Контрольная работа по "Эконометрика"

ЗАДАНИЕ 1.

В таблице 1.1 приведены данные о размерах совокупного располагаемого дохода X совокупных расходах на личное потребление Y в США в период с 1979 по 1988 год. Обе величины выражены в текущих долларах США:

Таблица 1.1

Исходные данные

X	695	751	810	914	998	1096	1194	1313	1474	1650
Y	621	672	737	811	887	976	1084	1204	1346	1506

 

Найти:

1) Построить линейную регрессию. Вычисление коэффициентов выполнить  методом наименьших квадратов, дать  интерпретацию.

2) Вычислить выборочный коэффициент  корреляции между  Y и X и проверить гипотезу о его значимости;

3) Определите значимость коэффициентов  регрессии и построить для  них 95%-ые интервалы;

4) Используя построенное уравнение, спрогнозировать значение при  ;

5) Построить доверительный интервал для зависимой переменной с надежностью 95%;

6) Определить, есть или нет автокорреляция  остатков с помощью критерия  Дарбина-Уотсона;

7) Вычислить коэффициент детерминации  и проверить его значимость.

8) Оценить прогнозные качества  модели;

9) Сделать общий вывод по качеству построенной модели.

Решение:

1) Построим линейную  регрессию. Вычисление коэффициентов  выполним методом наименьших  квадратов, дать интерпретацию.

Однофакторной моделью регрессии называется модель с одним входным параметром (фактором).

На практике для одного входного параметра составляется однофакторная модель вида Y=b*X+a.

Вид регрессионных моделей находится по следующему алгоритму

1. Определение фактора.

2. Сбор статистического материала. Т.е. определение векторов (последовательности значений) отклика и входных значений. В нашем случае таблица значений задана по условию.

3. Нахождение коэффициентов регрессии  для Y=b*X+a, используя Метод наименьших квадратов (МНК).

Метод Наименьших Квадратов (МНК) - это метод минимизации суммы квадратов невязок (значение отклика заданное - полученное из уравнения регрессии).

Причем коэффициенты регрессии находятся из следующих уравнений:

Докажем правильность приведенных формул для поиска коэффициентов регрессии:

Для этого построим функцию:

Необходимым условием существования минимума функции является равенство нулю частных производных данной функции. Неизвестными переменными в нашем случае являются параметры а и b. Найдем эти частные производные:

Получим систему:

Разделив оба уравнения на “n” получим:

Выразив из первого уравнения a и подставив во второе уравнение, получим:

Составим вспомогательную таблицу:

Таблица 1.2

Расчетные данные

№	X	Y	X*X	X*Y	Y*Y		(Y- )^2
1	695	621	483025	431595	385641	616,763	17,95246559	155630,3	132059,56
2	751	672	564001	504672	451584	668,9498	9,303982359	114582,3	97593,76
3	810	737	656100	596970	543169	723,9323	170,7655674	78120,25	61206,76
4	914	811	835396	741254	657721	820,8506	97,03428096	30800,25	30067,56
5	998	887	996004	885226	786769	899,1308	147,155969	8372,25	9486,76
6	1096	976	1201216	1069696	952576	990,4577	209,0242797	42,25	70,56
7	1194	1084	1425636	1294296	1175056	1081,785	4,908183255	10920,25	9920,16
8	1313	1204	1723969	1580852	1449616	1192,681	128,108646	49952,25	48224,16
9	1474	1346	2172676	1984004	1811716	1342,719	10,76812412	147840,3	130754,56
10	1650	1506	2722500	2484900	2268036	1506,734	0,538976223	314160,3	272066,56
Итого:	10895	9844	12780523	11573465	10481884		795,5604745	910420,5	791450,4
Среднее:	1089,5	984,4	1278052,3	1157346,5	1048188,4	-	-	-	-

 

Получим:

a=984,4+0,93190674*1089,5= -30,91239301

Получили однофакторное уравнение регрессии в виде Y=0,9319X-30,91239. Коэффициент b положителен, что означает: при увеличении совокупного располагаемого дохода совокупные расходы на личное потребление США возрастут.

 

Ответ: Таким образом, уравнение парной линейной регрессии имеет вид:

Y=0,9319X-30,91239

Коэффициент b показывает, на какую величину изменятся совокупные расходы на личное потребление США, если совокупный располагаемый доход возрастет на 1 единицу.

Сводный член а уравнения регрессии определяет прогнозируемое значение У при совокупном располагаемом доходе Х=0.

 

2) Найдем коэффициент корреляции между X и Y и проверим гипотезу о его значимости.

Коэффициент парной корреляции ryx характеризует тесноту линейной зависимости между x и y. Он находится по формуле:

= .

Для коэффициента парной корреляции выполняется соотношение:

- 1£ ryx £ 1. Чем ближе значение | ryx | к единице, тем теснее линейная связь между x и y. Если | ryx | =1, то между x и y существует функциональная зависимость вида . Если величина | ryx | близка к нулю, то это свидетельствует об отсутствии линейной зависимости между x и y, что не исключает возможность наличия нелинейной взаимосвязи между x и y.

Близость значения коэффициента корреляции к нулю или единице носит относительный характер. Действительно, если ryx =0,99, то можно с уверенностью говорить о близости значения к единице и достаточно сильной линейной взаимосвязи между x и y. Но если ryx равен, например, 0,7, то говорить о его близости к единице оснований значительно меньше. А если ryx=0,5, то можно с равными основаниями говорить как о близости к нулю, так и о близости к единице.

В условиях нашей задачи получим:

Значит, коэффициент корреляции между X и Y равен 0,999497277. Данное значение коэффициента корреляции позволяет сделать вывод о сильной (прямой) линейной зависимости между рассматриваемыми переменными Х и У, т.к. значение │r│ близок к 1.

Одним из важнейших элементов эконометрического анализа является установление наличия связи между различными показателями. Обычно анализ начинают с простейшей линейной зависимости. Чтобы установить наличие значимой линейной связи между X и Y следует проверить гипотезу о статической зависимости коэффициента корреляции. В этом случае используется следующая гипотеза:

: =0

: <>0

Для проверки по выборке (x1,y1),…,(x10,y10) объема 10 строится статистика.

В нашем случае N=10, =0,999497277 (выборочный коэффициент корреляции).

Значит

Определим по таблице распределения Стьюдента для заданного уровня значимости и степени свободы.

2,306

Если , тогда нет оснований отклонения ;

Если , тогда отклоняется в пользу

В нашем случае отклоняется, значит, коэффициент корреляции статически значим, и между переменными существует линейная связь (прямая).

 

Ответ: Коэффициент корреляции между X и Y равен 0,999497277. Данное значение коэффициента корреляции позволяет сделать вывод о сильной (прямой) линейной зависимости между рассматриваемыми переменными Х и У, т.к. значение │r│ близок к 1. Связь прямая, при увеличении совокупного располагаемого дохода совокупные расходы на личное потребление США возрастут. Коэффициент корреляции статически значим

 

3) Проверим значимость  коэффициентов регрессии и построим для них 95%-ые интервалы.

Определяем значимость коэффициента уравнения. Для проверки значения коэффициента рассчитываются t-статистика.

где Sа ,  Sb – стандартные ошибки коэффициента регрессии

,

где S – стандартная ошибка регрессии

      S2 – остаточная дисперсия.

= 795,5604745/8= 99,44505931

Так как , , то нулевая гипотеза при заданном уровне значимости =0,05 отвергается. Это означает статистическую значимость  коэффициентов a и b. Значит, членами уравнения регрессии нельзя пренебречь, рассматривая   регрессию .

Соотношения, определяющие доверительные интервалы:

 

 

= 795,5604745/8= 99,44505931

Подставив полученные значения в исходную формулу, получим:

 

Доверительный интервал для ‘a’:

-30,91239 2,306* ;

(-58,1586; -3,66624)

Доверительный интервал для ‘b’:

0,9319 2,306* ;

(0,907806; 0,956008)

Фактически доверительный интервал определяет значения теоретических коэффициентов регрессии, которые будут приемлемы с надежностью (1- ) при найденных оценках a, b.

Ответ: Так как , то нулевая гипотеза при заданном уровне значимости =0,05 отвергается. Это означает статистическую значимость  коэффициентов a и b.

 

4) Спрогнозируем значение.

 

5) Найдем интервал, в котором с вероятностью 0,95 находится значение .

Доверительный интервал в данном случае определяется границами:

Получим

(1178,4925; 1196,43245)

Ответ: Доверительный интервал, в котором с вероятностью 0,95, находится значение , определяется границами: (1178,4925; 1196,43245). Другими словами, средний размер совокупного расхода на личное потребление США при размере совокупного располагаемого дохода 1307,4 с вероятностью 95% будет находиться в интервале (1178,4925; 1196,43245).

6) Определим автокорреляцию остатков с помощью критерия Дарбина-Уотсона.

Статистические значения коэффициентов регрессии и близкое к единице значение коэффициента детерминации не гарантируют высокое качество уравнения регрессии.

На практике для анализа коррелированности отклонений вместо коэффициента корреляции используют тесно с ним связанную статистику Дарбина-Уотсона DW, рассчитываемую по формуле:

Для заданных в таблице Дарбина-Уотсона указываются два числа: -нижняя граница, - верхняя граница.

Выводы осуществляются по следующей схеме:

Если DW< , то это свидетельствует о положительной автокорреляции остатков.

Если DW>4- , то это свидетельствует об отрицательной автокорреляции остатков.

Если <DW<4- , то гипотеза об отсутствии автокорреляции остатков принимается.

Если <DW< или 4- <DW<4- , то гипотеза об отсутствии автокорреляции остатков не может быть ни принята, ни отклонена.

Таблица 1.3

Расчетные данные

№	X	Y
1	695	621	64,870222	4,237035	17,95246559	-	-
2	751	672	69,388071	3,050243	9,303982359	-1,18679	1,408475
3	810	737	70,033478	13,06773	170,7655674	10,01749	100,35
4	914	811	70,678885	-9,850598	97,03428096	-22,9183	525,2498
5	998	887	71,969699	-12,130786	147,155969	-2,28019	5,199257
6	1096	976	67,45185	-14,457672	209,0242797	-2,32689	5,414398
7	1194	1084	66,161036	2,215442	4,908183255	16,67311	277,9927
8	1313	1204	65,515629	11,318509	128,108646	9,103067	82,86583
9	1474	1346	66,806443	3,281482	10,76812412	-8,03703	64,5938
10	1650	1506	64,224815	-0,73415	0,538976223	-4,01563	16,1253
Итого:	-	-	-	-	795,5604745	-4,97119	1079,2