Влияние философии на математику

Содержание

Введение

1. Греческая математика  и её философия

2. Взаимосвязь философии  и математики от начала эпохи  возрождения до конца XVII века

3. Философия и математика  в эпохе просвещения

4. Анализ природы математического  познания немецкой классической  философии

5. Развитие математики  во второй половине хiх столетия

Заключение

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение

У философии и математики немало сопряженных точек. Их определенно  больше, чем во взаимных отношениях философии с другими науками.

Благодаря отвлеченности  математического объекта от любых  природных, вещественных свойств, образуются абстракции высоких порядков, несущие  глубокие обобщения о реальности. Ибо математика, по признанию многих ее творцов, есть искусство давать одно и то же имя разным вещам. И чем  дальше отстоят вещи, тем эффективнее  математическое обобщение. Так оно  достигает предельных значений, оказываясь объектом столь же математической, столько философской компетенции: количественные и пространственные структуры, бесконечность, вероятность. Философия имеет и другие основания  “присмотреться” к математике.

Специфичность предмета математики (науки о формах и отношениях, взятых в отвлечении от содержания) ставит ее как и философию, в особую позицию естествознанию, а в последние десятилетия - и к обществознанию. Речь идет о том, что их сближает внимание к общим аспектам познавательного процесса, поскольку они раскрывают: математика - лежащие в фундаменте всего естествознания методы и алгоритмы количественной обработки информации, философия - общую стратегию научного поиска.

Но математика являет собой  не только язык науки (при том, как считают, наиболее подходящий язык), не только способ переработки ее материала в формы, открывающие новые пути исследования. Она для естествознания также источник представлений и концепций. Эта способность обслуживать науку эвристически, а так же поставлять ей методы анализа еще более сближает математику с философией.

Наконец, философы испытывают притяжение к математике и в связи  с “нестандартностью" ее содержания и методов.

В современных условиях необходимость  сотрудничества ощущается еще острее. Реализуя внутренние потенции, математика ныне поднялась к абстракциям, особенно отрешенным от действительности. Она  всегда отличалась умением находить аналогии, сближая (часто весьма далекие) явления и процессы. И если вначале  это были аналогии между утверждениями  и доказательствами, позднее - между  теориями, современная математика ставит вопрос о самой природе аналогий.

 

Математика Древней Греции характеризуется прежде всего тесной связью с философией, причем эта связь разностороння и простирается на все виды культуры. В этот период математика как наука закладывала основные части своего фундамента: аксиоматику геометрии, дедуктивный вывод, понятие числа и т.д. На развитие математики, конечно, в первую очередь влияли авторитет и мировоззрение основателя школы. Однако в этих школах все же больше было идей, нежели предрассудков. Кроме того, не существовало никакой другой более существенной формы развития науки кроме философских школ.

В эпоху средневековья  в математике не произошло существенных переворотов. Философия математики не вышла за рамки пифагореизма. Лишь в XIV-XV веках математика стала  рассматриваться как вторичное  знание, зависящее от внешних реальностей. В философии важными результатами естественнонаучного направления  были методы экспериментально-математического  исследования природы. В этот период отрицательное воздействие на прогресс математики и философии оказывают  как пренебрежение философским  анализом математического познания, так и отождествление философских  проблем математики с основоположениями философской системы. Переход математики на новый этап исторического развития требовал переосмысления ее мировоззренческой и методологической основ, разработки нового комплекса философских проблем математики.

В эпоху просвещения главным  направлением математической деятельности в первые десятилетия XVIII века было овладение приемами дифференциального и интегрального исчислений и широкое использование их для решения геометрических, механических, астрономических и оптических задач. Со стороны математиков наблюдается падение интереса к философии. Изменилось отношение и философов к математике. Ничего существенно нового в разработку философских проблем математики внесено не было. Утрачивается единодушие в высокой оценке значимости математики в познании.

В период бурного развития политической мысли, в эпоху политических и философских революций в  математике происходила бурная борьба между материалистическим и идеалистическим  направлениями. Эта борьба принесла свои плоды: возникновение дифференциального  и интегрального исчислений, открытие неевклидовой геометрии, разрушение догматических  воззрений на природу математики. Такая эволюция математики стимулировала  развитие техники, убеждая, кстати, в  востребованности самой математики.

Во второй половине XIX столетия математика все настоятельнее требовала  таких ученых, которые сочетали бы в себе теоретика, практика и организатора. Философскую основу продуктивной деятельности великих математиков XIX века составляли материалистические принципы, которые  не редко сочетались с элементами диалектики. Роль материализма состояла не в слепой победе над идеализмом, а в очищении познания от догматических  принципов, что является непосредственным двигателем прогресса.

 
1. Греческая математика и её  философия

Философия впервые в истории  человечества возникла в странах  Древнего Востока - Египте, Вавилоне, Индии, Китае. Здесь же впервые зарождаются  и системы математических знаний. Последние носили преимущественно  характер эмпирических сведений, полученных в процессе производственной деятельности и были направлены на решение конкретных практических задач. Исходные направления философской мысли в ряде случаев соприкасались с элементами математического познания, но эта связь не выступала в такой отчётливой форме, не оказывала заметного стимулирующего воздействия на последующее развитие как философии так и математики по сравнению с тем, что мы имеем в науке Древней Греции. Это может служить некоторым оправданием тому, чтобы, опуская длительную историю формирования философских и математических знаний в странах Востока, непосредственно приступить к исследованию поставленной проблемы в древнегреческой науке.

Совместный путь математики и философии начался в Древней  Греции около VI века до н.э. Не стеснённое рамками деспотизма, греческое общество той поры было подобно питательному раствору, на котором выросло многое, что дошло до нас в сильно измененном временем виде, однако сохранив основную, заложенную греками идею: театр, поэзия, драматургия, математика, философия.

Анализ древнегреческой  математики и философии следует  начать с милетской школы, заложившей основы математики как доказательной  науки.

Милетская школа - одна из первых древнегреческих математических школ, оказавшая существенное влияние  на развитие философских представлений  того времени. Она существовала в  Ионии в конце V - IV вв. до н.э. Основными деятелями её являлись Фалес (около 624-547 гг. до н. э), Анаксимандр (около 610-546 гг. до н. э) и Анаксимен (около 585-525 гг. до н. э).

Наиболее полные сведения имеются о математической деятельности Фалеса, об Анаксимандре известно только то, что он занимался геометрией (составил первый "очерк геометрии"), конкретных указаний о математической деятельности Анаксимена не сохранилось.

Громадный сдвиг, осуществлённый в греческой математике, заключается  в идее доказательства или дедуктивного вывода. Доказательство первых геометрических теорем приписывается выдающемуся  греческому философу Фалесу. Согласно Проклу, Фалес впервые доказал, что вертикальные углы равны, что углы при основании равнобедренного треугольника равны и что диаметр делит круг пополам. Если верно, что дедуктивный метод в математику был внесён Фалесом, то надо констатировать, что математика в Греции, начиная с этого момента, развивалась чрезвычайно быстрыми темпами, и прежде всего в плане логической систематизации.

Появление потребности доказательства в греческой математике получает удовлетворительное объяснение, если учесть взаимодействия мировоззрения  на развитие математики. В этом отношении  греки существенно отличаются от своих предшественников. В их философских и математических исследованиях проявляются вера в силу человеческого разума, критического отношения к достижениям предшественников, динамизм мышления, у греков влияние мировоззрения превратилось из сдерживающего фактора математического познания в стимулирующий, в действенную силу прогресса математики.

В том, что обоснование  приняло именно форму доказательства, а не остановилось на эмпирической проверке, решающим является появление  новой, мировоззренческой функции  науки. Фалес и его последователи  воспринимают математические достижения предшественников, прежде всего для удовлетворения технических потребностей, но наука для них - нечто большее, чем аппарат для решения производственных задач. Отдельные, наиболее абстрактные элементы математики вплетаются в натурфилософскую систему, и здесь выполняют роль антипода мифологическим и религиозным верованиям. Эмпирическая подтверждаемость для элементов философской системы была недостаточной в силу общности их характера и скудности подтверждающих их факторов. Математические знания же к тому времени достигли такого уровня развития, что между отдельными положениями можно было установить логические связи. Такая форма обоснований оказалась объективно приемлемой для математических положений.

Появление математики как  систематической науки оказало  в свою очередь громадное влияние  на философское мышление, которое  оказалось в некотором смысле подчиненным математике. "Математика появилась как знание совершенно особой природы, достоверность которого не вызывает сомнения, исходные посылки  которого ясны, а выводы совершенно непреложны ", - пишет Е.А. Беляев.

На примере милетской  школы можно лишь убедиться в  активном влиянии мировоззрения  на процесс математического познания только при радикальном изменении  социально-экономических условий  жизни общества. Однако остаются открытыми вопросы о том влияет ли изменение философской основы жизни общества на развитие математики, зависит ли математическое познание от изменения идеологической направленности мировоззрения, имеет ли место обратное воздействие математических знаний на философские идеи. Можно попытаться ответить на поставленные вопросы, обратившись к деятельности пифагорейской школы.

Пифагореизм как направление  духовной жизни существовал на протяжении всей истории Древней Греции, начиная  с VI века до н.э. и прошёл в своём развитии ряд этапов. Основоположником школы был Пифагор Самосский (около 580 - 500 до н. э).

В пифагореизме выделяют две  составляющие: практическую ("пифагорейский  образ жизни ") и теоретическую (определённая совокупность учений). В религиозном учении пифагорейцев наиболее важной считалось обрядовая сторона, затем имелось в виду создать определённое душевное состояние и лишь, потом по значимости шли верования, в трактовке которых допускались разные варианты. По сравнению с другими религиозными течениями у пифагорейцев было специфическое представления о природе и судьбе души. Душа - существо божественное, она заключена в тело в наказание за прегрешения. Высшая цель жизни - освободить душу из телесной темницы, не допустить в другое тело, которое якобы совершается после смерти. Путем для достижения этой цели является выполнение определенного морального кодекса, "пифагорейский образ жизни". В многочисленной системе предписаний, регламентировавших почти каждый шаг жизни, видное место отводилось занятиям музыкой и полученными исследованиями.

Теоретическая сторона пифагореизма тесно связана с практической. В теоретических изысканиях пифагорейцы видели лучшее средство высвобождения души из круга рождений, а их результаты стремились использовать для рационального обоснования предполагаемой доктрины. Вероятно, в деятельности Пифагора и его ближайших учеников научные положения были перемешены с мистикой, религиозными и мифологическими представлениями. Вся эта "мудрость" излагалась в качестве изречений оракула, которым придавался скрытый смысл божественного откровения.

Пифагор рассматривал число, количественную определённость, как  сущность вещей. Основной тезис пифагореизма состоит в том, что "всё есть число".

Согласно Аристотелю, Пифагор  пришёл к понятию числа как  универсальной основы всех вещей  через изучение музыки. Он случайно обнаружил, что любое различие в  звучании определяется числовым соотношением. Велико было восхищение, вызванное  этим открытием. Однако вскоре философия  превратилась у пифагорейцев в мистику  чисел и геометрических фигур. Убежденье  в истинности того или иного убеждения  о мире достигалось сведением  его к числовой гармонии. Пифагорейцы  искали различные аналоги, числовые и геометрические соответствия в  окружающем мире, надеясь найти в  них разгадку самой природы вещей. Мысли о случайности таких  совпадений ещё не возникало.

Если сравнивать математические исследования ранней пифагорейской  и милетской школы, то можно выявить  ряд существенных различий. Так, математические объекты рассматривались пифагорейцами  как первосущность мира, то есть радикально изменилась само понимание природы математических объектов, кроме того, математика превращена пифагорейцами в составляющую религии, в средство очищения души, достижения бессмертия. И, наконец, пифагорейцы ограничивают область математических объектов наиболее абстрактными типами элементов и сознательно игнорируют положение математики для решения производственных задач. Пифагор, скорее всего, пользовался достижениями милетской школы, так как у него, как и у Фалеса, обнаруживаются основные признаки умственной деятельности, отличающиеся от догреческой эпохи; однако математическая деятельность этих школ носила различный характер.