Влияние философии на математику

Что касается природы самой  математической закономерности, истоков  её обусловленной истинности, то ранние пифагорейцы, скорее всего не задумывались над этим вопросом. У Платона, однако, мы находим уже некоторую теорию на этот счёт.

Сочинение Платона (427-347 гг. до н. э) - уникальное явление в отношении  выделения философских концепций. Это высоко художественное, выхватывающее описание самого процесса становления, концепций, с сомнениями и не уверенностью, подчас с безрезультатными попытками решения поставленного вопроса, с возвратом к исходному пункту, многочисленными повторениями и т.п. Выделить в творчестве Платона какой-либо аспект и систематически изложить его довольно сложно, так как приходится реконструировать мысли Платона из отдельных высказываний, которые настолько динамичны, что в процессе эволюции мысли порой превращаются в свою противоположность.

Математические истины для  Платона врожденны, они представляют собой впечатление об истине самой  по себе, которые душа получила пребывая в более совершённом мире, в мире идей. Математическое познание есть по этому просто воспоминание, оно требует ни опыта, ни наблюдения природы, а лишь ведения разума.

Математик, согласно Платону, изучает особые идеальные сущности, в отличие от сущностей, данных в  опыте, эмпирических. "Когда геометры - говорит Платон, - пользуются чертежами  и делают отсюда выводы, их мысль  обращена не на чертёж, а на те фигуры, подобием которых он служит. Выводы свои они делают для четырёхугольника самого по себе и его диагонали, а не для той диагонали, которую они начертили". Геометрические фигуры сами по себе (в отличие от чертежей) можно видеть только "мысленным взором".

В этих рассуждениях Платоном впервые был поставлен вопрос о специфике объектов изучаемых  математикой, который является одним  из основных и в современной философии  математики.

Наряду с пифагорейской  философией существовала, хотя и в  недостаточно выраженной форме, другая, более реалистическая философия  математики, идущая от атомизма Левкиппа и Демокрита. Известно, что Демокрит отрицал возможность геометрических построений в пустоте: геометрические фигуры были для него не умозрительными сущностями, а прежде всего материальными телами, состоящими из атомов. Демокрит не допускал бесконечной делимости отрезка: по его мнению, отрезок состоит из большого числа далее неделимых частей. Данная позиция отчасти диктовалась общей установкой атомизма, но главное было в том, что допущение бесконечной делимости приводило к многочисленным парадоксам. Однако и допущение, что отрезки состоят из неделимых частей, приводило к противоречиям. В частности отсюда следовало, что неизмеримых величин не существует.

Математически атомизм появился скорее как частная эвристическая  идея в геометрии, чем как особый взгляд на природу математики в целом. Однако, он неявно содержал в себе определённую антитезу пифагореизму. Если для пифагорейцев математические объекты (числа) составляли основу мира в антологическом смысле и основу его понимания, то в атомистической эвристике математические закономерности выступают уже как вторичные по отношению к атомам как первосущностям. Физическое здесь логически предшествует математическому и определяет свойства математических объектов. Пифагорейцы были правы, возражая против превращения математики в физику, настаивал на частоте математического метода, а так же и на идеализации бесконечной делимости геометрических величин. Система евклидовой математики не могла быть построена без такой идеализации. Но математический атомизм, тем не менее, содержал в зародыше будущую, более эмпирическую философию математики, которая неизбежно должна была выйти на сцену в связи с ростом влияния естественных наук.

Первый наиболее сильный  удар по философии пифагореизма был  нанесен открытием несоизмеримых  отрезков. Это подрывало не только гармонию между геометрией и арифметикой, которая была для пифагорейцев сама собой разумеющейся, но и их идеологию  в целом. В связи с кризисом пифагорейской философии математики необходимо так же упомянуть об апориях Зенона - нескольких рассуждениях, которые будучи (по крайней мере, по видимости) строгими, вместе с тем ставят под сомнения некоторые очевидные факторы, в частности время и движения. Главная ошибка в этих рассуждениях в неправильном использовании понятий.

Широкая критика пифагореизма была дана Аристотелем в "метафизике". Хотя Аристотель - непосредственный ученик Платона, его мировосприятие отличается от платоновского радикальным образом.

Аристотеля можно назвать (384 - 322 гг. до н. э)"величайшим философом древности". Основные вопросы философии, логики, психологии, естествознания, техники, политики, этики и эстетики, поставленные в науке Древней Греции, получили у Аристотеля полное и всестороннее освещение. В математике он, по-видимому, не проводил конкретных исследований, однако важнейшие стороны математического познания были подвергнуты им глубокому философскому анализу, послужившему методологической основой деятельности многих поколений математиков. Хотя вопросы методологии математического познания не были изложены Аристотелем в какой-то отдельной работе, но по содержанию в совокупности они образуют полную систему.

В основе философии математики Аристотеля лежит понимание математических знаний как отражение объективного мира. Эта установка сыграла важную роль в борьбе Аристотеля с Платоновым идеализмом, ведь "если в явлениях чувственного мира не находится все  математическое, то каким образом  возможно, что к ним прилагаются  его свойства?" - писал он. Разумеется, материализм Аристотеля был непоследовательным, в целом его воззрения в  большей степени соответствовали  потребностям математического познания, чем взгляды Платона. В свою очередь  математика была для Аристотеля одним из источников формирования ряда разделов его философской системы.

Аристотель, скорее исследователь  природы, чем умозрительный философ. Он ценит факты и логику больше, чем любые умозрительные представления. Наука для Аристотеля - не конструирование  гармонии, но отыскание причин явлений. Из философии Аристотель удаляет  всякую примесь поэзии; его стиль  лаконичен, сух и подчинен только мысли. Основной грех пифагорейцев состоит, по Аристотелю, в том, что они мыслят о природе, не считаясь с фактами, и искусственно приводят факты в  соответствии с числами, придумывая для этого фиктивные сущности. Математика по Аристотелю - это не знания об идеальных сущностях, существующих независимо от вещей, но знания, отвлеченные  от вещей.

Если подвести итог тем  результатам, которые предположительно были получены пифагорейцами в V веке н.э., то они выглядят довольно внушительно: создано учение о четном и нечетном, построена теория делимости и  пропорциональности чисел, закладываются  основы планиметрии, геометрические исследования распространяются на пространственные объекты; поставлена проблема иррациональности; вцелом математические зависимости рассматриваются как относительно самостоятельный объект исследования, а не как рецепты для выполнения тех или иных прикладных вычислений; математика превращается в теоретическую науку со своим предметом, специфическими приемами исследования и обоснования. Но при этом следует иметь в виду, что большинство исторических источников проникнуто "тенденцией приписывать пифагорейцам многие открытия, сделанные просто в их время". Не исключено, что многое из того, что считается пифагорейским получено их идеальными противниками. Параллельно с пифагорейцами протекала деятельность и целого ряда других школ: эфейсской, наиболее видный представитель которой Гераклит (около 530-470 гг. до н. э); математическая деятельность милетской школы; Элейской школы в лице Парменида и Зенона (около 450 гг. до н. э); школа греческих материалистов-атомистов, возглавлявшаяся Демокритом (около 460-370 гг. до н. э).

Оценивая математическую деятельность пифагорейцев, следует  иметь ввиду так же то, что наиболее значительные результаты были получены не столько путём последовательного проведения религиозно-идеалистических установок их мировоззрения, сколько преодолением их. Ведь если следовать за учителем, рассматривать его изучение как источник знаний о числах, тогда не имело никакого смысла вести самостоятельную исследовательскую работу; авторитарность и преклонение перед пророчествами главы секты пересекают поиск истины при помощи собственного мышления, откровения становятся выше разума.

Таким образом, уже в исходном пункте своего развития теоретическая  математика находится под активным воздействием острой борьбы двух основных типов мировоззрения - материалистического  по своей основе мировоззрения милетской  школы и религиозно-идеалистического мировоззрения Пифагора и его  ближайших последователей. В разных мировоззренческих системах существенно  иными оказываются: понимание природы  математического знания, выбор объектов исследований, отношение к прикладным задачам, то есть личные важнейшие стороны  математической деятельности. В пределах пифагорейской школы происходит дальнейшее развитие математики, но внутренние законы математического познания здесь  вступают в противоречия с рядом  методологических установок (необходимость  научного общения - с обетом молчания, объективный поиск истины - с авторитарностью, преклонением перед изречениями  главы секты). Эволюция пифагореизма убеждает в том, что как бы искусно  не увязывались математические знания с религиозно-мистическими воззрениями, они чужды последним; прогресс математики приводит к разрыву с ними. Если же в силу конкретных исторических условий методологические положения  идеалистического характера последовательно выдерживаются, то математическая деятельность получает одностороннюю ориентацию, что в конечном итоге отрицательно сказывается на его прогресс. Имеет место не только активное и глубокое влияние мировоззрения на развитие математического познания, но и обратное воздействие; о его силе можно судить по тем последствиям, которые оказало открытие иррациональности на всю мировоззренческую систему пифагорейцев.

Однако упадок пифагореизма в греческой философии не привёл к полному исчезновению пифагорейских  тенденций. Не признавая пифагореизма как учения о математических началах  мира, можно признавать его как  определённый метод аргументации. В  этом плане он оказал громадное влияние  на последующее развитие философской  и научной мысли вплоть до XIX века. Пифагореизм в современной науке  сохраняется как антологизация различного вида числовых совпадений. Подавляющее большинство учёных скептически относится к числовым сопоставлениям, однако именно числовое совпадение помогло Максвеллу открыть электромагнитную природу света. Как можно отделить здесь зёрна от плевел и возможно ли сделать это вообще. Древнее философское учение оказывается, таким образом, тесно связанным с тонкими проблемами методологии современной науки.

2. Взаимосвязь  философии и математики от  начала эпохи возрождения до  конца XVII века

За тысячу лет, которую  мы называем эпохой средневековья, в  математике не произошло существенных переворотов, хотя математические и  логические истины были постоянным объектом различных схоластических спекуляций. Философия математики так же стояла на мертвой точке: она не вышла  за рамки пифагореизма в его платонистской и неоплатонистской интерпретации. Только в XIV - XV веках в Европе началось возрождение творческого математического мышления в арифметике, алгебре и геометрии. Математика стала рассматриваться не как врожденное и абсолютное знание, а скорее как знание вторичное, опытно зависящее в своей структуре от некоторых внешних реальностей. Важными результатами естественнонаучного направления в философии эпохи Возрождения были методы экспериментально-математического исследования природы.

В период средневековья считалось, что центр Земли совпадает  с центром Вселенной. Солнце, луна и звезды укреплены на прозрачных сферических оболочках и вращаются  вокруг единого центра. Коперник на основании тщательных астрономических  наблюдений и их математической обработки  сделал вывод, что Земля вращается  вокруг Солнца. Эту идею высказывали  еще древние, но никто из предшественников Коперника не мог дать ей достаточно полного математического обоснования. Математическую форму изложения  учения Коперника отличал и Джордано Бруно, который вышел за пределы  солнечной системы, представив Вселенную  как безграничную область, заполненную  бесчисленными мирами. Кеплер, на основе широкого использования математики, открывал законы движения планет. Галилей  подтвердил и развил учение Коперника. "Важно подчеркнуть, что одним  из руководящих критериев, направлявших Галилея на пути к выработке именно этой мировоззренческой концепции  была математика", - писал Кедровский О.И.

Таким образом, возникало  новое научное мышление. Созданные  в первые десятилетия XVII века работами Кеплера и Галилея фрагменты новой науки были изолированы, поскольку земные небесные движения рассматривались как качественно отличные друг от друга. Отсутствовала синтезирующая концепция, которая соединила бы законы Кеплера и Галилея. Существенную роль в решении этой задачи сыграли работы Р. Декарта. Мир представлялся Декарту заполненным материей пространства. Природа материи состоит в протяженности, все свойства материальных тел сводятся к преобразованию протяженности, а все движения - к механическому перемещению. Таким образом, природа мироздания определяется в конечном итоге математическими и механическими характеристиками. Влияние математики при решении важных философских проблем несомненно, но оно не выражается через выявление строгих количественных закономерностей.

Декарт создал метод координат, перебросив мостик между алгеброй и  геометрией. Алгебраические задачи теперь можно решать геометрическими методами и наоборот. Очень важно также  было систематизирование им математических обозначений и перевод математики на современный язык. Декарт рассматривал всю математику как теорию алгебраических уравнений. Он считал всю математику универсальной, позволяющей решать математические и нематематические проблемы - "нужно лишь следовать  по тому же пути". Поворотным пунктом  математики была Декартова переменная величина. Благодаря этому в математику вошли движения и тем самым  диалектика и благодаря этому  же стало немедленно необходимым  дифференциальное и интегральное исчисление, которое тотчас и возникало и которое было и в целом завершено, а не изобретено Ньютоном и Лейбницем.

Однако уже самому Декарту  приходится искать не алгебраические пути при решении некоторых задач. Требовалось изменить статус алгебры  как универсального математического  метода. В силу жесткой связи между  математическим методом и общей методологией познания, такое изменение затрагивало основы философской системы.

И. Ньютон синтезирует многочисленные исследования, проведенные его предшественниками  и им самим, и создает принципиально  новую систему знаний о природе. Читая лекцию по теории света и  цветов, он на основе измерительного математического  опыта и математического расчета, делал вывод, что науку о цветах "следует почитать математической, поскольку она излагается математическим рассуждением". Ньютон в своих "Началах" впервые создал математическое естествознание о смысле математического изучения механических, физических и астрономических  явлений, исходя из единого основания. Математика, согласно Ньютону, играет очень важную роль: ее понятия являются как бы прообразами и необходимыми компонентами фундаментальных понятий  теоретического исследования. В "Началах" натурфилософские представления времени  пространства, места и движения формализуются, в них выделяется математически  точный компонент.