Контрольная работа по "Эконометрика"

Задание к контрольной работе по курсу

«Эконометрика»

Задача. Построить и проинтерпретировать модель взаимосвязи между указанными факторами, проверить на значимость, осуществить точечный и интервальный прогноз, сделать выводы.

Стоимость основных производственных фондов (Х, тыс. руб.)	Среднесуточная производительность (Y, тонн)
372	68
382	71
414	78
404	80
446	82
544	84
516	90
480	100
588	98
662	104

 

Решение:

1. Нанесем данные на координатную плоскость:

По полученному полю рассеяния можно предположить, что между признаками существует положительная линейная зависимость вида .

2. Вычислим коэффициент корреляции:

	x
1	372	68	138384	4624	25296
2	382	71	145924	5041	27122
3	414	78	171396	6084	32292
4	404	80	163216	6400	32320
5	446	82	198916	6724	36572
6	544	84	295936	7056	45696
7	516	90	266256	8100	46440
8	480	100	230400	10000	48000
9	588	98	345744	9604	57624
10	662	104	438244	10816	68848
	4808	855	2394416	74449	420210

 

Для проверки значимости найденного коэффициента корреляции вычислим расчетные значения t-критерия:

Найдем табличное значение t-критерия при надежностью 0,95: , . Так как , то при данном уровне надежности можно утверждать, что коэффициент корреляции является статистически значимым. Значит, между стоимостью основных производственных фондов и среднесуточной производительностью существует сильная положительная взаимосвязь.

3. В соответствии с методом наименьших квадратов найдем оценки линейного уравнения регрессии .

,

,  

Получили линейное уравнение регрессии

По уравнению видно, что при увеличении стоимости основных производственных фондов на 1 тысячу рублей следует ожидать увеличения среднесуточной производительности на 0,11 тонн. Интерпретация свободного члена уравнения не имеет физического смысла, так как этот член показывает значение среднесуточной производительности при нулевой стоимости производственных фондов.

4. Оценим статистическую значимость  параметров уравнений регрессии  с помощью t-критерия Стьюдента. Выдвинем гипотезу Н0: о незначимом отклонении от нуля каждого отдельного параметра модели. Эта гипотеза отклоняется при .

,   ,

где , .

Рассчитаем значение критерия при

	x
1	372	11837,44	68	73,498	30,230
2	382	9761,44	71	74,601	12,969
3	414	4462,24	78	78,131	0,017
4	404	5898,24	80	77,028	8,832
5	446	1211,04	82	81,661	0,115
6	544	3994,24	84	92,472	71,769
7	516	1239,04	90	89,383	0,381
8	480	0,64	100	85,412	212,817
9	588	11491,84	98	97,325	0,455
10	662	32833,44	104	105,488	2,215
		82729,6			339,8

 

;  

,  

Табличное значение t-критерия: . Так как оба расчетных значения t-критерия больше табличного значения, то параметры уравнения регрессии являются статистически значимыми.

Построим доверительные интервалы для коэффициентов:

5. Оценим качество уравнения  регрессии с помощью F-критерия Фишера. Проверим гипотезу Н0 о статистической незначимости уравнения регрессии и показателя тесноты связи. Рассчитаем фактическое значение F-статистики Фишера. Так как регрессия парная, то фактическое значение найдем по формуле:

Определим табличное значение критерия: при , . Так как табличное значение меньше фактического , то гипотезу Н0 отклоняем, то есть данное уравнение регрессии является статистически значимым.

6. Заполним расчетную таблицу:

74	73,498	30,230	306,25
71	74,601	12,969	210,25
78	78,131	0,017	56,25
80	77,028	8,832	30,25
82	81,661	0,115	12,25
84	92,472	71,769	2,25
90	89,383	0,381	20,25
100	85,412	212,817	210,25
98	97,325	0,455	156,25
103	105,488	2,215	342,25
		339,8	1346,5

 

Найдем коэффициент детерминации:

,

где - отношение остаточной дисперсии к общей дисперсии.

Значит, 74,8% вариаций результативного признака объясняется вариацией факторного признака.

7. В качестве прогнозной точки  выберем точку  . С помощью уравнения регрессии выполним точечный прогноз в этой точке:

 т

8. Рассчитаем доверительный интервал  для уравнения регрессии:

,

Занесем вычисленные значения верхней и нижней границы доверительной полосы в таблицу:

	x
1	372	74	73,498	68,746	78,251
2	382	71	74,601	69,849	79,354
3	414	78	78,131	73,379	82,884
4	404	80	77,028	72,276	81,781
5	446	82	81,661	76,909	86,414
6	544	84	92,472	87,719	97,224
7	516	90	89,383	84,630	94,135
8	480	100	85,412	80,659	90,164
9	588	98	97,325	92,573	102,078
10	662	103	105,488	100,736	110,241

 

Для получения интервального прогноза подставим полученное значение точного прогноза в уравнение границ доверительного интервала:

9. Изобразим все значения графически:

Таким образом, в работе было установлено, что между стоимостью основных производственных фондов и среднесуточной производительностью существует сильная положительная линейная взаимосвязь. С помощью метода наименьших квадратов были найдены коэффициенты уравнения линейной регрессии, при этом оба коэффициента оказались статистически значимыми, как и сама модель. Были построены доверительные интервалы для каждого коэффициента модели и всей модели в целом.