Динамический демпфер

 

Федеральное агентство по образованию

Нижегородский государственный университет им. Н. И. Лобачевского

Факультет вычислительной математики и кибернетики

 

 

 

Отчет о лабораторной работе

Динамический демпфер

 

 

 

 

 

 

 

 

Выполнил:

Студент группы 83-03

Чебоксаринов А.С.

 

Проверил:

Крюков А.К.

 

 

 

 

 

Нижний Новгород

2013 год

Математическое описание модели.

Динамический демпфер – конструкция, предназначенная для ослабления (в идеале – подавления) нежелательных вибраций тела на упругом основании, возникающих при действии внешней гармонической силы на это тело (будем в дальнейшем называть

его основным телом). Физическая модель рассматриваемой системы состоит из основного тела массы M, соединенного с неподвижным основанием пружиной жесткости K (или несколькими пружинами общей жесткости K для повышения надежности скрепления), и демпфирующего тела (демпфера) массы m, скрепленного пружиной жесткости k с основным телом.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис.1: схематичная модель динамического демпфера

 

Пусть на основное тело действует комплексная внешняя гармоническая сила F0 eiνt ( F0 > 0 ). Пусть x – отклонение основного тела от положения, в котором пружина K не деформирована, а y – отклонение демпфера от положения, в котором пружина k не деформирована. Пусть в системе действует сила вязкого трения с коэффициентом h. Тогда математическая модель движений основного тела с демпфером представляет собой систему дифференциальных уравнений:

 

 

(1)

 

 

Будем искать вынужденные колебания системы в виде: x = Aeiν t , y = Beiνt . Подставим эти функции в (1). После сокращения имеем:

 

 

 

откуда получаем:

 

 

 

 

 

 

 

Вещественная амплитуда вынужденных колебаний основного тела:

 

 

 

 

 

 

 

Отсюда следует, что величину |A| нельзя обратить в нуль за счет подбора параметров демпфера (k и m) из-за наличия трения ( h ≠ 0 ). Следовательно, при наличии трения можно добиться только некоторого положительного минимума |A| . Если трение исчезающе мало, то выбор параметров из условия k / m = ν2 (настройка параметров демпфера в резонанс по отношению к внешнему воздействию.

В идеальном случае, когда трение отсутствует ( h = 0 ), можно выбрать k и m из условия k / m = ν2 и тогда формально будет A = 0 (колебания основного тела будут

подавлены полностью); но фактически при h = 0 нельзя говорить о вынужденных колебаниях, так как переходный процесс не затухает и вынужденные колебания не устанавливаются.

 

Ход эксперимента и ответы на вопросы к эксперименту.

 

1. При отсутствующем динамическом демпфере масса отвечает за силу воздействия остальных характеристик на тело, т.е при малой массе увеличение трения и/или жёсткости пружины сильно снижает амплитуду колебаний. Кроме того, все характеристики влияют на частоту собственных колебаний. Интересная реакция произойдёт, если снизить трение до нуля или приблизить его к этому значению. В этом случае (при достаточно малой жёсткости пружины) по аналитическим выкладкам есть такая частота колебаний, подогнав под которую частоту внешних колебаний, можно добиться резонанса (значение амплитуды становится бесконечно большим). Естественно, что на практике такое проделать невозможно, т.к трение всегда присутствует.
2. Чтобы «сгладить» график амплитуды колебания основного тела нужно увеличивать массу демпфера и уменьшать его трение и жёсткость пружины. При таком воздействии на параметры динамического демпфера, области резкого возрастания и убывания амплитуды сглаживаются, поведение функции становится более плавным.
3. Экспериментальное значение АЧХ сходится к теоритическому там, где значение амплитуды невелико. В точках максимума АЧХ и близких к ним экспериментальное значение также колеблется в определённых пределах, однако среднее значение этих колебаний находится выше графика АЧХ, построенного с помощью аналитических выражений.