (производительность) в единицу времени, время работы, общая выработка;

- расход материи на  одну вещь, число вещей, общий  расход материи. Далее вводятся  новые группы величин: скорость, время, расстояние; длина прямоугольника, его ширина и площадь; урожай  с единицы площади, площадь и  весь урожай. В это время уже рассматриваются задачи всех шести видов.

            2)Методика обучения решению составных задач на пропорциональное деление.

           Задача на пропорциональное деление включает три величины, связанные пропорциональной зависимостью, из них две переменные и одна или больше постоянных, причем даны два или более значений одной переменной и сумма соответствующих значений другой переменной, слагаемые этой суммы являются искомыми.

Классификация задач на пропорциональное деление. Применительно к каждой группе величин, связанных пропорциональной зависимостью, можно выделить 6 видов задач на пропорциональное деление, четыре из которых с прямо пропорциональной зависимостью, а две с обратно пропорциональной зависимостью.

Классификация задач на пропорциональное деление:

№ вида задачи	Величины
	1-я величина (например - цена)	2-я величина (например - количество)	3-я величина (например - стоимость)
1	Постоянная	Даны два значения	Дана сумма двух значений. Каждое из двух значений является искомым
2	Постоянная	Дана сумма двух значений. Каждое из двух значений является искомым	Даны два значения
	Даны два значения	Постоянная	Дана сумма двух значений. Каждое из двух значений является искомым
4	Дана сумма двух значений. Каждое из двух значений является искомым	Постоянная	Даны два значения
5	Даны два значения	Дана сумма двух значений. Каждое из двух значений является искомым	Постоянная
6	Дана сумма двух значений. Каждое из двух значений является искомым	Даны два значения	Постоянная

 

 

Способ решения - арифметический (нахождение значения постоянной величины через вычисление отношения заданной суммы величин к сумме двух данных величин, а затем вычисление значений каждой искомой величины) и алгебраический (уравнением).

Для решения задачи удобно записывать данные условия в виде таблицы.

Таблицы для решения задач на пропорциональное деление:

№ вида задачи	Величины
	1-я величина (например - цена)	2-я величина (например - количество)	3-я величина (например - стоимость)
1	Одинакова	А	? ? С
		Б
2	Одинакова	? ? С	А
			В
3	А	Одинакова	? ? С
	В
4	? ? С	Одинакова	А
			В
5	А	? ? С	Одинакова
	В
6	? ? С	А	Одинакова
		В

 

 

Следует обратить особое внимание на особенности работы с ознакомлением данного вида задач поэтапно.

Подготовкой к решению задач на пропорциональное деление является твердое умение школьников решать задачи на нахождение четвертого пропорционального.

При ознакомлении с задачами на пропорциональное деление следует получить задачи этого вида путем совместной с учащимися работы по преобразованию задач на нахождение четвертого пропорционального в задачи нового вида Таким образом, необходимо отметить важность наличия у детей сформированного умения составлять и преобразовывать задачи.