Дифференциальные уравнения в биологии

Троицкий  аграрный техникум.Уральская государственная  академия ветеренарной медецины. 
 
 
 
 
 
 
 

Реферат на тему:Дифференциальные уравнения в биологии 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

                                                                                                        Выполнили:студентки 201T группы

                                                                                                  Гаманцова Т.А .,Халитова О.А

                                                                                                  Проверила:Рассадникова Наталья                                                                                                     
 

Троицк 2012

Содержание

1.Введение

2.Содержание

2.1Исследование Мальтуса

2.2 Задачи

2. 3Применение дифференциальных уравнений в медицине

3. Заключение

4.Список используемой  литературы 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Введение

Математическая биология — это теория математических моделей биологических процессов и явлений.

Математическая биология может быть отнесена к прикладной математике и активно использует её методы. Критерием истины в ней является математическое доказательство. Важнейшую роль в ней играет математическое моделирование с использованиемкомпьютеров. В отличие от чисто математических наук, в математической биологии исследуются биологические задачи и проблемы методами современной математики, а результаты имеют биологическую интерпретацию.

Задача математической биологии – описание законов природы  на уровне биологии. Основная задача — интерпретация результатов, полученных в ходе исследований.

Примером может  служить закон Харди-Вайнберга, который и предусмотрен средствами, которые не существуют по некоторым причинам, но он доказывает, что система популяции может быть и также предсказана на основе этого закона. Исходя из этого закона, можно говорить, что популяция — это группа самоподдерживающихся аллелей, в которой основу дает естественный отбор. Тогда сам по себе естественный отбор является, с точки зрения математики, независимой переменной, а популяция — зависимой переменной. Под популяцией рассматривается некоторое число переменных, влияющих друг на друга: число особей, число аллелей, плотность аллелей, отношение плотности доминирующих аллелей к плотности рецессивных аллелей и так далее. Естественный отбортакже не остается в стороне, и первое, что тут выделяется — это сила естественного отбора, под которой подразумевается воздействие окружающих условий, влияющих на признаки особей популяции, сложившиеся в процессе филогенеза вида, к которому популяция принадлежит. 
 
 
 
 

1.1Исследования Мальтуса

Первой содержательной математической моделью, описывающей  биологические сообщества (если не считать исследований Фибоначчи  популяции кроликов, приведших его  к знаменитым числам, носящим его имя, а также исследований Мальтуса, приведших впоследствии к известному уравнению x′ = ax (a > 0) мальтузианского роста) была модель Лотки — Вольтерры. Она описывает популяцию, состоящую из двух взаимодействующих видов. Первый из них, именуемый хищниками, при отсутствии второго вымирает по закону

x′ = –ax (a > 0),

а второй — жертвы — при отсутствии хищников неограниченно размножается в соответствии с законом Мальтуса. Взаимодействие двух этих видов моделируется так. Жертвы вымирают со скоростью, равной числу встреч хищников и жертв, которое в данной модели предполагается пропорциональным численности обеих популяций, т. е. равной dxy (d > 0). Поэтому

y′ = by – dxy.

Хищники же размножаются со скоростью, пропорциональной числу  съеденных жертв:

x′ = –ax + cxy

(c > 0). Система уравнений

x′  = –ax + cxy,

(1)

 

y′ = by – dxy,

(2)

описывающая такую популяцию хищник — жертва и называется системой (или моделью) Лотки — Вольтерры (см.оригинальный текст Вито Вольтерры).

1.2 Задачи

Задача О37.1. Покажите, что система (1) – (2) имеет две стационарные точки.

Задача О37.2. Докажите, что функция V(x, y) = xbe–dx yae–cy является первым интегралом этой системы.

Задача О37.3. Покажите, что линии уровня функции V являются замкнутыми кривыми, окружающими точку (b/d, a/c). Докажите, что каждая такая кривая есть траектория системы Лотки — Вольтерры (см. рис. 1).

 
Рис. 1.

Таким образом, численности  популяций хищников и жертв совершают  рассогласованные по фазе автоколебания (см. рис. 2). Такое поведение часто наблюдается в природе (классическая ссылка здесь на отчет Компании Гудзонова залива, которая в течении долгих лет наблюдала за численностью популяций зайцев и рысей в Канаде). Однако, система Лотки — Вольтеррыобладает одним существенным недостатком: она неустойчива по отношению к малым возмущениям самой модели, точнее, не является грубой.

 
Рис. 2.

Задача О37.4. Покажите, что траектории системы (1) – (2) непрерывно зависят от параметров модели a, b, c, d. Поясните, как малым возмущением модели ее фазовый портрет может быть испорчен (возмущенная система не будет орбитально топологически эквивалентнаисходной).

Поскольку в реальных популяциях присутствует много возмущающих  факторов, не учтенных в модели Лотки — Вольтерры, эта модель вряд ли может претендовать на адекватное описание реальности. Этого недостатка лишена модель Холлинга —Тэннера, учитывающая большее число реальных факторов. В этой модели скорость изменения популяции хищников задается выражением ax – bx2/y = x(a – bx/y). Оно выбрано из следующих соображений. Когда пищи (жертв) много (y ≈ +∞), популяция хищников растет по правилу Мальтуса с показателем a. С уменьшением числа жертв скорость роста популяции хищников падает и при y < bx/a становится отрицательной (последнее, грубо говоря, является следствием предположения, что для поддержания жизни одного хищника необходимо k = b/a жертв).

Задача О37.5. Покажите, что если y(t) ≡ y0 = const, то численность популяции хищников не может превышать y/k.

Скорость изменения  популяции жертв состоит из трех компонент. Первый член cy соответствует закону Мальтуса, второй–dy2 описывает внутривидовую конкуренцию и вызван ограниченностью ресурсов экологической ниши, занимаемой популяцией жертв. При отсутствии хищников жертвы подчиняются уравнению

y′ = y(c – dy).

Наконец, третий компонент  скорости изменения популяции жертв  в модели Холлинга — Тэннера описывает ее взаимодействие с хищниками и имеет вид –pxy/(q + y) (p, q > 0). Это выражение правдоподобнее описывает межвидовое взаимодействие, нежели соответствующий член –dxy модели Лотки — Вольтерры. В последней число жертв, убиваемых одним хищником за единицу времени, равно dy и растет пропорционально числу жертв, что неправдоподобно. В моделиХоллинга — Тэннера коэффициент хищничества равен py/(q + y). Он не может превышать величины p/q и при неограниченном росте популяции жертв стремится, монотонно возрастая, к числу p/q, выражающему естественную потребность хищников в пище. В результате получается следующая система уравнений (модель Холлинга — Тэннера)

x′  = (a – bx/y)x,

(3)

 

y′ = [c – dy – px/(q + y)]y.

(4)

Некоторые результаты, относящиеся к модели Холлинга — Тэннера и некоторым другим моделям биологических сообществ, описаны в задачах в конце очерка. А здесь мы еще раз подчеркнем, что система (3) – (4) имеет предельный цикл, устойчивый относительно малых возмущений модели.

Системы уравнений, возникающие при описании биологических  популяций, во многом близки к системам дифференциальных уравнений, описывающих  кинетику химических реакций. К слову  сказать, система Лотки — Вольтеррыбыла первоначально выведена Лоткой как система, описывающая некоторую гипотетическую химическую реакцию (см. реакцию (6) ниже), и лишь позже Вольтерра вывел ее как систему, описывающую популяцию хищник — жертва.

Химическая  кинетика описывает химические реакции с помощью так называемых стехиометрических уравнений. Простейший пример такого уравнения — это известное уравнение горения водорода: H2 + O → H2O. Общий вид стехиометрического уравнения химической реакции таков:

p  ∑  l = 1 mlXl → q  ∑  l = 1 nlYl

(5)

(натуральные числа ml и nl называются стехиометрическими коэффициентами). Это символическая запись химической реакции, в которой m1 молекул реагента X1, m2 молекул реагента X2, ..., mp молекул реагента Xp, вступив в реакцию образуютn1 молекул вещества Y1, n2 молекул вещества Y2, ..., nq молекул вещества Yq. Основной закон, выражающий скорость протекания реакции (5) — закон действующих масс — гласит: скорость протекания реакции пропорциональна концентрациям реагентов. Поэтому, если обозначить буквами xl, концентрации соответствующих веществ, то

x′1(t)= ... = x′p(t)= – K p  ∏  l = 1 xlml(t) = –y′1(t)= ... = –y′q(t);

здесь K — константа скорости протекания реакции (она обычно пишется в уравнении (5) над стрелкой и измеряется вмоль–1·с–1).

Система Лотки — Вольтерры описывает гипотетическую трехстадийную реакцию вида

A + X  2X,   X + Y  2Y,   Y B,

(6)

в которой концентрации a и b исходного реагента A и продукта реакции B поддерживаются постоянными (эта реакция является открытой в том смысле, что реактор обменивается веществами A и B с окружающей средой). Тогда в силу закона действующих масс

x′  = K1ax – K2xy,

(7)

 

y′ = K2xy – K3y,

(8)

Последняя система  с точностью до коэффициентов  совпадает с моделью Лотки — Вольтерры (a = const). Несколько слов о том, как получается система (7) – (8). В первой реакции "со скоростью K1ax" исчезает одна молекула вещества X и с этой же скоростью появляются две молекулы этого вещества. Суммарная скорость изменения концентрации реагента X в результате первой реакции следовательно равна –K1ax + 2K1ax = K1ax. Во второй реакции, очевидно, концентрация X убывает со скоростью –K2xy. Наконец, в третьей реакции X не участвует. В итоге получается уравнение (7). Уравнение (8) выводится аналогично.