Арифметические действия в начальном курсе математики и методика их изучения

Введение

 

Глава I. Развитие арифметики

1.1 Появление  арифметических действий

 

1.2 Арифметические  действия в начальном курсе  математики и методика их изучения

 

Глава II. Исследовательская работа по изучению формирования понятия свойств арифметических действий у младших школьников

2.1 Изучение  арифметических действий и их  свойств в различных системах  обучения

 

Заключение

 

Список  литературы

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение

 

Изучение свойств  алгебраических операций привело математиков  к выводу о том, что основная задача алгебры - изучение свойств операций рассматриваемых не зависимо от объектов, к которым они применяются. И если первоначально алгебра была учением уравнений, то XX веке она превратилась в науку об операциях и их свойствах.

 

Ознакомление учащихся с арифметическими действиями подготавливается на первых уроках математики практическими упражнениям в объединении двух множеств предметов, в установлении соответствия между элементами двух множеств, в выделении части данного множества предметов.

 

Каждое из четырех  арифметических действий должно прочно связаться в сознании детей с  теми конкретными задачами, которые  требуют его применения. Смысл  действий и раскрывается главным  образом на основе практических действий с множествами предметов и  на системе соответствующих текстовых задач.

 

Если по двум данным числам определяют третье число, удовлетворяющее некоторым условиям, то этот процесс в математике называют действием.

 

Все существующие ныне альтернативные системы обучения опираются на теоретико-множественный подход при формировании свойств арифметических действий.

 

Для объяснения обычно используют множества предметов  не ссылаясь на задачи. Не каждый учитель  ясно представляет, что изучение арифметических действий и их свойств в процессе работы с задачей усваиваются лучше. Исходя из важности изучения свойств арифметических действий, из-за отсутствия единого подхода к изучению данной проблеме в различных системах обучения возникает необходимость рассмотрения, выяснения и уточнения особенностей формирования понятия свойств арифметических действий. В этом заключается актуальность, так как, во-первых, изучение и применение свойств арифметических действий является одним из важных тем, во-вторых, многие учителя не акцентируют внимание на использование свойств этих действий.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Глава I. Развитие арифметики

1.1 Появление  арифметических действий

 

Содержание  курса арифметики в разные времена  у разных народов было весьма различно. Индийцы, например, причисляли извлечение кубического корня к элементарным арифметическим операциям. С другой стороны, руководство профессора Пурбаха (1423-1491гг.) первого профессора Венского университета, читавшего лекции по математике, содержащий только материал, изучаемый ныне в начальной школе.

 

Л.Ф. Магницкий, определив арифметику или числительницу, как "художество честное, независимое и всем удобопонятное, многополезнейшее и многопохвальнейшее", рассматривает в своей книге пять "определений" или арифметических действий: "нумерацию или счисление, аддицию или сложению, субтракцию или вычитание, мультипликацию еже есть умножение и дивизио еже есть деление".

 

Различно было понимание того, что называется арифметическими  действиями. В латинских учебниках, которыми в течение нескольких веков  пользовались школы всех народов, эти действия назывались виды (действия) (от лат. species). Это наименование определения арифметических действий впервые встречается в рукописях XIII в. В XVI в. оно становится общеупотребительным и вытесняет термин часть арифметическая (от лат. рагs arthmetika). Индийские математики рассматривали шесть арифметических действий: сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень и извлечение корней.

 

Сакробоско (XIII в) имеет их девять, как и многие авторы последующих веков: нумерация, сложение, вычитание, удвоение, умножение (деление пополам), деление, прогрессия, извлечение корней. Действие "прогрессия" рассматривало в большинстве случаев суммирование чисел натурального ряда, в редких случаях суммирование отдельно четных и нечетных чисел натурального ряда, и лишь в исключительных случаях суммирование двух простейших геометрических прогрессий 1, 2, 4, 8,... и 1, 3, 9, 27,...

 

Извлечение  корней ограничивалось в большинстве  случаев только квадратными корнями. Действие "нумерация" вошло в  учебники в качестве особого арифметического действия в эпоху, когда борьба между сторонниками римского и индийского способов счисления была злободневной (XIII и XIV вв.).

 

Действие "удвоения" берет свое начало из Египта. Как  уже указано, основные сведения о  египетской математике черпаются из папируса Райнда, написанного писцом Ахмесом в эпоху 1800-1600 гг. до н.э. Он описан в главе о египетской нумерации.

 

Новейшие исследователи (Арчибальд, Вилейнтнер) опровергают  существовавший взгляд, согласно которому египетская наука считалась чисто практической и эмпирической, задачи Ахмеса порой настолько абстрактны, что возникали непосредственно из практики.

 

Наши четыре действия над числами египтяне выполняли  сложением, удвоением и делением пополам.

 

Удвоение являлось основной операцией; египетский язык имеет для этого и особую форму двойственного числа. Из прямых операций употреблялось еще только увеличение в десять раз. Вычитание выполнялось дополнением вычитаемого до уменьшаемого, деление - удваиванием.

 

Греки хотя и  имели действие умножения, в житейской практике обычно употребляли египетский метод удвоения. О двух методах умножения чисел упоминает Платон.

 

Однако даже передовой для своего времени  учебник "Начало" Вольфа, еще в 1754 г. указывает, что число можно  умножить без заучивания таблицы умножения - удвоением и сложением результатов.

 

Первое русское  издание книги Вольфа 1770 г. ("Сокращение первых оснований математики") этого  указания уже не содержит и ограничивается указанием "кто хочет иметь  способность скоро умножение делать, тому должно пифагорову решетку (таблицу умножения) наизусть выучить и покамест, на память не затвердится, иметь перед собой".

 

Удвоение и  египетский способ умножения при  помощи удвоения оказались очень  живучими и удержались в практике до последнего времени.

 

Порядок изучения четырех арифметических действий предлагался  в разные времена различий. У Леонарда Пизанского действия изучаются в  порядке: умножение, сложение, вычитание, деление; у Петра Борги (1484 г) - умножение, деление, сложение, вычитание.

 

Начать изучение арифметических действий, с умножения  было предложено на одном из международных  философских конгрессов еще в  начале нынешнего столетия. Против предложения резко выступил В.В. Бобынин Кебель (1515 г) подчеркивает равноценность всех четырех действий, Грамматеус (1518 г) отмечает взаимозависимость сложения с умножением, вычитания с делением. Мисрахи (1528 г) рассматривает умножение как частный случай сложения и не включает его в число арифметических действий, так как оно представляет лишь способ сокращенной записи.

 

Различение  арифметических действий по ступеням делает впервые Непир (1550-1617 гг.) в  книге "Логистическое искусство", которая была напечатана лишь в 1839 г. Непир считает умножение и  деление действиями более высшего  порядка, чем сложение и вычитание; третью ступень действий составляют возведение в степень и извлечение корней.

 

Наиболее древние  индийские памятники свидетельствуют  о том, что в Индии четыре арифметических действий выполнялись почти так  же, как мы их выполняем в настоящее время. Вследствие того, что жители Индии писали на посыпанных песком дощечках, на которых можно было легко "стереть" ненужную цифру, они производили действия слева направо. При письме же на бумаге при таком порядке действий возникала необходимость перечеркивать ставшую ненужной или неверную цифру писать над ней или под ней действительную. Этот прием был введен арабами и от них перешел к европейцам; неудобство его отмечает уже Максим Плануд (1313 г)

 

С XV в. в Европе входят в употребление наши способы вычисления, fie требующие зачеркиваний цифр (Начало в Италии). В "алгорифмитическом трактате" Белдоманди (1410 г) отличается от наших способов выполнения арифметических действий только деление. Способ перечеркивания цифр "немецким манером", которого придерживались в Германии, уступил место итальянскому, после того как последний способ приняли виднейшие европейские математики XV в. Гмунден, Пурбах, Региомонтан.

 

Таким образом, у каждого народа были свои арифметические действия. И все они использовались для выполнения операций над числами. Более тысячи лет, развивалась и утверждалась идея выполнения арифметических действий. Хотя они являются условными действиями, как в математике, так и в практической деятельности людей. Изучение истории развития любого понятия являются интересным не только для учеников, но и для нас самих, а изучение истории развития арифметических действий, безусловно, помогает заинтересовать младших школьников математикой.

 

1.2 Арифметические  действия в начальном курсе  математики и методика их изучения

 

В течение всех четырех лет начального обучения ведется работа по формированию у  детей понятий о натуральном  числе и арифметических действиях. С самого начала это делается в  неразрывной связи с рассмотрением  различных случаев практического  применения этих понятий, с работой, направленной на усвоение детьми некоторых свойств чисел, десятичной системы счисления, арифметических действий и основанных на них приемов вычислений. Результатом этой работы должно стать усвоение детьми как включенных в программу вопросов теоретического характера, так и сознательное и прочное овладение навыками применения изученных вопросов теории к решению разнообразных практических и учебных задач и выполнению устных и письменных вычислений. Теория и практика должны при этом в ходе всей работы над арифметической частью программы выступать в их единстве и взаимосвязи. Как показывают наблюдения за опытом реализации программы в практике массовой школы, именно это важнейшее требование программы довольно часто нарушается.

 

Проявляется это в том, что, отрабатывая, скажем, навыки устных вычислений, учителя нередко забывают при этом о необходимости довести до сознания детей теоретическую основу выполняемых операций, не приучают к тому, чтобы в случае появления ошибок в ходе вычислений учащиеся возвращались к рассмотрению тех вопросов теории, которые могут помочь им осознать причину допущенной ошибки и самостоятельно исправить ее. Между тем именно сознательность усвоения - основа, на которой могут быть сформированы действительно прочные навыки уверенных, правильных и быстрых вычислений.

 

Нарушение требования рассмотрения теории и практики в  их единстве проявляется также в  том, что на уроках математики нередко  перед детьми ставятся в отвлеченной  форме вопросы теоретического характера, разучиваются соответствующие определения, "правила" и т.п. в отрыве от их практического применения. При этом приходится сталкиваться и с такими случаями, когда от учащихся требуется знание формулировок, которые либо вовсе не предусмотрены программой, либо должны быть усвоены детьми значительно позднее. Так обстоит дело, например, когда учитель в I классе требует полного ответа на вопрос: "Как называются числа при сложении?" В такой форме знания математической терминологии вообще не следует требовать. (Важно лишь, чтобы дети понимали смысл соответствующих слов, когда их использует учитель, и постепенно включали бы эти термины и в свою речь) Так обстоит дело и тогда, когда учитель уже в I классе требует от учащихся объяснения того, как может быть проверено вычитание с помощью сложения (это материал второго года обучения) и т.п.

 

Чтобы не допускать  подобных методических ошибок, приводящих к искусственной перегрузке учащихся, важно ясно представлять себе всю  систему работы над арифметическим материалом с I по IV класс, понимать значение и место тех элементов теории, которые предусмотрены программой.

 

Из требований программы вытекают следующие задачи:

 

Довести до сознания детей смысл рассматриваемых  действий, научить их правильно выбирать нужное арифметическое действие при решении различных простых задач.

 

На доступном  для младших школьников уровне и  в доступной для них форме  познакомить их с теми свойствами рассматриваемых действий, которые  являются теоретической основой  изучаемых приемов устных и письменных вычислений. Научить применять изученные свойства в разнообразных условиях, используя соответствующие знания в целях рационализации вычислений, а также в целях отыскания наиболее рационального способа решения задач.