Арифметические действия в начальном курсе математики и методика их изучения

 

Обеспечить  усвоение детьми связей, существующих между действиями. Научить применять соответствующие знания: а) в вычислениях (при нахождении частного с опорой на знание соответствующего случая умножения, при нахождении разности с опорой на знание соответствующего случая сложения); б) при проверке правильности выполненных вычислений; в) при решении задач на нахождение неизвестного компонента действий и г) при решении простейших уравнений.

 

Обеспечить  сознательное и прочное усвоение детьми основных приемов устных и  письменных вычислений, умение сознательно выбирать такие из известных приемов вычислений, которые более всего отвечают особенностям каждого конкретного примера.

 

Сформировать  у детей сознательные и прочные  навыки быстрых и правильных вычислений.

 

Для успешного  решения каждой из этих конкретных задач курса необходимо не только определить содержание и систему соответствующих упражнений (это в основном сделано в учебниках), но целесообразно использовать различные методы обучения.

 

Осознание смысла действий, существующих между ними связей, зависимости между компонентами и результатами действий может быть обеспечено только в том случае, если рассмотрение этих теоретических вопросов будет вестись на прочной базе собственного опыта детей. При этом следует учитывать, что речь здесь должна идти не только о жизненном опыте, приобретаемом детьми в ходе разнообразных практических действий с предметами, но и об опыте, накапливаемом при изучении математики в школе.

 

Так, скажем, работа над нумерацией и арифметическими  действиями строится в начальном  курсе математики концентрически. В программе намечена система постепенного расширения области рассматриваемых с - детьми чисел (десяток - сотня - тысяча - многозначные числа), причем при изучении каждой из этих тем предусмотрено наряду с рассмотрением новой области чисел постепенное введение (или углубление, систематизация, обобщение) приобретенных детьми ранее знаний нумерации и действий с числами. Ознакомление детей с числами и арифметическими действиями подготавливается на первых уроках математики практическими упражнениями в объединении двух данных множеств предметов, в установлении соответствия между элементами двух множеств, в выделении части данного множества предметов.

 

От операций с множествами дети постепенно переходят  к счету предметов, знакомятся с  первыми десятью числами натурального ряда (их названиями, последовательностью), выясняют на примере этих чисел, как образуется каждое следующее число в натуральном ряду, учатся сравнивать числа, находить их сумму и разность. Сначала это делается на основе выполнения соответствующих операций над множествами предметов и счета элементов множества, полученного в результате объединения двух множеств или удаления части множества, а затем и с использованием некоторых приемов действий над числами (присчитывание и отсчитывание по единице и группами и др.).

 

При изучении сложения и вычитания в пределах 10, а  затем и сотни дети знакомятся с вычислительными приемами, основанными  на использовании свойств действий (переместительное свойство суммы, различные  способы прибавления числа к сумме и суммы к числу, вычитания числа из суммы и суммы из числа), а также на основе понимания связи между сложением и вычитанием. При этом, как уже отмечалось, вся работа, связанная с рассмотрением этих свойств и разнообразных приемов вычислении, подчиняется задаче рационализации вычислений.

 

Важнейшей задачей  первого года обучения в отношении  формирования вычислительных навыков  является такое усвоение детьми табличных  случаев сложения и вычитания, которое  обеспечивало бы возможность автоматизированных вычислений при сложении однозначных чисел и формирования навыков быстрых устных вычислений с двузначными числами.

 

В объяснительной записке к программе подчеркивается, что табличные случаи сложения и  вычитания должны быть в результате упражнений усвоены детьми па память и поэтому большое значение имеет своевременное создание у детей установки на их запоминание. Необходимо также вести повседневную тренировочную работу, без которой желаемого результата достичь, нельзя.

 

При рассмотрении нумерации в пределах 100 специальное внимание уделяется ознакомлению детей с новой счетной единицей - десятком, изучению состава чисел из разрядных слагаемых (13 - это 10 и 3 или 1 десяток и 3 единицы), выяснению поместного значения цифр в записи двузначных чисел. Рассмотрение этих вопросов происходит на таком уровне, который предполагает уверенное использование детьми соответствующих знаний, но не требует усвоения каких-либо обобщенных формулировок.

 

Умножение и  деление в пределах 100 рассматривается  во II классе. При ознакомлении с этими новыми для детей арифметическими действиями учитель может опереться на подготовительную работу, предусмотренную программой для I класса (упражнения в нахождении суммы одинаковых слагаемых и в представлении числа в виде такой суммы).

 

Как и при изучении сложения и вычитания, рассмотрение приемов умножения и деления в пределах 100 ведется на основе предварительного ознакомления детей с некоторыми важнейшими свойствами этих действий и связи, существующей между умножением и делением. При этом возникают вопросы, аналогичные тем, которые были рассмотрены нами выше применительно к сложению и вычитанию.

 

Каждое из четырех арифметических действий должно прочно связаться в  сознании детей с теми конкретными  задачами, которые требуют его  применения. Смысл действий и раскрывается главным образом на основе практических действий с множествами предметов и на системе соответствующих текстовых задач.

 

На их основе доводится  до сознания детей связь между  компонентами и результатами действий, связь между действиями, рассматриваемые свойства действий и изучаемые математические отношения.

 

Уже в теме "Десяток" после ознакомления с первыми  десятью числами дети впервые  встретятся с нулем. В дальнейшем, по ходу изучения сложения, вычитания, умножения и деления уделяется специальное внимание рассмотрению случаев действий с нулем. В связи с изучением умножения и деления выделяются случаи умножения и деления с нулем и единицей.

 

В органической связи с  изучением чисел и арифметических действий ведется и работа по ознакомлению детей с величинами и их измерением. Знакомство с новыми единицами измерения и установление соотношений между ними, упражнения в преобразовании чисел, выраженных в различных единицах измерения, связывается, как правило, с работой над нумерацией. (Так, параллельно рассматриваются состав чисел второго десятка из разрядных слагаемых и получение в результате измерения отрезков чисел вида 1 дм 5 см, преобразование этих чисел: 1 дм 5 см = 15 см. Делается это по аналогии со случаями вида: 1 дес.5 ед. составляют 15 ед) Этот принцип реализуется и в дальнейшем - при каждом расширении области чисел и при рассмотрении новых случаев действий.

 

При переходе к изучению тем "Тысяча" и "Многозначные числа" основное значение приобретает работа над формированием навыков письменных вычислений. Однако при этом предполагается, что параллельно с рассмотрением приемов письменного выполнения арифметических действий все время будет совершенствоваться и умение выполнять устные вычисления с числами в пределах 100 (а также, в легких случаях, и с числами большими).

 

При раскрытии способов письменного  выполнения сложения, вычитания, умножения  и деления чисел, как и для  приемов устных вычислений, предусмотрено  осознание учащимися смысла выполняемых  операций, их последовательности, доступное их обоснование. Вместе с тем при этом все время должна иметься в виду конечная цель, состоящая в выработке определенного автоматизма в письменных вычислениях (возврат к осмыслению производимых операций и в данном случае рекомендуется главным образом при возникновении тех или иных затруднений или ошибок в ходе вычислений).

 

Хотя программой предусмотрено  ознакомление учащихся начальных классов  с нумерацией и действиями над  многозначными числами в пределах класса миллионов, в соответствии с  ограничением, оговоренным в объяснительной записке, подавляющее большинство тренировочных упражнений должно включать лишь такие числа и действия, которые не выходят за пределы миллиона.

 

Параллельно с работой  над письменными вычислениями обобщаются и углубляются знания детей о самих действиях, их свойствах (вводятся некоторые новые свойства), о существующей между действиями связи, об изменении результатов действий при изменении одного из компонентов, о взаимосвязи между компонентами и результатом. Обобщение и углубление соответствующих знаний происходят на прочной основе наблюдений, систематически проводимых в течение четырех лет начального обучения. Все эти знания, как подчеркивается в объяснительной записке к программе, используются для рационализации вычислений.

 

Параллельно и в неразрывной связи с изучением чисел и арифметических действий ведется работа, направленная на формирование понятий выражения, равенства и неравенства. Числовые выражения, равенства и неравенства впервые встречаются уже на первых уроках обучения математике и затем систематически, из урока в урок, работа над ними продолжается. Она предполагает постепенное усложнение материала не только за счет расширения области рассматриваемых чисел, но и за счет усложнения структуры рассматриваемых выражений и усложнения видов заданий, связанных с применением приобретенных детьми ранее знаний.

Помимо задачи формирования понятий о выражении, равенстве, неравенстве, соответствующие упражнения служат, таким образом, задаче закрепления как вычислительных навыков, так и тех элементов арифметической теории, которые рассматривались при изучении действий.

Выводы

 

У каждого народа были свои арифметические действия. И все они использовались для выполнения операций над числами. Более тысячи лет развивалась и утверждалась идея выполнения арифметических действий сложения, вычитания, умножения и деления. Эти арифметические действия являются основными действиями в математике. Изучение истории развития являются интересными не только для учеников, но и для нас самих, а изучение помогает заинтересовать младших школьников.

 

Каждое из четырех  арифметических действий должно прочно связаться в сознании детей с теми конкретными задачами, которые требуют его применения. Смысл действий и раскрывается главным образом на основе практических действий с множествами предметов и на системе соответствующих текстовых задач. На их основе доводится до сознания детей связь между компонентами и результатами действий, связь между действиями, рассматриваемые свойства действий и изучаемые математические отношения.

 

Сложение и  умножение чисел обладают свойствами коммутативности, ассоциативности, умножение  дистрибутивно относительно сложения.

 

Переместительное  свойство умножения широко используется при составлении таблицы умножения  однозначных чисел. Сочетательный  закон в начальной школе в  явном виде не рассматривается, но используется вместе с переместительным законом  при умножении числа на произведение. Распределительный закон умножения относительно сложения рассматривается в школе на конкретных примерах и носит название правил умножения числа на сумму и суммы на число. Рассмотрение этих двух правил диктуется методическими соображениями.

 

Глава II. Исследовательская работа по изучению формирования понятия свойств арифметических действий у младших школьников

2.1 Изучение  арифметических действий и их  свойств в различных системах  обучения

 

В программе  Моро М.И. уделяется значительное внимание формированию у учащихся осознанных и прочных, во многих случаях доведенных до автоматизма навыков вычислений, программа предполагает вместе с тем и доступное детям обобщение учебного материала, понимание общих принципов и законов, осознание тех связей, которые существуют между рассматриваемыми явлениями.

 

Формирование  понятий о натуральном числе  и арифметических действиях начинается с первых уроков и проводится на основе практических действий с различными группами предметов. Такой подход дает возможность использовать ранее накопленный детьми опыт, их первоначальные знания о числе и счете. Это позволяет с самого начала вести обучение в тесной связи с жизнью. Приобретаемые знания дети могут использовать при решении разнообразных задач, возникающих в их игровой и учебной деятельности, а также в быту.

 

Вместе с  тем с самого начала обучения у  детей формируются некоторые  важные обобщения. Так, на примере чисел  первого десятка выясняется, как  образуется каждое следующее число  в натуральном ряду, устанавливается соотношение между любым числом ряда и всеми предшествующими или последующими числами, учащиеся знакомятся с различными способами сравнения чисел (сначала на основе сравнения соответствующих групп предметов, а затем по месту, которое занимают сравниваемые числа в ряду).

 

При изучении сложения и вычитания в пределах 10 дети знакомятся с названиями действий, их компонентов и результатов, терминами  равенство, неравенство. При этом имеется  в виду, что математические термины  должны усваиваться детьми естественно, как усваиваются ими любые новые для них слова, если они часто употребляются окружающими и находят применение в практике. В дальнейшем, во II классе, вводятся термины выражение, значение выражения.