Бастауыш сыныптың математика сабағында, киелі сандарды оқытудың тәжірибелі эксперимент жұмысы

Сан ұғымын жалпылау барысында  қазіргі кезде гиперкомплекс  сандар ұғымы келіп шықты. Гиперкомплекс  сан үғымы комплекс санға қарағанда  неғұрлым кең ұғым. Гиперкомплекс  сандарының қарапайым мысалы, физика мен техникада, атап айтқанда, электр және электротехника теорияларында, динамикада, аэродинамикада және серпіндік теорияда қолданылатын векторлық алгебралық дамуына себепші болған кватерниондар болып табылады.

Сан жайындағы жаңа түсініктердің  пайда болуымен бірге осы жаңа сандардың объектіге амалдар қолдану ережелерін негіздеу қолға алынып отырылды. Алайда, сандар және оларға қолданылатын амалдар жойындағы жинақталған мәліметтер математикалық теория ретінде XIX ғасырдың 2-ші жартысында, көптеген көрнекті математиктер математиканы негіздеу мәселелерімен айналыса бастағанда ғана бір жүйеге келтірілді.

Қазіргі кезде әртүрлі  сандардың жиындарды мына ретпен қарастыру қабылдаған.

Натурал сандар - N жиыны.

Бүтін сандар - £ жиыны.

сонымен бірге, бұл нәрселерге көз жібергенде, олардың санынан  басқа қасиеттеріне алаңцамайтын қабілетте болуы керек, ал ол қабілет -тәжірибеге сүйенген ұзақ тарихи дамуың нәтижесі.

Тарихи тұрғыдан алғанда  комплекс сан ұғымы XVI ғасырда 2-ші дәрежелі теңцеулерді шешу мәселелеінен келіп  шыққан. Комплекс сандар нақты сандар сияқты мөлшерц сипаттағанымен, нақты сандар терминдерге құрастырылған есептерді шешуде оларды қолданудың пайдасы тілді. Таза математикалық есептерді шешу. барысында да комплекс сандарды қолдану маңызды болып саналды. Мәселен, куб теңцеулердің нақты түбірлерін табу комплекс сандарға амалдар қолдануды талап етеді. Комплекс сан деп а+ві (мұндағы а, в € Қ ал і-қандай да.бір символ) түріндегі өрнекті түсінеді. Барлық комплекс сандар жиынын С деп белгілейді. Сонда £=а+ві комплекс санындағы а-ны оның нақты бөлігі, ал в санын жорымал бөлігі деп атайды. Комплекс санды жазықтықта вектор түрінде немесе нүкте түрінде кескіндеп көрсетуге болады.

Сан ұғымын жалпылау барысында  қазіргі кезде гиперкомплекс  сандар ұғымы келіп шықты. Гиперкомплекс  сан ұғымы комплекс санға қарағанда  неғұрлым кең ұғым. Гиперкомплекс сандарының қарапайым мысалы, физика мен техникада, атап айтқанда, электр және электротехника теорияларында, динамикада, аэродинамикада және серпіндік теорияда қолданылатын векторлық алгебралық дамуына себепші болған кватерниондар болып табылады.

Сан жайындағы жаңа түсініктердің  пайда болуымен бірге осы жаңа сандардың объектіге амалдар  қолдану ережелерін негіздеу қолға  алынып отырылды. Алайда, сандар және оларға қолданылатын амалдар жойындағы  жинақталған мәліметтер математикалық  теория ретінде XIX ғасырдың 2-ші жартысында, көптеген көрнекті математиктер математиканы негіздеу мәселелерімен айналыса бастағанда ғана бір жүйеге келтірілді.

Қазіргі кезде әртүрлі  сандардың жиындарды мына ретпен қарастыру қабылдаған.

Натурал сандар - N жиыны.

Бүтін сандар - £ жиыны.

Рационал сандар - 0

Нақты сандар - Я жиыны

Комплекс сандар - С  жиыны

Сан - о бастап заттарды санаудың мұқтаждығының пайда болған негізгі математикалық ұғымдардың бірі. Ол кейін математикалық білімдердің  дамуына қарай жетілдіреді. Бұл ұғым өте ерте заманда, күллі математикалық ғылыми сияқты адамдардыңі практикалық қызметінің қажеттілігінің қажеттігінен келіп туды. Ол өте баяу қалыптасты, сөйтіп барған сайын күрделене түскен әуелі практикалық, ал онан соң теориялық сипаттағы мәселелерді шешу барысында көптеген ғасырлар бойы біртіндеп кеңейіп және жалпыланып отырды.

Бұл ұғымның маңыздылығы  туралы ғалымдар мынандай пікірлер ұсынған. Мысалы, Э.Юорель (1871-1956) «Адамдардың  білімі онда санның қандай рөл атқаратынына байланысты Ғылым атына ие болуға ылайық», -деп жазды. С.Стевин (1548-1620) былай деп жазды: «Сандардың арасында ғажайып келісімділік пен үйлесімділіктің бары соншалық, біз олардың керемет заңцылығы туралы күндер мен түндер бойы ойлауымыз керек...»

«Біз,- деп жазды Н.Н.Лузин (1883-1950) бірлік ұғымын жасағаны (ашқаны емес, нақ сол жасағаны) үшін адамның данышпандығы алдында бас июге тиіспіз. Сан пайда болды, ал сонымен бірге математика да пайда болды. Сан идеясынан - ең ұлы ғылымдардың бірінің тарихы, міне, содан басталады».

Натурал сан ұғымының дамуы ерте заманда адамның заттар жиянтығының санын оларды санамай-ақ, яғни өзара бір мәнді сәйкестігі тағайындау негізінде қабылдаумен сипатталады. Өте ұзақ дамудың нәтижесінде адам натурал сандарды жасаудың келесі кезеңіне жетті - жиынды салыстыру үшін аралық жиындарды қолдана бастады. Бұл кезеңде сан саналатын жиындардан ерекшеленген жоқ. Адам аралық жиындарды қолдануға үйренгеннен кейін барып қана объектілер мен аралық - жиындар арасындағы ортақ нәрсені анықтады. Аралық - жиындарды, оның - элементтері табиғатынан дерексіздендіру мүмкін болғаннан кейін натурал сан туралы түсінік пайда болды.

Уақыт өте келе адамдар  сандарды атауды ғана емес, оларды белгілеуді де, сондай-ақ (шешудегі жазуы мен  нөл ұғымының жасалуы) олармен амалдар  орындауды да үйренді. Осының мәселелерді шешудегі көптеген қиыншылықтар Ежелгі Үндістанда сандардың ондық жазуы мен нөл ұғымының жасалуы нәтижесінде ғана жойылды. Әуелде санның жоқтығын білдірген нөл теріс сандар ұғымы енгізілгеннен кейін ғана сан ретінде қаратысрылатын болды. Натурал сандар жиынының шексіздігі туралы түснікте біртіндеп қалыптасты. «Натурал сан» терминін тұңғыш рет римдік ғалым А.Боэций (шашамен 480-524 ж) қолданылған. Санаудың ондық жүйесі қазіргі түрінде юіздің заманымыздың шамамен VI ғасырында Үндістанда қалыптасты. Нөл үшін ерекше белгі енгізу үндістандық ғылымының маңызды жетістігі болды. Нөл енгізілгеннен кейін ғана жазудың ондық жүйесі толығынан аяқталды. Алдымен нөлдің сабақтың тиісті разрядында тастардың жоқтығын белгілеу үшін пайда болуы да ықтимал.

Натурал сан ұғымы  қалыптасқаннан кейін сандар дербес объектілерге зерттеудің мүмкіндігі пайда  болды. Арифметика - сандарды және олармен  жүргізілетін амалдарды зерттейтін Ғылыми, Ежелгі, Шығыс елдерінде: Вавилонда, Қытайда, Үндістанда, Египетте дүниеге келді. Осы елдерде жинақталған математикалық білімдерді Ежелгі Грецияның ғалымдары дамытып, жалғастырды. Орта ғасырда арифметикалық дамуына Үндістанның, араб елдері мен Орта Азия материктері, ал XIII ғасырдан бастап - европалық ғасырлар үлкен үлес қосты.

Сөйтіп, ежелгі дүние  ғалымдарының еңбектерінің өзінде-ақ натурал сандар қатарының шексіздігі анықталды (біз дәуірге дейінгі III ғ.) натурал қатардың, жай сандар атауларын жасау Евклидтің «Бастамалар» деген әйгілі туындысына және Архимедтің «Құмды санау» туралы («Псаммит») деген кітабында қарастырылады.

XIX ғасырда ғылымдардың  назары натурал санның математикалық  теорияларын, яғни натурал сандармен  есептеулер жүргізуге негіз болған  теорияларды негіздеуге аударылды.  Санның натурал қатарындағы терең  заңдылықтарды зерттеу қазіргі  уақытқа дейін жалғастырып, сандар теориясын да қамтуда.

Натурал сандар ұғымның  соншалық қарапайым және табиғи көрінетіні сондай, ғылымда ұзақ уақыт бойы оны қандай да болсын қарапайым ұғымдардың терминдерімен анықтау туралы мәселе қойылған жоқ.

Жалпы алғанда, сан және фигура ұғымдары, басқа ешқайдан емес, тек шындық дүниеден алынған. Адамдардың санауға үйренген, яғни алғашқы арифметикалық есеп шығаруда үйренген он саусағын не десеңіз ол деңіз тек әйтеуір ол ақыл-ойың еркін творчествосының жемісі емес. Санау үшін, саналуға тиісті нәрселердің болуы ғана емес, соынмен бірге, бұл нәрселерге көз жібергенде, олардың санынан басқа қасиеттеріне алаңдамайтын қабілетте болу керек, ал ол қабілет-тәжірибеге сүйенген ұзақ тарихи дамудың нәтижесі.

Натурал сандардың номер  жиыны сан ұғымын кеңейту процесіндегі бастпақы жиын болып табылады. Өте ерте заманда пайда болған натурал сан заманда пайда болған натурал сан ұғымы көптеген ғасырлар бойы жалпылап, кеңейі түсті. Сонда сан жайындағы түсініктер адамзаттың практикалық  мұқтаждығына, мәселен, шамаларды өлшеудің қажеттілігіне және математикалық өзінің ішкі мұқтаждығына байланысты кеңейіп отырғандығы байқалды. Мысалы, шамаларды неғұрлым дәлірек өлшеудің мұқтаждығы оң бөлшек ұғымының тууна себепші болса теңдеулерді шешу тәжірибелері мен осы санадғы теориялық зерттеулерге байланысты теріс сандар ұғымы пайда болды. Бастапқыда санның жоқ екендігіне белгілек үшін қолданылған нөл, теріс сандар енгізілгеннен кейін, г бүтін сандар жиынындағы, сондай-ақ 0 рационал сандар жиынындағы толыққанды сан ретінде қарастырылатын болды.

Б.з.д. V ғасырда, Пифагор  мектебінде кесінді ұзындығын дәл  өлшеу үшін оң рационал сандардың  жеткіліксіз болатындығы тағайындалды. Кеәінірек, осы мәселелнің шешуіне  байланысты иррационал сандар пайда  болды, ал XVI ғасырда ондық бөлшектердің енгізілуіне байланысты нақты қатаң түрдегі анықтамасы мен нақты сандар жиынының қасиеттері XIX ғасырда тұжырымдалды.

Нақты сан ұғымы сандар қатарындағы ең соңғы ұғым емес.

Сан ұғымын кеңейту процесін одан әрі жалғастыра беруге болады және бұл процесс жалғасады да мұны математикалық және басқа да ғылымдардың дамуы талап етуде. Мәселен, комплекс сандар теріс сандар сияқты, математика ғылымының іштей дамуына, атап айтқанда алгебралық теңцеулерді шешу тәжірибесінде байланысты пайда болды. Тарихи тұрғыдан алғанда комплекс сан ұғымы XVI ғасырда екінші дәрежелі теңцеулерді шешу мәселесінен келіп шыққан. Комплекс сандар нақты сандар сияқты мөлшерді сипаттағанымен, нақты сандар терминдерінде құрастырылған есептерді шешуде оларды қолданудың пайдасы тиеді. Таза математикалық есептерді шешу барысында да комплекс сандарды қолдану маңызды болып саналады. Мәселен, куб теңдеулердің нақты түбірлерін табу комплекс сандарға амалдар қолдануды талап етеді. Комплекс сан деп а+ві (мұндағы, а, в € Қ ал і-қандай да бір символ) түріндегі өрнекті түсінеді. Барлық комплекс сандар жиыны С деп белгілейді. Сонда г=а+в; косплекс санындағы а-ны оның нақты бөлігі, ал в санының жорымал бөлігі деп атайды. Комплекс санды жоқтықта вектор түрінде немесе нүкте түрінде кескіндеп көрсетуге болады.

Сан ұғымын жалпылау барысында  қазіргі кезде гиперкомплекс  сандар ұғымы келіп шықты. Гиперкомплекс  сан ұғымы комплекс санға қарағанда  неғұрлым кең ұғым. Гиперкомплекс  сандардың қарапайым мысалы физика мен техникада, атап айтқанда электр және электротехника теориясында, динамикада, аэродинамикада және серпінділік теориясында қолданылатын векторлық алгебраның дамуына себепші болған кватерниондар болып табылады. Сондай-зқ самолет қанатының профилі (пішінін) анықтау мен самолет теориясының негізгі заңдылықтары қорытындылауда комплекс сандардың қолданылуын ерекше атап айтуға болады.

Сан жағдайындағы түсініктердің  пайда болуымен бірге осы жаңа сандық объектілерге амалдар қолдану  ережелерін негіздеу қолға алынып отырылды. Алайда, сандар және оларға қолданылатын мәліметтер математикалық теория ретінде XIX ғасырдың екінші жартысында, көптеген көрнекті математиктер математиканы негіздеу мәселесімен айналыса бастағанда ғана бір жүйеге келтіреді.

Қазіргі кезде әр түрлі  сандық жиындарды мына ретпен қарастыру қабылданған: натурал сандар (№ жиыны) бүтін сандар (г жиыны), рационал сандар (0 жиыны), нақты сандар (Р жиыны), комплекс сандар (С жиыны). Гиперкомплекс сандар мен кватериондар.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.2. Математикадағы  сан ұғымының кеңею кезеңдері

Математиканың   пайда   болуы   және   оның   бүгінгі   күнге   дейінгі   дамуы төрт   кезеңге   бөлінеді.

1-кезең   —   математиканың   теориялық   пән   ретінде   пайда   болуы   және

қалыптасу кезеңі. Бұл  кезең ете ерте дәуірден басталып шамамен "Евклидтің негіздері" құрылуымен аяқталған.

2-кезең.— тұрақты шамалар  математикасы кезеңі XVI ғасырдың  соқына дейін созылды.

^З-кезең   —    айнымалы    шамалар    математикасы    кезеңі.

4-кезең — қазіргі  заман математикасы кезеңі. Ол XIX ғасырдың соңынан басталып осы күндерге дейін жалғасып келеді.

А.Колмогоров ұсынған  математиканың пен түрінде қалыптасуы және дамуы осындай кезеңдерге бөлінген. Көрініп тұрғанындай, математика XIX ғасырдың соңына дейін шамалар арасындағы метрикалық қатынастарды (байланыстарды) үйренумен шектелген. Мұнда нақты шамаларды нақтылай өлшеу емес, осы шамаларды кескіндейтін сандар арасындағы байланыстарды анықтау.

Заттарды санаудың өмірлік  қажеттілігінен пайда болған натурал  сан ұғымы өте баяу дамыды. Шамаларды  өлшеу және үлестерге бөлу натурал сандардың жеке түрін өз ішіне алатын оқ бөлшек сан ұғымын алып келді. Содан соң алгебралық теңдеулерді шешу тәжірибесі және теориялық қажеттіліктен теріс сан ұғымы келіп шықты. Тек сонан соң ғана сандағы "бос" таңбаларды білдірген "ноль" сан түрінде қарастырылды. Сан ұғымы эволюциясының нәтижесі ретінде барлық бүтін оң және бүтін теріс (бүтін сандар қатарына нөл де енгізіледі) сандар және бөлшек сандарды қамтитын рационал сандар жиыны пайда болды. Пифагор мектебінде рационал сандар жиыны кез келген кесіндіні анық өлшеу үшін жеткілікті еместігі (Пифагоршылар теріс санды пайдаланбаған, білмеген), яғни өлшеуге болмайтын кесінділер бар екендігі дәлелденген.

 

Бұл ұғым бір қарағанда  өте қарапайым көрінетін ауданы 2 бірлікке тең квадраттың қабырғасының ұзындығын табуға алып келген. Ал бұл өз кезегінде иррационал сандармен бірге нақты сандар жиынын құрады. Теріс саннан квадрат түбір шығаруға ұмтылу нәтижесінде комплекс сан ұғымы шықты. Бұл жағдай кездейсоқ емес, теориялық математиканың бұдан кейінгі дамуы үшін қажеттілік, яғни он, сандарға қолданылатын амалдарды теріс сандарға қолдану нәтижесінде туындады. Комплекс сандар деп аталатын жорамал санды нақты саннан бөлек, жекеленген түрде қарастыру мүмкін емес. Себебі, бұл жағдайда диалектиканың дүниедегі зат пен құбылыстардың бір-бірімен өзара байланыста болатындығы туралы талап сақталмаған болар еді.