Методика изучения прямой и обратной пропорциональности в начальной школе

КУРСОВАЯ   РАБОТА

 

Методика изучения прямой и обратной пропорциональности в начальной школе

 

 

 

 

 

 

Научный руководитель         ___________________________________________________                                ___Александрова   Т.А.____

                                                                                      Подпись, дата                                                                               инициалы, фамилия

 

Студент группы     ____________               _________________________________________                                ___Фомина А.Ю.______

                            Код (номер) группы                        Подпись, дата                                                                                  инициалы, фамилия

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                                           Лесосибирск  2013

Содержание

Введение ……………………………………………………………………………

Глава I. Теоретический аспект ……………………………………………………

1. Понятие прямой и обратной  пропорциональности …………………………..

2. Методика изучения прямой и  обратной пропорциональности в  начальной школе ………………………………………………………………………………

Глава II. Практический аспект …………………………………………………  

1. Методика обучения решению задач с пропорциональными величинами в программе «Школа 2100».
2. Фрагменты уроков

Заключение……………………………………………………………………….

Список литературы………………………………………………………………

 

 

 

 

 

 

 

Введение

         Человек постоянно имеет дело с самыми разнообразными величинами. В математике часто приходится рассматривать три величины, одна из которых равна произведению двух других. Тройки таких величин постоянно встречаются при решении практических задач. Напомним некоторые из них: 1) Нахождение пути при равномерном движении, если известны скорость и время; 2) Определение стоимости товара, если известны его цена и количество; 3) Вычисление объёма работ, если известны производительность труда и время работы, и т.д. Все перечисленные виды задач решаются уже в начальной школе. Поэтому учитель начальных классов должен быть подготовлен к рассмотрению различных зависимостей между величинами.

          Введение понятий прямой и обратной пропорциональной зависимости является важным шагом на пути к введению понятия функциональной зависимости и в дальнейшем к изучению линейной и обратной функций. Используя на практике индуктивный подход и знания о пропорции, полученные учениками, преподаватель на нескольких примерах может подвести учеников к пониманию понятий прямой и обратной пропорциональной зависимости.

          Цель: Описание методики изучения прямой и обратной пропорциональности в начальной школе.

          Объект: Организация учебной деятельности в процессе изучения прямой и обратной пропорциональности.

          Предмет: Понятия прямой и обратной пропорциональности.

Задачи:

1. Дать характеристику понятиям прямой и обратной пропорциональности при решении задач по математики в начальной школе;
2. Описать методику изучения прямой и обратной  пропорциональности.
3. Проанализировать содержание учебных программ для начальной школы и материал учебников по математике на предмет содержания в них задач на прямую и обратную пропорциональность.
4. Разработать методические рекомендации по использованию задач на прямую и обратную пропорциональность в начальной школе.

Методы исследования: анализ научной, научно-методической и психолого-педагогической литературы; описательный и опытно-экспериментальный.

Курсовая работа состоит из введения, двух глав, заключения и списка использованной литературы.

Во введении определяются объект и предмет исследования, формулируются цель, задачи, методы исследования.

В первой главе – «_____________________________» - рассматриваются основные понятия, теоретическая основа данной работы.

Во второй главе – «_______________________________» - рассматривается практический аспект курсовой работы. Здесь представлены фрагменты уроков с использованием задач на прямую и обратную пропорциональность.

В заключении подводятся итоги проделанной работы.

 

 

 

Глава I. ________________________________________

1.1 Понятие прямой и обратной пропорциональности.

 

Прямая пропорциональность.

             Математическая запись зависимостей  между величинами выражается  равенством y=z∙x. Если одна из переменных x или y постоянна (пусть z=k=const), то получается равенство вида y=k∙x. В этом случае говорят, что величина y прямо пропорциональна величине x.

              Прямой пропорциональностью называется функция, которая может быть задана с помощью формулы вида   y=k∙x, где x-независимая переменная, а k- действительное число, неравное нулю.

             Число k при этом называют коэффициентом пропорциональности.

             Пусть x1 и  x2  ≠ 0 – два различных значения переменной x, тогда y1 = k x1 , y2 = k x2 . Так как x2  ≠ 0 и k ≠ 0, то  y2  ≠ 0. Тогда y1 / y2  = x1 / x2 .

          Установленное свойство называют основным свойством прямой пропорциональности.

         Если значениями переменных х и у являются положительные числа, то основное свойство можно сформулировать так:

          во сколько раз увеличивается (уменьшается) значение переменной x, во столько раз увеличивается (уменьшается) значение переменной у.

              Областью определения функции у = kх является множество всех действительных чисел R.

            При k > 0 функция у = kx монотонно возрастает на всей области определения, а при k < 0 монотонно убывает. Функция является нечетной, значит, график ее симметричен относительно начала координат.  Известно, что графиком уравнения у = kx является прямая линия, проходящая через начало координат и имеющая угловой коэффициент k (Рис.1). Таким образом, коэффициент пропорциональности k совпадает с угловым коэффициентом графика функции у = kx.

Для того чтобы найти коэффициент пропорциональности, достаточно знать одну пару (x0 ,  y0 ) ( x0 ≠ 0 , y0  ≠ 0) соответствующих значений. Тогда из равенства y0 = k x0 легко находим k = y0  / x0 .        

Знание прямой пропорциональной зависимости позволяет использовать ее при решении задач в начальной школе. Так, при постоянной скорости пройденный путь у прямо пропорционален времени движения x, причем коэффициентом пропорциональности k является скорость. Аналогично, при постоянной цене товара его стоимость у прямо пропорциональна количеству товара x, а коэффициентом пропорциональности k является цена.

Более общей, чем прямая пропорциональность, является линейная зависимость между величинами.

    Рис.1

Рассмотрим следующую задачу: «До перерыва работница упаковала вручную 20 коробок карандашей, а потом перешла на автомат, выпускающий 50 коробок в час. Сколько коробок выпустит упаковщица за смену, если проработает на автомате 2 ч? 3 ч? 4 ч?».

Очевидно, что зависимость между выполненным объемом работы у и временем работы упаковщицы на автомате х выражается формулой у = kх + Ь, где b = 20 кор., а k = 50 кор./ч.

Свойства прямой пропорциональности:

1. Областью определения функции y=kx является множество действительных чисел R;
2. График прямой пропорциональности – прямая, проходящая через начало координат. Поэтому для построения графика прямой пропорциональности достаточно найти лишь одну точку, принадлежащую ему и не совпадающую с началом координат, а затем через эту точку и начало координат провести прямую.
3. При k>0 функция y=kx возрастает на всей области определения (при k<0, соответственно, убывает на всей области определения).
4. Если функция f – прямая пропорциональность, то (x1,y1),(x2,y2) – пары соответственных переменных x и y, где x не равен нулю, значит x1/x2=y1/y2.

Если значениями переменных x и y будут положительные действительные числа то с увеличением (уменьшением) переменной x в несколько раз соответствующее ему положительное значение у увеличивается (уменьшается) во столько же раз.

Это свойство присуще только прямой пропорциональности, и им можно пользоваться при решении текстовых задач, в которых рассматриваются прямо пропорциональные величины.

         

    Обратная пропорциональность.

Возвращаясь к равенству y=zx, выражающему зависимость между тройками величин, зафиксируем теперь y, положив его равным k=const. Тогда z и x будут связаны соотношением k=z·x, или z=k/x . В этом случае говорят, что величины x и z находятся в обратно пропорциональной зависимости.

Примерами величин, находящихся в обратно пропорциональной зависимости, являются: скорость и время при постоянном расстоянии; цена и количество товара при постоянной стоимости; производительность труда и время при постоянном объёме работы; длина и ширина при постоянной площади прямоугольника и т.д.

        Обратная пропорциональность – это функция, которая может быть задана при помощи формулы y=k/x, где k - не равное нулю действительное число. Название функции y = k/x связано с переменными x и y, произведение которых равно некоторому действительному числу, не равному нулю.  

  Пусть x1 и  x2  ≠ 0 – два различных значения переменной x, тогда y1 = k/ x1, y2 = k/ x2 . Так как y1 ≠ 0 и y2 ≠ 0, то можем записать y2 / y1=  k / x2 :k / x1=  k x1 / k x2 = x1 / x2 . Итак, y2 / y1 = x1 / x2.  Это свойство называют основным свойством обратной пропорциональности.

Если значениями переменных x и y являются положительные числа, то основное свойство можно сформулировать так:

Во сколько раз увеличивается (уменьшается) значение переменной x, во столько раз уменьшается (увеличивается) значение переменной y .

 Функция y = k/x является математической моделью многих реальных ситуаций, рассматриваемых уже в начальном курсе математики. Если  купили 12 кг муки и разложили её в x банок по y кг в каждую, то зависимость между данными величинами можно представить в виде x·y = 12, т.е. она является обратной пропорциональностью с коэффициентом k =12.

   Свойства обратной  пропорциональности:

1. Областью определения и областью значений функции y=k/x является множество действительных чисел R, отличных от нуля.
2. График прямой пропорциональности – гипербола.
3. При k<0 функция y=k/x возрастает на всей области определения и ветви параболы направлены вверх (при k>0, соответственно, убывает на всей области определения, ветви - вниз). (Рис.2).

                                 Рис.2.

 

4. Если функция f – обратная пропорциональность, то (x1,y1),(x2,y2) – пары соответственных переменных x и y, где x не равен нулю, значит x1/x2=y2/y1.

Если значениями переменных x и y будут положительные действительные числа, то с увеличением (уменьшением) переменной x в несколько раз соответствующее значение у уменьшается (увеличивается) во столько же раз.

Это свойство присуще только обратной пропорциональности, и им можно воспользоваться при решении текстовых задач, в которых рассматриваются обратно пропорциональные величины.

 

1.2 Методика изучения прямой и обратной пропорциональности.

 

               Учащиеся начальных классов не изучают в общем виде ни прямую пропорциональность, ни обратную. Однако при решении текстовых задач они встречаются с конкретными случаями таких зависимостей. Обучая детей, учитель не только использует их представления о зависимостях между конкретными величинами, но и уточняет и углубляет эти представления.  Поэтому сам учитель должен владеть общим подходом к решению задач с пропорциональными величинами, а он основан на определении прямой и обратной пропорциональности и их свойствах.

     В курс математики начальных классов включены составные задачи (составная задача включает в себя ряд простых задач, связанных между собой так, что искомые одних простых задач служат данными других) ,

которые имеют несколько числовых значений различных величин и связанных различными зависимостями.

Процесс решения составной задачи проходит в несколько этапов:

- ознакомление с содержанием  задачи,

- анализ условия задачи,

- поиск плана решения  задачи,

- составление плана  решения задачи,

- запись решения и  ответа,

- работа над задачей  после ее решения .

В начальной школе практикуются следующие формы записи решения составной задачи: по действиям, по действиям с пояснением, с вопросами, выражением, уравнением, с помощью графической или схематической модели. Для более полного понимания школьниками составной задачи учитель может использовать и комбинированную форму записи решения.

Анализируя специальную литературу различных авторов, удалось выделить следующие методические приемы формирования умения решать задачи - фронтальная беседа; преобразование простой задачи в составную; составление условия по данному решению; решение задач с недостающими и избыточными условиями; изменение одного из данных задачи; интерпретация задачи в виде схемы или таблицы и др.