Бастауыш сыныптың математика сабағында, киелі сандарды оқытудың тәжірибелі эксперимент жұмысы

Оқушыларда сан ұғымын қалыптастыруда мұғалім біріншіден, бұл істі тарихи мағлұматтар, әсіресе, бұл салада еңбек еткен ғалымдар еңбектерімен байланыстыра отырып оқыту  және екіншіден, сан ұғымын кеңейтуді геометриялық тұрғыдан түсіндіріп беруі керек. Мысалы, нақты сандарға түзу нүктелері, ал комплекс сандарға жазықтық нүктелері сәйкес келеді.

Математикаға нөлдің енуі үлкен өзгерістерге алып келгендігіне ерекше тоқталу керек. Бір сөзбен айтқанда, егер ұлы бабамыз Әл-Хорезми нөлді ойлап таппағанда бүгінгі компьютерлер қайдан пайда болар еді. Нөл адамзатты қандай күрделі есептеулерден құтқарғанын көз алдымызға келтірейік. Бұл ақылға сыймайтын жақалықпен әр уақытта мақтансақ болады.

Нөл термині латынша  пе - жоқ және иііиз - бірер нәрсе  немесе арабша зіТг- қуыс (бос), үндіше зипіа - бос деген мағынаны білдіреді. Нөл юнонша оусіеп - еш нәрсе сөзінің  бірінші әрібі. Вавилондықтар алпыстық санау жүйесінде "жетпейтін" таңбаны  белгіленген. Ал үнділер \М/І ғасырларда ондық санау жүйесінде "бос" таңбаларды белгілеген. Айрықша атап айтқанда, нөл - бұл 0 цифрімен белгіленетін жұп сан; сандағы бірер таңба бірлігінің бар еместігін білдіретін математикалық белгі; оң және теріс сандар ортасындагы шекара болып қызмет ететін сан. Сол үшін оны оң санға да, теріс санға да енгізбейді; өлшеу аспаптары бөліктері басталатын нүкте және т.б.

Нөлмен орындалатын  амалдар: 1) қосу: а+0=а, 0+а=а (кез келген сандар жиынында орындалады); 2) азайту: а-0=а, а-а=0 кез келген сандар жиынында орындалады; 0-а, (натурал сандар жиынында орындалмайды); 3) көбейту: а-0=0, 0-а=0, 0-0=0. Егер а-в=0 болса, онда: не а=0, ал в^О; ве в=0, ал а^О; не а=0 жене в=0; 4) бөлу: 0:а (мұнда а^О) кез келген сандар жиынында орындалады. а:0 болуы мүмкін емес. 0:0 сандық мәнге ие емес (анықталмағандық); 5) дәрежеге шығару: а-ның 0-ші дәрежесі 1-ге тең (мұнда а^О); 6) түбірден шығару: а-ның нөлінші дәрежелі түбірі анықталмаған. Нөлдің нөлінші дәрежелі түбірі нөлге тең; 7) логарифмдеу: негіз 1-ге және 0-ге тең болғанда а-ның логарифмі болмайды. Нөлдің біз әдеттенген жазуы бірдей пайда болған жоқ. Егер санда бірер таңба жетпесе, онда үнділер цифр орнына "бос" деп айтып, жазуда бұл таңба орнына нүкте қойған. Кейінірек нүкте орнына (үндіше "суня", яғни "бос" мағынасын білдіретін) дөңгелек сызған. Араб тіліне "суняны" аударғанда "сифр"-ге айналған, соңғы сөз орыс тіліне "цифра" деп аударылған. Кейін цифр пайда болған. Цифр дегенде төмендегі 10 белгі түсініледі: 0,1,2,3,...,9. Неге үнділер ойлап тапқан цифрларды араб цифрлары дейміз? деген сұрақ туады. Яғни VII ғасырда Арабия түбегінде араб мемлекеті пайда болып, 200 жыл арасында өзіне көптеген дамыған елдерді бағындырған. Олардың қатарына Солтүстік Индия, Мысыр, Орталық Азия және т.б. елдер кірген. Мемлекеттің астанасы Бағдат болған. Бағдат араб мәдениеті орталығына айналған. Арабтар ғылымның маңызын жақсы түсінген, сондықтан өздері бағындырған мемлекеттер, соның ішінде Индия, Орта Азия ғалымдарының жұмыстарын ыждағаттылықпен үйреніп, оларды араб тіліне аударған. Сондықтан да үнді цифрларын араб цифрлары деп айту тарихи орын алған.

Мұхамед әл-Хорезми еңбектерінің маңызды қырларының бірі: ол Индия  ғалымдары ойлап тапқан ондық  позициялық санау жүйесін түбегейлі  үйреніп, оны кемелдендірді, белгілі  жүйеге келтірді жөне дүние жүзіне таратты.

Сан ұғымын кеңейтуде  белгілі шарттарды орындау талап  етіледі. Егер А сандар жиыны В  сандар жиынына дейін кеңейтілсе, онда біріншіден, АсВ болуы; екіншіден, А жиында орындалатын амалдар  В жиын элементтері үшін де сақталуы; үшіншіден, В жиында орындалатын амалдар А жиында орындалмауы; төртіншіден, В жиынды кеңейту минимал болуы және изоморфизмге дейін бір мәнді анықталуы керек. Муны темендегідей бейнелеуге болады: Мс2ос2сОсРеС... (мұндағы 2о - теріс емес бүтін сандар жиыны).

Нақты дүниенің мөлшерлік  қатынастары және кедістік формаларын үйретудегі математиканың негізгі  әдісі - бұл математикалық абстракциялау  әдісі. Бұл әдіс қазірге дейін  өткен мындаған жылдар ішінде үш кезенді  басынан өткізді.

Бірінші дәрежелі абстракциялауда  нәрселер - аулау нәтижесінде қолға түскен олжаларды, яғни аңцар, құстар және сол сияқтыларды санау сан ұғымын тудырды: бір, екі, үш,...

Санау нәтижесі түрінде  бүтін оң сандар, басқаша айтқанда, натурал сандар қатары пайда болды. Математикалық абстракциялаудың бірінші дәрежесінің қорытындысында сандар үшін түрлі символдар (белгі) дүниеге келді.

Бул символдардың жазылуы  біз әдеттенген ондық (позициялық) санау  жүйесінде ме немесе басқа санау  жүйесінде ме, мұның маңызы жоқ. Сандарға ең қарапайым амалдар - қосу, азайту, көбейту, бөлуді орындау нәтижесінде адамдар натурал сандар қатарының шексіздігіне және де сан ұғымын кеңейту қажеттілігіне сенімді болған.

Дәл осындай жағдай геометрияда  да орын алды. Фигура - геометриялық дене, сонан соң қандай да бір вақты  высандарды абстракциялау жолымен нүкте, сызық, бет ұғымдары пайда бола бастады. Материалдық өндірістен, яғни құрылыстан, оюдан (ағаш оюдан), жер өлшеу жұмыстарынан ең маңызды ереже-заңцар, геометриялық атаулар қалыптаса бастады. Бірінші абстракциялау кезеңінде, одан кейінде геометрия арифметикадан ажыраған түрде дамып отырды.

Тек абстракциялаудың екінші кезеңінде - Декарттан бастап, яғни алгебралық шамалар жалпы ұғымы  жасалған соң геометрия арифметика, алгебрамен бірігіп, жеке математика пәнін  қалыптастыра бастады.

Адамдар сандарды білдіретін символдардың нақты мөлшерлік мәндерінен алыстауы нәтижесінде айнымалылар  ұғымы қалыптаса бастады. Егер адамдарға 1+2=2+1; 3+6=6+3; 4+11=11+4 секілді қағидалар  белгілі болған болса, кейінірек  олар 1 және 2; 3 және 6; 4 жөне 11 сандарының мөлшерлік мәндерінен алыстап және де жалпы маңызға ие болған қағидалар келтіріп шығарды; екі санның қосындысы қосылғыштардың орнын ауыстырғанмен өзгермейді.

Бірақ, тәжірибе (эмпирикалық) жолымен алынған қосудың орын ауыстырымдылық (коммутативтік) заңы жалпы сипаттамаға ие болуы керек. Бұл үшін қосу амалын барлық сандарға орындауымыз керек. Мұның еш мүмкіндігі жоқ. Сондықтан абстракциялаудың үшінші дәрежесіне көтерілуіміз керек. Бұл кезеңге өткенімізде нақты 1 және 2; 3 және 6; 4 және 11 сияқты сандар орнына кез келген сандарды аламыз. Айталық, 2 - бұл екі құс па, не аң ба, бұл жағдай бізді қызықтырмайды, бұл жағдайда біз а, в, с сияқты символдарды енгіземіз және олар қандай мөлшерлік сандарды білдіруінің маңызы жоқ деп есептейміз. Нәтижеде жоғарыда келтірілген заңымыз а+в =в+а сияқты түрге келеді.

Абстракциялаудың екінші дәрежесінде нақты (натурал, оң жене теріс, бүтін, бөлшек) сандар орнын әріптік  символдар иеленді - арифметика өз орнын  алгебраға босатып берді. Алгебра  мен математикалық талдау арасындағы айырмашылық, дәл арифметика мен алгебра арасындағы айырмашылық сияқты оншалық үлкен болмай қалды.

Математикада а+в=в+а  теңдігіндегі а мен в санау  және өлшеу мүмкін болатын мөлшерлер  деп қарастырумен бірге, екі нысан  деп алынып, олардың орындарын  ауыстырғанда бәрібір бірдей нәтиже шығады деп қаралды. Мысалдар келтірейік.

1. Түстерді араластыру  үрдісін қарастырайық. Егер қызыл  және сары түстерді араластырсақ, нәтижеде қызыл-сары бояу алынады.  Мұнда қызыл бояудың үстіне  сары бояуды құйдыңыз ба, әлде  сары бояудың үстіне қызыл бояуды құйдыңыз ба, бәрібір, яғни Қ+С=ҚС және С+Қ=ҚС екі теңдіктен Қ+С=С+Қ. 2.  Енді    а    -   барлық   жұп    сандар    класы,     в    -    барлық   тақ   сандар класы   болсын.   Мұнда да а+в=в+а   теңдігі   орындалады.   Себебі,   жұп   санға тақ санды   қосқанда да,   тақ санға жұп   санды   қосқанда да нәтиже  бірдей (тақ сан) болады, яғни Ж+Т=Т және Т+Ж=Т екі теңціктен   Ж+Т=Т+Ж.

3.   Жылдамдықтарды  қосуды алайық. Жылдамдықтар векторлық  шамалар болғандықтан, олар параллелограмм ережесі бойынша   қосылады.

Егер а және в векторлар  берілген болса, олардың қосындысы  болатын с векторды алу үшін а-нын, ұшына в-ны параллель көшіріп  әкелдік пе, әлде в-ның ұшына а-ны параллель көшіріп әкелдік пе, бәрібір қорытынды векторлар  бірдей болады.

Сонымен "сан" және "нүкте" (ең қарапайым "фигура") - математиканың тарихи ежелгі-бастапқы (анықталмайтын-негізгі) ұғымдары болып, математика: сан-мөлшер-арифметика (өз кезегінде: сандар теориясы) -алгебра-математикалық  талдау; сондай-ақ, нүкте-фигура-геометрия (өз кезегінде: планиметрия, стреометрия) секілді бағыттарда дамиды және бүгін өмірде өз орнын таппаған теория ертең болмаса, оның ертесіне өмірде қолданыс табады. Сондықтан танымал математик Б.Гнеденко айтқандай, математиканы теориялық және тәжірибелік деп екіге бөлместен, бір бүтін математика деп қарастырған жөн болар еді.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Қорытынды

Сан ұғымы математикада негізгі ұғымдардың бірі болып саналады. Сандардың пайда болуында байланысты әртүрлі математикалық ұғымдар  да пайда бола бастады.

Натурал санның пайда  болуының негізгі 3 кезеңін атап көрсетуге  болады.

Сан және фигура ұғымдары, басқа ешқайдан емес, тек шындық дүниеден алған. Адамдардың санауға  үйренген, яғни алғашқы арифметикалық  есеп шығаруға үйренген он саусағын не десеңіз о деңіз, тек әйтеуір ол ақыл-ойдың тиісті шығармашылығының жемісі емес. Саау үшін саналуға тиісті нәрселердің болуы ғана емес, сонымен бірге, бүл нәрселерге көз жібергенде, олардың санынан басқа қасиеттеріне алаңцамайтын қабілетте болуы керек, ал ол қабілет -тәжірибеге сүйенген ұзақ тарихи дамуың нәтижесі.

Сан ұғымын жалпылау барысында  қазіргі кезде гиперкомплекс  сандар ұғымы келіп шықты. Гиперкомплекс  сан үғымы комплекс санға қарағанда  неғұрлым кең ұғым. Гиперкомплекс  сандарының қарапайым мысалы, физика мен техникада, атап айтқанда, электр және электротехника теорияларында, динамикада, аэродинамикада және серпіндік теорияда қолданылатын векторлық алгебралық дамуына себепші болған кватерниондар болып табылады.

Натурал сан ұғымы  қалыптасқаннан кейін сандар дербес объектілерге зерттеудің мүмкіндігі пайда болды. Арифметика - сандарды және олармен жүргізілетін амалдарды зерттейтін Ғылыми, Ежелгі, Шығыс елдерінде: Вавилонда, Қытайда, Үндістанда, Египетте дүниеге келді. Осы елдерде жинақталған математикалық білімдерді Ежелгі Грецияның ғалымдары дамытып, жалғастырды. Орта ғасырда арифметикалық дамуына Үндістанның, араб елдері мен Орта Азия материктері, ал XIII ғасырдан бастап - европалық ғасырлар үлкен үлес қосты.

 

 

Қолданылған әдебиеттер тізімі

1. Т.И.Артемьева. Психология субъективной сементики. М: издательство университета. 1980 стр-128.
2. Ж.М. Әбділдін. Диалектика-логические принципы построения теории. Алма-Ата «Наука» 1973. стр-420
3. К.А.Әбішев. Философия: Жоғары оқу орындары студенттері мен аспиранттарға арналған оқулық.Өңделіп және толықтырылып 3-ші рет басылуы- Алматы: Дәуір. 2001. 264 бет.
4. Б.М.Кедров. Классификация наук: Прогноз К.Марксса о науке будущего.-М: Мысль, 1985-стр, 543
5. П.В.Копнин
6. А.Дистерверг. Избранные педагогические сочинения-М: Госучпедиз, 1956-стр.374
7. Я.А.Коменский. Педагогическая наследия. 1988-41 б.с.
8. И.Г.Песталоцци. Статьи и отрывки из педагогических сочинений. –М: Гос. Учебн-педагогических. изд. Наркомпроса. РСФСРІ939-ІІІС.
9. Ж.Ж. Руссо. Избранное-М: Дет. лит., 1976-І90с
10. Абай, К.Д. Абай тағлымы: Әдеби-сын мақалалар мен зерттеулер.-Алматы: Жазушы 1986 -428 б.
11. Ушинский. Избранные произведения М: Наука. 1957-стр 463.
12. И.Алтынсарин. Избранные произведения-М: Наука. 1957-стр.463
13. К.Ж.Аганина.
14. К.М.Арынғазин.
15. Н.А.Завалко. 3-132 «Психологический анализ оперативного мышления (экспериментальный-теорическое исследование-М: Наука, 1985)
16. Н.П.Ким. Белка: Роман-сказка. М: Сов: писатель 1984-стр.272.
17. Ж.Ж. Наурызбай. Ұлттық мектептің ұлы мұраты: Оқушыларға мәдени-этикалық білім беру туралы. Ана тілі; 1995-192б
18. Ж.А. Макатова.
19. Лейтес Н. С. Об умственной одаренности. М. Прос.,1960г.