Сложные суждения

 

 

 

 

 Традиционная формальная  логика рассматривает структуру  сложных суждений, как такую мыслительную  конструкцию, элементы которой  связаны между собой по смыслу. Правда, она не делает отношения между сложными суждениями предметом своего обстоятельного исследования. Можно в качестве исключения говорить лишь о рассматриваемых традиционной логикой отношениях и связях между условным и разделительным суждениями, но традиционная логика рассматривает их в качестве элементов более сложной формы мысли — умозаключения, как условно-разделительный силлогизм.

Отношения между четырьмя видами сложных суждений - предмет  современной формальной (математической, или символической) логики. Она анализирует  и устанавливает закономерные зависимости  между сложными суждениями и даже имеет целый список так называемых формул равносильностей, когда сложные суждения с одним логическим союзом по своему истинностному значению тождественны другим сложным суждениям с другими логическими союзами. То есть речь идет о взаимозаменяемости логических союзов. Так, эквивалентность может быть выражена импликацией, импликация - дизъюнкцией, дизъюнкция - конъюнкцией, и наоборот.

Например: (p&q) равносильно «не-(p → не-q)» и равносильно «не-(не-p v не-q)»;

(p v q) равносильно не-(не-p & не-q);

(p → q) равносильно (не-p v q); (p ≡ q) равносильно ((не- p v q) & (не-p v q)).

Сложное суждение может не только состоять из нескольких простых  суждений, но и включать в себя несколько  логических связок : (p&q) → p. Чтобы установить истинность такого суждения, необходимо установить главный логический союз, указывающий на вид суждения, и построить соответствующую таблицу истинности.

 

Сложные логические выражения

Сложные логические выражения складываются из нескольких сложных суждений, связанных с помощью логических операций. При составлении данных  таблиц истинности необходимо учитывать последовательность: 1)инверсия   2)конъюнкция   3)дизъюнкция  4)импликация 5)эквивалентность.  Для изменения указанного порядка используют скобки!

Существует также определённый алгоритм составления таких таблиц:

1. Определить количество строк, которое будет в таблице.

Для этого применяется  функция:  2 ⁿ   +  2 ,где  n – количество простых высказываний.

2. Определить количество столбцов, которое будет в таблице.

Для этого применяется  функция:  k +  n, где  k – количество разных логических операций, входящих в сложное высказывание.

3. Заполнить первые  n столбцов.
4. Заполнить остальные столбцы. В соответствии с таблицами истинности соответствующих логических операций, причем при заполнении каждого столбца операции выполняются над значениями одного или двух столбцов, расположенных левее заполняемого.

 

 

Упражнения

1. Установите вид следующих сложных суждений и определите их истинность при помощи таблиц истинности:
1. Редакция вправе увеличить или уменьшить размер гонорара.

• Разъединительное  сложное суждение
• Дизъюнкция сильная (т.к. одновременно увеличить и уменьшить гонорар невозможно)
• Выражает: выбор
• Структура: pvq

!Сильная дизъюнкция истинна  только при разных логических  значениях

Предположим, что первая часть суждения истинна, значит, вторая ложна.

p	q	p v q	Сильная дизъюнкция : Истинна только при разных логических значениях членов дизъюнкции.   Ложна при одинаковых  логических значениях.
и	и	л
л	и	и
и	л	и
л	л	л

 

 

Выражение ИНСТИННО

 

2. Банан – пищевое растение и источник доходов для экспортирующих стран.
2. Соединительное  сложное суждение
3. Конъюнкция со сложным предикатом
4. Выражает: одновременность
5. Структура: p&q

!Конъюнкция ложна, если  ложен хотя бы один из её  членов

Банан – это не пищевое  растение. Значит, ложна первая часть суждения.

p	q	p&q	Конъюнкция : Истинна только в одном случае - когда все входящие в него простые суждения являются истинными.   Ложна, если ложен хотя бы один из её членов.
и	и	и
л	и	л
и	л	л
л	л	л

 

 

Выражение ИСТИННО

 

1.3. Он сейчас находится в Минске или в Петербурге.

• Разъединительное  сложное суждение
• Дизъюнкция сильная (т.к. одновременно увеличить и уменьшить гонорар невозможно)
• Выражает: альтернативу
• Структура: pvq

!Сильная дизъюнкция истинна  только при разных логических  значениях

Предположим, что первая часть суждения истинна, значит, вторая - ложна, т.к. он не может одновременно находиться в разных городах.

p	q	p v q	Сильная дизъюнкция : Истинна только при разных логических значениях членов дизъюнкции.   Ложна при одинаковых  логических значениях.
и	и	л
л	и	и
и	л	и
л	л	л

 

 

Выражение ИНСТИННО

 

1.4. Кукушка хвалит петуха за то, что хвалит он кукушку.

• Условное сложное суждение
• Импликация
• Выражает: причинно-следственную связь
• Структура: p→q

!Истинно во всех случаях,  кроме одного, когда антецедент – истенен, а консеквент – ложен, т.е. в случае, если причина возникла, а следствие не наступает

p	q	p → q	Импликация :  (суждения равнозначные) Ложна, если антецедент – истенен, а консеквент – ложен. (причина возникла, а следствие не наступает)   Истинна во всех остальных случаях!
и	и	и
и	л	л
л	и	и
л	л	и

 

 

Выражение ИНСТИННО

 

1.5. Если к двум прибавить два, то получится четыре.

• Условное сложное суждение
• Импликация
• Выражает: причинно-следственную связь
• Структура: p→q

!Истинно во всех случаях,  кроме одного, когда антецедент  – истенен, а консеквент – ложен, т.е. в случае, если причина возникла, а следствие не наступает

p	q	p → q	Импликация :  (суждения равнозначные) Ложна, если антецедент – истенен, а консеквент – ложен. (причина возникла, а следствие не наступает)   Истинна во всех остальных случаях!
и	и	и
и	л	л
л	и	и
л	л	и

 

 

2. Постройте таблицу истинности для следующего выражения: ù(p®(pvq)).

Составим  две таблицы: Если дизъюнкция является сильной или является слабой.

Это сложное логическое выражение, составленное из одного или нескольких сложных суждений, связанных с помощью логических операций. Для выполнения данных операций необходимо учитывать последовательность: 1)инверсия   2)конъюнкция   3)дизъюнкция  4)импликация 5)эквивалентность. Для изменения указанного порядка используют скобки! Но в данном случае весь порядок определён скобками.

Для создания таблицы выполняем следующие  действия:

1) Определяем  количество строк, которое будет в таблице.

Для этого применяем функцию:  2 ⁿ   +  2 ,где  n – количество простых высказываний.

2³ + 2=10

2) Определяем количество столбцов, которое будет в таблице.

Для этого применяем функцию:  k +  n, где  k – количество разных логических операций, входящих в сложное высказывание.

3+3=6

3)Заполняем первые  3 столбца.

4)Заполняем остальные столбцы. В соответствии с таблицами истинности соответствующих логических операций.

5) Представим функции  вид: ù(А®(ВvС)). (1-истина, 0- ложь)

Слабая дизъюнкция:

1	2	3	4	5	6
А	В	С	E=A®F (2действие)	F= ВvС (1действие)	D=ù E (1действие)
1	1	1	1	1	0
1	1	0	1	1	0
1	0	1	1	1	0
1	0	0	0	0	1
0	1	1	1	1	0
0	1	0	1	1	0
0	0	1	1	1	0
0	0	0	1	0	0

 

 

 

 

Для сильной дизъюнкции произведём аналогичные операции

Сильная дизъюнкция:

1	2	3	4	5	6
А	В	С	E=A®F (2действие)	F= ВvС (1действие)	D=ù E (1действие)
1	1	1	0	0	1
1	1	0	1	1	0
1	0	1	1	1	0
1	0	0	0	0	1
0	1	1	1	0	0
0	1	0	1	1	0
0	0	1	1	1	0
0	0	0	1	0	0