Решение задач оптимизации

     ФГБОУВПО  «Удмуртский государственный университет»

     Институт  Экономики и Управления

     Кафедра Высшей Математики и Информатики 
 
 
 
 

     Лабораторная  работа по информатике №1

     Решение задач оптимизации 
 
 
 
 
 
 
 

     Выполнил: студент 2 курса  

     гр. 610-21  

     Проверил:  
 

     Ижевск, 2011

 

Исходная  постановка задачи

     Вариант 11.

     Автозавод выпускает две модели автомобилей: «Каприз» и (более дешевую) «Фиаско». На заводе работает 1000 неквалифицированных и 8000 квалифицированных рабочих, каждому из которых оплачивается 40 часов в неделю.

     Для изготовления модели «Каприз» требуется 30 часов неквалифицированного труда  и 50 часов квалифицированного труда. Для «Фиаско» требуется 40 часов неквалифицированного труда и 20 часов квалифицированного труда.

     Каждая  модель «Фиаско» требует затрат в  размере 500$ на сырьё и  комплектующие  изделия, тогда как каждая модель «Каприз» требует затрат в размере 1500$; суммарные затраты не должны превосходить 900 000$ в неделю.

     Рабочие, осуществляющие доставку, работает по пять дней в недеою и могут забрать с завода не более 210 машин в день.

     Каждая  модель «Каприз» приносит фирме 1000$ прибыли, а каждая модель «Фиаско» - 500$ прибыли.

     Какой объем выпуска каждой модели вы бы порекомендовали. 

     Составим  для наглядности таблицу исходных данных.

     

	Модели  машин		Всего в  неделю	Число рабочих
	Каприз	Фиаско
Затраты на сырье	1500	500	900000
Неквалифици-рованный труд, ч	30	40	72000	1000
Квалифицирован-ный труд, ч	50	20		800
Прибыль ед. продукта	1000	500

 
 

       Формальная математическая  постановка задачи 

     Константы

     1. Пусть а_i – объем затрат i-того ресурса на выпуск j-той единицы продукции, где i=1,2; j=1,2.

     Посчитаем, сколько потребуется времени  квалифицированного и неквалифицированного труда для производства каждой модели машины: «Каприз» - 80 час., «Фиаско» - 60 час.

     

1500	500
80	60

      

                                           а_i=  

     2.  Пусть c_i – прибыль от реализации модели j, где j=1,2. С₁=1000 руб., с₂=500 руб.

     3. Пусть b_j – количество имеющихся ресурсов j, где j=1,2. B₁=900000$; b₂=72000 час.

     4. Пусть d – количество машин, которое рабочие, осуществляющие доставку, могут забрать с завода в неделю. D=210*5=1050 шт. 

       Переменные

1. Обозначим через через х_j количество выпущенных за неделю полок j, j=1,2, то есть

х₁ – количество выпущенных за неделю машин  модели «Каприз»;

х₂ – количество выпущенных за неделю машин модели «Фиаско».

2. Обозначим через R_i  фактический расход имеющегося ресурса денег и затрачиваемого времени, где i=1,2, то есть

R₁ – фактический расход денег;

R₂ – фактический расход рабочего времени;

3. Обозначим через Р еженедельную прибыль от реализации машин «Каприз» и «Фиаско».

 

     Решение

1. Зададим математическую модель фактического расходования ресурсов

R_i= ∑a_ijx_j , где i=1,2,

или   R₁ = 1500x₁ + 500x₂              для сырья

         R₂ = 80x₁ + 660x₂             для времени

2. Зададим математическую модель нахождения общей прибыли от реализации машин ∑c_jx_j. Ее максимизация является цельюрешения задачи. Следовательно, целевая функция будет иметь вид:

   ∑ c_j x_j → max 

     Ограничения

1. Расход ресурсов не должен превышать их запас

R₁ ≤ b₁                  1500x₁ + 500x₂ ≤   900000

R₂ ≤ b₂            80x₁ + 660x₂ ≤ 72000  

2. Количество выпускаемых машин должно быть целым числом.
3. Количество выпущенных машин в неделю недолжно превышать 1050 шт.

х₁ + х₂ ≤ 1050

4. Поскольку х₁ и х₂ выражают объем выпускаемых машин, то они не могут быть отрицательны, то есть х₁ ≥0 и х₂≥0.   

 

Методика  выполнения в Microsoft Excel 

     

     

     Набор ограничений:

1. B8:C8=целое;
2. B8:C8>=0 (количество выпускаемых машин не должно быть отрицательным);
3. D13<=D3(ограничение на наличие сырья);
4. D14<=D4(ограничение на расход рабочего времени);
5. E8<=F8(ограничение на выпуск машин в неделю).

 

     Анализ  найденного решения

     Таким образом, наилучшими для данной задачи являются выпущенных за неделю 375 машин  модели «Каприз» и 675 машин модели «Фиаско». При таком выпуске продукции  фактически использованный объем наличия  сырья и рабочего времени  не превышает  планируемого объема. Также такой  выпуск не превосходит количества машин, которое могут забрать за неделю. И при этом еженедельная прибыль  будет достигать своего максимума, равного 712 500 рублей.