Контрольная работа по эконометрике

Задача 1

По группе предприятий, выпускающих один и тот же вид продукции, рассматривается функция издержек

где у – затраты на производство, тыс. д.е.

х – выпуск продукции, тыс. ед.

Исходные данные и вспомогательные вычисления для расчета оценок параметров а и b приведены в табл. 1

Таблица 1

b	х	у	ху	х^2	(х-х)^2	(y-y)^2	b	a	yx
1	8	69	552	64	57,76	789,61	3,21	47,05	72,72
2	10	73	730	100	31,36	580,81	3,21	47,05	79,13
3	11	99	1089	121	21,16	3,61	3,21	47,05	82,34
4	15	88	1320	225	0,36	82,81	3,21	47,05	95,18
5	15	91	1365	225	0,36	37,21	3,21	47,05	95,18
6	16	100	1600	256	0,16	8,41	3,21	47,05	98,38
7	18	114	2052	324	5,76	285,61	3,21	47,05	104,80
8	19	103	1957	361	11,56	34,81	3,21	47,05	108,01
9	21	109	2289	441	29,16	141,61	3,21	47,05	114,42
10	23	125	2875	529	54,76	778,41	3,21	47,05	120,84
∑	156	971	15829	2646	212,4	2742,9	32,08	470,54	971
Среднее значение	15,6	97,1	1582,9	264,6	21,24	274,29	3,21	47,05	97,10

 

Требуется:

1.  Построить линейное уравнение  парной регрессии y от x .

2.  Рассчитать линейный коэффициент  парной корреляции и

Коэффициент детерминации. Сделать выводы.

3.  Оценить статистическую значимость  параметров регрессии в целом.

4.Оценить статистическую значимость  параметров регрессии и корреляции.

5.  Выполнить прогноз затрат на производство при прогнозном

Выпуске продукции ,  составляющем 195% от среднего уровня.

6.  Оценить точность прогноза, рассчитав ошибку прогноза и его

доверительный интервал.

7. Оценить модель через среднюю  ошибку аппроксимации.

 

Система нормальных уравнений будет МНК будет иметь вид:

 

 

Решая ее получим:

a=

a=97,1-3,21*15,6=47,024

Тогда, уравнение регрессии

 

Подставив в уравнение  значения х, найдем теоретические значения у, (см. последнюю графу табл. 1)

Коэффициент регрессии показывает, что при увеличении выпуска продукции  на 1 тыс. ед., затраты на производство по группе предприятий возрастут  в среднем на 3,46 тыс. д.е.

В рассматриваемом примере  имеем:

 

σ_х=4,86

 

Σ_у=17,45

Величина линейного коэффициента корреляции

=0,894

Что достаточно близко к 1 и  означает наличие очень тесной зависимости  затрат на производство от величины объема выпущенной продукции.

Следует иметь в виду, что величина линейного коэффициента корреляции оценивает тесноту связи  рассматриваемых признаков в  ее линейной форме. Поэтому близость абсолютной величины линейного коэффициента корреляции к нулю еще не означает отсутствие связи между признаками. При иной спецификации модели связь  между признаками может оказаться  достаточно тесной. Для оценки качества подбора линейной функции рассчитывается квадрат линейного коэффициента корреляции , называемый коэффициентом детерминации.

 

=0,797

 

Следовательно, уравнением регрессии объясняется 79,7% дисперсии результативного признака, а на долю прочих факторов приходится лишь 20,3% ее дисперсии (т.е. остаточная дисперсия).

Чем больше доля объясненной  вариации, тем соответственно меньше роль прочих факторов, и, следовательно, линейная модель хорошо аппроксимирует исходные данные и ею можно воспользоваться  для прогноза значений результативного  признака.

Для оценки существенности линейной регрессии рассчитаем:

1. Общая сумма квадратов отклонений результативного признака

2. Факторная сумма квадратов

=3,21²*212,4=2188,59

3. Остаточная сумма квадратов

4. Факторная дисперсия

=2188,59

5. Остаточная дисперсия

=554,31/8=69,289

F – критерий

Табличное значение F – критерия для числа степеней свободы n-m-1=8 и уровня значимости α=0,05 равно F_табл=5,32

Поскольку F_факт > F_табл (31,586>5,32), то можно сделать вывод о значимости уравнения регрессии (связь доказана).

Оценка значимости уравнения  регрессии обычно дается в виде таблицы  дисперсионного анализа (таблица 2).

 

 

 

 

Таблица 2

Дисперсионный анализ результатов регрессии

Источники вариации	Число степеней свободы	Сумма квадратов отклонений	Дисперсия на одну степень свободы	F-отношение
				фактическое	табличное при а=0,05
Общая	9	2742,9	—	—	—
Объясненная	1	2188,59	2188,59	31,586	5,32
Остаточная	8	554,31	69,289	—	—

 

В линейной регрессии обычно оценивается значимость не только уравнения  в целом, но и отдельных его  параметров. С этой целью по каждому  из параметров определяется его стандартная  ошибка: т_b и т_а. и корреляции m_rxy

где S² – остаточная дисперсия на одну степень свободы.

фактическое значение t-критерия Стьюдента:

Данная формула свидетельствует, что в парной линейной регрессии  , проверим справедливость равенства:

 

5,62²=31,584≈31,586

 

При числе степеней свободы п – 2 = 8 и уровне значимости а = 0,05 табличное значение t_табл=2,306

Так как t_табл< t_b (2,306<5,62), то, следовательно, гипотезу о несущественности коэффициента регрессии можно отклонить. Доверительный интервал для коэффициента регрессии определяется как . Для коэффициента регрессии b в примере 95 %-ные границы составят:

3,21-2,306*0,571≤b≤3,21+2,306*0,571

1,893≤b≤4,527

В рассматриваемом примере t_r не совпало с t_b в результате ошибок округлений. Величина значительно превышает табличное значение 2,306 при а = 0,05.  Следовательно, коэффициент корреляции существенно отличен от нуля и зависимость является достоверной.

Для определения интервала прогноза по линейному уравнению регрессии рассчитаем:

1. Точечный прогноз   у_р  при прогнозном х_р, составляющем 195 % от среднего уровня.

x_p = 195 % x = 1,95 * 15,6 = 30,42

у_р= 47,024 + 3,21 * 30,42 = 144,672

2. Средняя стандартная ошибка прогноза

m_ур=

Для прогнозируемого y_р  95 %-ный доверительный интервал при заданном x p = 195% определяется выраженным:

144,972-2,306*8,46≤у_р≤144,972+2,306*8,46

125,463≤у_р≤164,301 

Чтобы иметь общее суждение о качестве модели, определим среднюю ошибку аппроксимации:

=

что говорит о хорошем качестве уравнения регрессии, так как ошибка в пределах 5 – 7% свидетельствует о хорошем подборе модели к исходным данным.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 2

Рассчитать модель типа логистической  кривой и определить прогнозируемую величину экономических показателей  работы N-й железной дороги.

Таблица 3

год	t	y	100/y	Частные итоги	Первые  разности
1996	0	78	1,282
1997	1	80	1,250
1998	2	82	1,220	3,752
1999	3	83,5	1,198
2000	4	84,8	1,179
2001	5	85,9	1,164	3,541	-0,211
2002	6	86,4	1,157
2003	7	86,7	1,153
2004	8	86,8	1,152	3,463	-0,078

 

Логистическая кривая соответствует  уравнению

 

 

 

Для определения параметров а,b и с этой модели разбиваем динамический ряд на три равные части. Затем вычисляем частные итоги S_1, S_2, S₃  и первые разности между ними:

 

 

 

 

Если число членов временного ряда в каждой из частей равно n, то параметры равны:

 

 

 

 

 

 

Для удобства вычислений зависимая  переменная берется в виде 

В ходе вычислений получаем

 

с=

 

 

Искомая модель будет иметь  вид 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 3

 

По данным экономических  показателей работы локомотивного  депо определить с помощью метода экспоненциального сглаживания  величину прогноза на восьмой год временного ряда.

Данные представлены в  табл.4

Таблица 4

год	Основные  производственные фонды, тыс. руб.	Значение S при
		а=0,1	а=0,3	а=0,5
1	7100,0	1579,130	2805,990	4032,850
2	7900,0	2211,217	4334,193	5966,425
3	8100,0	2800,095	5463,935	7033,213
4	8700,0	3390,086	6434,755	7866,606
5	11400,0	4191,077	7924,328	9633,303
6	11900,0	4961,969	9117,030	10766,652
7	12500,0	5715,773	10131,921	11633,326
∑	67600,0

 

Начальные условия определим  из равенства S₀ среднему значению показателя у.

 

 

Произведем дальнейшие вычисления

при а=0,1