Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения находят достаточно широкое применение в моделях экономической динамики, в которых отражается не только зависимость переменных от времени, но и их взаимосвязь во времени.

ПРИМЕР 1.

Рассмотрим процесс возрастания денежной суммы, положенной в банк при условии начисления 100 r сложных процентов в год. Пусть обозначает начальную денежную сумму, а --- денежную сумму по истечении лет.

 Если бы проценты начислялись  один раз в год, мы бы имели

  где 

Если бы проценты начислялись два раза в год (по истечении каждого полугодия), то мы бы имели    где

Вообще, если проценты начисляются раз в год и принимает последовательно значения

Тогда    то есть   .

Если обозначить , то предыдущее равенство перепишется так  .

Неограниченно увеличивая (при ) мы в пределе приходим к процессу возрастания денежной суммы при непрерывном начислении процентов  ,

то есть при непрерывном изменении закон возрастания выражен дифференциальным уравнением 1-го порядка. Отметим для четкости, что --- неизвестная функция, --- независимая переменная, --- постоянная. Для решения данного уравнения перепишем его следующим образом:

откуда , или ,  где через обозначено .  

Учитывая начальное условие , найдем : , следовательно, .

Решение имеет вид: .

 

ПРИМЕР 2.

Найти функцию спроса, если и .  Эластичность спроса (относительно цены) определяется формулой .

--- первоначальное значение цены,

--- первоначальное значение объема  спроса.

Из определения эластичности следует, что , т.е. искомая функция задается уравнением с разделяющимися переменными. Решая это уравнение, получаем .

Учитывая начальное условие , имеем . Окончательно .

 

 

УПРАЖНЕНИЯ.

 

1)В поселке с населением 3000 человек распространение эпидемии гриппа (без применения экстренных санитарно-профилактических мер) описываемых уравнением ,  где - число заболевших в момент времени ;  - число недель. Сколько больных будет в поселке через две недели, если в начальный момент было трое больных?

 

2)Функция спроса и предложения  имеют вид:

,  .

Найти зависимость равновесной цены от времени, если в начальный момент .

В простейших ситуациях спрос на товар (предложение товара) предполагается зависящим от его цены. В более сложных случаях в расчет принимается также зависимость спроса (предложения) от скорости изменения цены.

 

3)Найти функцию дохода , если известно, что величина потребления задается функцией ; коэффициент капиталоемкости пророста дохода , .

--- единица времени.

Коэффициент капиталоемкости --- отношение применяемого в производственном процессе, фирме или отрасли капитала к объему выпуска в течение определенного периода времени, как правило, одного года.

 

ОТВЕТЫ К УПРАЖНЕНИЯМ.

1)       2)        3) .          

4. ТЕСТ

Найти дифференциал функций:

          a)       b)    c)       d)

2)

          a)    b)   c)    d)

3)

          a)            b)   

          c)         d)

4)

          a)    b)    c)  

          d)

5)

         a)   b) c)   d)

6)

              a)    b)    c)    d)

7)             

              a)    b)    c)    d)

8)

             a)    b)   c)   d)  

9)

           a)    b)    c)   d)

10)

           a)      b)     c)       d)

 

 

    Ответы к тесту:

    1)a 2)c  3)b  4)a  5)d  6)b  7)a  8)c  9)b  10)d 

 

 

 

 

5. ЗАДАНИЯ ДЛЯ КОНТРОЛЬНЫХ  РАБОТ

 

Вариант  №1	Вариант №2	Вариант №3
Найти решения дифференциальных уравнений:	Найти решения дифференциальных уравнений:	Найти решения дифференциальных уравнений:
1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10)	1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10)	1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10)
Найти решения дифференциальных уравнений, удовлетворяющие указанным условиям:	Найти решения дифференциальных уравнений, удовлетворяющие указанным условиям:	Найти решения дифференциальных уравнений, удовлетворяющие указанным условиям:
11) 12)	11) 12)	11) 12) y(0)=-7, y’(0)=0
Решить дифференциальную задачу в экономике:	Решить дифференциальную задачу в экономике:	Решить дифференциальную задачу в экономике:
Найти функцию дохода , если известно, что величина потребления задается функцией , коэффициент капиталоемкости прироста дохода .	Найти функцию дохода Y=Y(t), если известно, что величина потребления задается функцией C=3t, коэффициент капиталоемкости прироста дохода b=2, Y(0)=2.	Найти функцию дохода Y=Y(t), если известно, что величина потребления задается функцией C= t, коэффициент капиталоемкости прироста дохода b=1, Y(0)=2.

 

    

 

6. ИСПОЛЬЗУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА

1. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. // М., Высшая школа. 1986 ( в 2 – х томах ).

2. Под ред. проф. В.И. Ермакова. Сборник задач по высшей математике. // М., Инфра – М.,           2001.

3. Васильев А.А. Практикум по высшей математике. Аналитическая геометрия. ч. 2. Пределы последовательностей. // Сыктывкар, 2007.

4. Лунгу К.Н., Письменный Д.Т., Федин С.Н., Шевченко  Ю.А. Сборник задач по высшей математике. // М., Айрис Пресс, 2001.

5. Смирнов В.И. Курс высшей математики, том 3, часть 1 (10-е издание). // М.: Наука,           1974