Лекции по финансовому менеджменту

Оба действия можно объединить в  одно:

K₁ = K (1+ni)(1-n₁d).

 

Задача 5.

Платежное обязательство уплатить через 100 дней 2 млн. руб. с процентами, начисляемыми по ставке простых процентов i=20% годовых, было учтено за 40 дней до срока погашения по учетной ставке d =15%. Требуется найти сумму, полученную при учете.

 

Решение:

Формулы доходности финансовых операций

 

Если в формулах наращения по процентной и учетной ставке принять срок  n = 1 году, то получим, что

              .

            Если  n 1 году,         .

Эти формулы принято называть формулами доходности или эффективности по простой ставке процентов и учетной ставке соответственно.

Задача 6.

Предприятие получило кредит на 1 год  в размере 100 млн. с условием возврата 150 млн.

Найти доходность операции для кредитора  в виде процентной и дисконтной (учетной) ставок.

            К = 100 млн.,  S = 150 млн.,   n = 1 год.   I = ?,   d = ?

 

Решение:

 

   Дисконтная ставка  всегда меньше процентной, ибо она учитывает время более жестко.    

 

Иногда размер дисконта в контрактах фиксируется  за весь срок ссуды в виде доли (или  процента) от суммы погасительного платежа. Таким образом, уровень процентной ставки задается в неявном виде. Выведем формулы, с помощью которых можно вычислить значения этих ставок.

Пусть S- размер погасительного платежа (сумма ссуды к концу срока), d_n – доля этого платежа, определяющая величину дисконта за весь срок ссуды.

К = S(1 – d_n) – реально выдаваемая ссуда в момент заключения договора.

Тогда ;

.

 

Задача 7.

Кредитор и заемщик  договорились, что из суммы кредита, выданного на 200 дней, сразу удерживается дисконт в размере 25% указанной суммы. Требуется определить цену кредита в виде простой годовой учетной ставки d и годовой простой ставки i. Год полагать равным 365 дней.

Решение:

Простые переменные ставки

 

В кредитных соглашениях иногда предусматриваются изменяющиеся во времени процентные ставки.

Если i₁, i₂,… i_k – последовательные во времени простые ставки,

а n_1, n_2,… n_k – периоды, в течение которых применяются соответствующие ставки, тогда наращенная сумма определяется следующим образом:

Задача 8

Контракт предусматривает следующий  порядок начисления процентов: первый год – ставка 16%, в каждый последующем  полугодии ставка повышается на 1%. Определить множитель наращения за 2,5 года.

Дано:

n₁=1 год, i₁ =16%,

n₂=1/2 года, i₂ =(16+1)% = 17%,

n₃=1/2 года, i₃ =(17+1)% = 18%,

n₄=1/2 года, i₄ =(18+1)% = 19%,

Общий срок начисления процентов 1+1/2+1/2+1/2=2,5 года.

 Множитель наращения =

Иначе, за 2б5 года начальный капитал  увеличился в 1,43 раза.

Реинвестирование

 

В практике при реинвестировании средств  в краткосрочные депозиты иногда прибегают к неоднократному последовательному  повторению наращения по простым  процентам в пределах заданного общего срока, т.е. к реинвестированию средств, полученных на каждом этапе наращения. (Напоминает наращение по сложным процентам, но только напоминает!)

В этом случае наращенная сумма для  всего срока составит:

      k – количество реинвестиций.

Если периоды начисления и ставки не изменяются во времени, то формула  реинвестирования примет вид:

,     k – количество реинвестиций.

 

Задача 9.

Сумму в 100 тысяч рублей положили 1 января на месячный депозит под  20% годовых. Каковой будет наращенная сумма, если операция повторяется 3 раза? Расчет сделать по точным и банковским процентам.

Решение:

По условию задачи депозит в 100 тысяч рублей реинвестируется  трижды по простым процентам.

По точным процентам:

(Помните, что в январе 31 день, в феврале – 28 дней, в марте  – 31 день!)

По банковским процентам при  условии, что в каждом месяце по 30 дней:

 

Модуль 2. Сложные проценты

 

Наращение по сложным процентам

 

В средне и долгосрочных операциях, если проценты не выплачиваются сразу после их начисления, а присоединяются к сумме долга, то для наращения используются сложные проценты.

Сложные проценты отличаются от простых процентов  базой начисления. Если в простых  процентах она остается постоянной на весь срок начисления, то в сложных при каждом начислении процентные деньги присоединяются к первоначальной базе. Говорят, идет капитализация процентов.

Формула наращения по сложным процентам, если проценты начисляются один раз  в году, имеет  вид

, где i - годовая (номинальная) процентная ставка, n - число лет начисления,

- множитель наращения по сложным  процентам. 

 

Задача 1.

Сумма, равная 800 тыс. руб., инвестируется  на 3 года под 80% годовых. Найти наращенную сумму и сумму процентов за этот срок, используя простые и сложные проценты.

Решение:

1.Сложные проценты:

 

 

2. Простые проценты:

 

 

За 3 года 800 тыс. руб. увеличились в 5,832 раза по сложным процентам и только в 3,4 раза по простым процентам.

 

Задача 2.

Сумма, равная 800 тыс. руб., инвестируется  на 3 месяца под 80% годовых. Найти наращенную сумму и сумму процентов за этот срок, используя простые и  сложные проценты.

Решение:

1.Сложные проценты:

 

 

2. Простые проценты:

 

Итак, сложные  проценты работают лучше, если срок n больше 1 года и простые проценты лучше работают (дают большее наращение) внутри года. Если срок начисления процентов 1 год, простые и сложные проценты дают одинаковый результат.

 

Задача 3. Найти сумму долга в 15 млн. руб. через 8 месяцев, 320 дней, 2 года, 10 лет по сложным годовым ставкам 5% и 8%.

 

Решение:

.

                   

  

  

;   .

 

Сумма долга зависит от процентной ставки и числа лет начисления. Сравните суммы по годам и по процентным ставкам. (Сумма долга растет с увеличением и процентной ставки, и числа лет начисления).

 

Наращение процентов m раз в году. Номинальная ставка

 

Номинальная ставка - годовая ставка, по которой проценты начисляются m раз в году. Обозначим эту ставку через j.

Если проценты начисляются m раз в году, то наращение процентов происходит по ставке , общее число начислений процентов за срок n равно mn.

 Формула наращения процентов  по номинальной ставке j при m-разовом начислении процентов в году примет вид:

.

Если j - номинальная ставка сложных процентов, то

при m = 2 получается полугодовая ставка,

при m = 4 - квартальная,

при m = 12 - ежемесячная,

 при m = 365 (360) - ежедневная ставка  процентов.

 

Задача 4. Очень важная задача! Обязательная задача  при зачете по сложным процентам.

 

 Вложены деньги в  банк в сумме 5 млн. руб. на 2 года с полугодовым начислением  процентов под 20% годовых.

 Составить схему наращения  капитала, найти наращенные суммы  по периодам начисления и к  концу срока двумя способами:

1. по определению сложных процентов (как процент на процент);
2. по формуле

 

Решение:

Рассчитаем полугодовую ставку ; Множитель наращения

1 способ.

По первому способу сумма, с которой идет наращение, увеличивается с каждым наращением процентов, т.к. по определению сложных процентов база для начисления изменяется за счет присоединения полученных на предыдущем шаге процентов, т.е. .

 

2 способ.

По второму способу наращения  начальный капитал К=5,0 млн. руб. остается неизменным.

Естественно, что по обоим  способам результаты получились одинаковыми.

 

Задача 6.

Сумма 10 млн. руб. инвестирована на 2 года по годовой ставке 120%. Найти  наращенные за это время суммы  и приросты при начислениях:

1. ежегодном (m=1),
2. полугодовом (m=2),
3. ежеквартальном (m=4),
4. ежемесячном (m=12),
5. ежедневном (m=365).

Решение:

1. при ежегодном начислении процентов

 

2. при полугодовом начислении процентов

 

3. при ежеквартальном начислении процентов 

 

 

4. при ежемесячном начислении процентов 

 

5. при ежедневном начислении процентов

 

Итак, чем чаще начисляются проценты, тем больше получается наращенная сумма.

 

 Помните,  что это справедливо при прочих равных условиях,

 а именно, ставка, срок, начальный капитал остаются неизменными,  меняется только число начислений  процентов в году.

Непрерывные проценты

 

Если число начислений процентов  в году m®¥, то формула наращения принимает вид

 

где  d - непрерывная ставка, - показатель роста.

 

Задача 7. На сумму 10 млн руб. начислить проценты по непрерывной ставке d=12% за 5 лет.

Решение:

Дисконтирование по сложным процентам

 

Найдя из всех формул начальный капитал К, получим уравнение дисконтирования.  Полученная при дисконтировании величина  К часто называется сегодняшней или современной величиной

 

,

  .

Наращение и дисконтирование по сложной учетной ставке

 

Начислять проценты можно и по сложной  учетной ставке:

 или  , где d и f - годовые сложные учетные ставки,

m - число начислений процентов  в году (при m=1, d = f).

 

Начисление процентов по ставке i называется декурсивным, а по учетной ставке d - антисипативным.

 

 Антисипативное начисление дает большую наращенную сумму и используется в условиях высокой инфляции.

Задача 8.

Вексель на 10 млн. руб. со сроком платежа  через 5 лет учтен:

1. по сложной учетной ставке 10% годовых;
2. по простой учетной ставке 10% годовых.

Какое дисконтирование выгоднее векселедержателю?

 

Решение:

1. по сложной учетной ставке

2. по простой учетной ставке

Итак, векселедержателю выгоднее дисконтирование по сложной учетной ставке, т.к. в день учета он получит большую сумму.

 

Задача 9.

Капитал 20 млн. руб. вложен на 4 года под 4% годовых. Найти доход  от вложения денег при 1) декурсивном, 2) антисипативном способах расчета.

Какое вложение выгоднее кредитору?

Решение:

Т.к. срок вложения денег больше 1 года, расчет сделаем по сложным процентам.

1. декурсивные проценты

2. антисипативные проценты

     

 

Антисипативное  начисление процентов выгоднее кредитору, т.к. он получает больший доход.

Эквивалентные ставки

 (Очень важное и очень трудное понятие)

 

Мы рассмотрели все возможные  способы начисления процентов.

 Однако, по какой бы ставке не начислялись проценты, следует соблюдать принцип эквивалентности, в соответствии с которым финансовый результат должен быть одинаков при начислении по любой ставке.