Задачи по "Астрономии"

Звезды

 

Звездные величины

Первое на что мы обращаем внимание, глядя на звезду, - это ее блеск – световая энергия, приходящая от звезды. Во II веке до н.э. Гиппарх ввел специальную шкалу звездных величин. Самые яркие звезды он отнес к 1-й звездной величине, а едва различимые невооруженным глазом – к 6-й величине. По латыни величина – magnituda, поэтому звездные величины обозначают индексом m, который ставят вверху после числового значения: 5^m.

Сейчас условно принято, что  звезды 6^m, которые можно увидеть в безлунную ночь вдали от городских огней, слабее звезд 1^m ровно в 100 раз. А это означает, что при переходе от одной звездной величины к последующей блеск звезд ослабевает в n раз. Найдем n.

,  .

В общем виде

,  ,

.

Последнее выражение называется формулой Погсона, определяющей шкалу звездных величин. С ее помощью можно звездные величины объектов, более ярких, чем  с m=1. Для них m<1 и может принимать отрицательные значения. При дробных значениях m получаются промежуточные градации.

 

Звездные величины и расстояния до звезд

1. (3) Видимая звездная величина звезды Веги (a Лиры) равна + 0.14^m и ее параллакс 0.123”, а у звезды b Водолея видимая звездная величина +3.07^m и параллакс 0.003”. Найти отношение видимого блеска этих двух звезд и истинной светимости этих двух звезд.

Данные:  m₁=+0.14^m, p₁ = 0.123”;

m₂=+3.07^m, p₂ = 0.003”;

,   ,   - видимый блеск Веги больше в 15 раз, чем у b Водолея.

,

- светимость b Водолея больше светимости Веги в 112 раз!

 

2. (1) Во сколько раз звезда Арктур (a Волопаса) ярче звезд a Андромеды и h Девы, если визуальная звездная величина Арктура равна +0.24^m, а зв. величины остальных звезд соответственно равны +2.15^m и 4.00^m?

,

,     Арктур ярче a Андромеды;

,     Арктур ярче h Девы.

 

3. (1) Во сколько раз звезды e Лебедя и g Водолея слабее Сириуса (a Большого Пса), если их видимая звездная величина соответственно равна +2.64^m, +3.97^m и -1.58^m?

,     e Лебедя слабее Сириуса;

,      g Водолея слабее Сириуса.

 

4. (1) Найти разность звездных величин звезд, различающихся по блеску в 10, 100 и 1000 раз.

,

,   ,   .

 

5. (2) Сколько звезд нулевой видимой звездной величины могут заменить свет, испускаемый всеми звездами восьмой видимой звездной величины, число которых близко к 26700?

Найдем во сколько раз отличается блеск звезды 0^m от звезды 8^m.

,   ,   раз.

По условию имеем 26700 звезд 8^m, поэтому звезд 0^m заменят 26700 звезд 8^m.

 

6. (2) На сколько изменится видимая звездная величина звезды при ее удалении в n раз?

Найдем уменьшение блеска звезды при  :

- блеск уменьшится в n² раз.

,   - звездная величина увеличится на 5 lg n.

 

7. (1) Определить отношение освещенностей, создаваемых на Земле Луной в полнолуние и в первой четверти, если в первом случае блеск Луны равен -12.7^m, а во втором -9.2^m.

,   ,   .

 

8. (1) Во сколько раз полная Луна светит слабее Солнца, если ее видимая звездная величина –12.7^m, а видимая звездная величина Солнца –26.8^m?

,  ,  раз.

 

9. (1) Во сколько раз Земля получает больше света от Солнца (–26.78^m), чем от самой яркой звезды неба Сириуса (a Большого Пса), видимая визуальная звездная величина которого равна –l.58^m?

,   ,

В 12 000 000 000 раз.

 

10. (3 каждый вариант) Вычислить угловой диаметр Солнца с планет Меркурия, Марса и Плутона и определить освещенность этих планет Солнцем в сравнении с освещенностью Земли. Расстояния этих планет от Солнца равны соответственно 0.387 а. е., 1.524 а. е. и 39.5 а. е. Видимый с Земли диаметр Солнца 32’, а видимая звездная величина –26.78^m.

Определим угловой диаметр Солнца, видимый с планеты.

 

, ,

,

.

.

Сравним освещенности на планетах.

,   ,

, 

,   .

 

11. (4) Звезда Сириус (a Большого Пса) с видимой звездной величиной –l.58^m находится в 20 раз ближе к Земле, чем звезда e Змеи, видимая звездная величина которой +3.85^m. Какая из этих звезд и во сколько раз кажется нам ярче и какое отношение их светимости?

Сравним видимый блеск обеих  звезд

,   ,  

Сириус нам кажется  ярче в 150 раз. Но находятся звезды на разных расстояниях. Сравним их светимости

,   ,  

 

12. (4) Звезда a Орла имеет видимую звездную величину +0.89^m и параллакс 0.198”, а звезда s Ориона - видимую звездную величину +3.78^m и параллакс 0.002”. Какая из этих звезд и во сколько раз кажется нам ярче (отношение блесков) и какое отношение их светимости?

,  ,  ,

Видимый блеск a Орла в 14 раз больше, чем s Ориона.

,  .

.

 

13. (1) Во сколько раз планета, имеющая видимую звездную величину -3^m, ярче звезды второй звездной величины? Ответ дать не проводя вычислений.

100.

 

14. (1 каждый вариант) Параллаксы Полярной звезды (a Малой Медведицы), Мицара (z Большой Медведицы) и звезды Каптейна равны соответственно 0.005”, 0.037” и 0.251”. Выразить расстояния этих звезд в парсеках и световых годах.

200 пк и 652 св.года;  27 пк и 88 св.лет;  3.98 пк и 13 св. лет.

 

15. (1 каждый вариант) Расстояние от звезды Денеба (a Лебедя) до Земли свет проходит за 815 лет, расстояние от звезды Альдебарана (a Тельца) – за 67.9 года и от звезды Толимана (a Центавра) – за 4.34 года. Чему равны годичные параллаксы этих звезд?

0.004”, 0.048” и 0.752”.

 

16. (1) Параллакс Проциона (a М.Пса) 0.286”. Сколько времени идет свет от этой звезды до Земли?

r = 1/0.286 = 3.5 пк = 3.5*3.26 = 11.4 св. года.

 

17. (1) Расстояние до звезды Бетельгейзе (a Ориона) 407 св. лет. Чему равен ее параллакс?

, 

 

18. (2) Какова абсолютная звездная величина Веги и Солнца?

Расстояние до Веги 8.13 пк, при этом ее видимая зв. величина +0.14^m. Если увеличить расстояние до 10 пк, то блеск звезды уменьшится. Пусть индекс 1 относится к расстоянию 8.13 пк, а индекс 2 – к расстоянию 10 пк. Тогда

,   раза уменьшится видимый блеск Веги.

.

Поскольку m₁=+0.14^m, то m₂ = 0.14+0.45 = +0.6^m.

Это абсолютная звездная величина Веги.

Аналогично проводим вычисления для Солнца. Расстояние до Солнца 1 а.е., при этом его видимая  звездная величина -26.7^m. Если увеличить расстояние до 10 пс, то блеск Солнца уменьшится. Пусть индекс 1 относится к расстоянию 1 а.е., а индекс 2 – к расстоянию 10 пк. Тогда

,  

 раза уменьшится видимый  блеск Солнца.

.

Поскольку m₁=-26.7^m, то m₂ = 31.6-26.7 = +4.9^m.

Это абсолютная звездная величина Солнца.

 

19. (2) Абсолютная звездная величина Солнца +4.9^m. На каком расстоянии Солнце будет видно как звезда +14.9^m ?

,   ,   ,  

На какое расстояние надо удалить Солнце, чтобы его  блеск уменьшился в 10000 раз, по сравнению  с блеском на расстоянии 10 пк?

,   ,   пк.

 

20. (2) Параллакс звезды 0.01”, видимая звездная величина +10^m. Какова ее абсолютная звездная величина?

Звезда находится на расстоянии 1/0.01=100 пк. При этом ее зв. величина m₂ = +10^m. Абс. зв. величина M – это звездная величина с расстояния 10 пк.

. Как изменяется блеск, если расстояние уменьшается в 10 раз?  ,    .

,   М = +5^m.

 

21. (2) Какой будет видимая звездная величина Солнца, если его удалить на расстояние 100 пк? Абсолютная звездная величина Солнца +4.9^m.

На расстоянии 10 пк звездная величина Солнца +4.9^m. Как изменится блеск Солнца, если его удалить на расстояние 100 пк?

.

,   .

 

22. (2) Чему равна абсолютная звездная величина Сириуса (a Б.Пса), если видимая звездная величина –1.46^m , а расстояние до нее 2.64 пк?

.

,   .

 

23. (1) Определить пространственную скорость движения звезды, если модули лучевой (параллельной лучу зрения) и тангенциальной (перпендикулярной лучу зрения) составляющих соответственно равны 30 и 25 км/с. Сделать чертеж.

 км/с.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

24. (2) Определить модуль тангенциальной составляющей скорости звезды Канопус (a Киля), если ее параллакс 0.01”, а собственное движение 0.02”/год. (см. рис. выше)

Расстояние до Канопуса  пк.

Скорость движения Канопуса в направлении, перпендикулярном лучу зрения

;

Важно не ошибиться в  размерностях:

,

 

25. (1) Звезда движется к нам с пространственной скоростью 36 км/с под углом 30^О к лучу зрения. Чему равны модули лучевой и тангенциальной составляющих скорости?

 

 

 

26. (2) Чему равно собственное движение звезды, находящейся от нас на расстоянии 15 пк, если модуль тангенциальной составляющей ее скорости равен 25 км/с?

,    ,    км.

 

27. (5) Параллакс Альтаира (a Орла) составляет p = 0.198", собственное движение m = 0.658" в год, радиальная скорость  V_r = - 26 км/сек , звёздная величина  m = 0.89. На каком расстоянии Альтаир пролетит мимо Солнца, когда это произойдёт, и какой при этом будет звёздная величина Альтаира.

Расстояние до Альтаира

 пк.

1пк = = 206265 а.е.

1пк = 30.86*10¹² км.

R = 1.56*10¹⁴ км

Скорость движения Альтаира

;

w = 0.658”/год = 3.19*10^-6 рад/год.

= 3.19*10^-6 * 1.56*10¹⁴ = 497 000 000 км/год = 15.7 км/сек.

26 км/сек.

30.4 км/сек.

Найдем угол a: 0.855;  a = 0.545 рад.

Альтаир пролетит от Солнца на расстоянии  2.62 пк.

Это произойдет через  время  4.38*10¹² сек = 139 000 лет.

Вспомним формулу Погсона  , где Е₁ и Е₂ освещенности от звезд с соответствующими зв. величинами. Освещенность от источника уменьшается обратно пропорционально квадрату расстояния  . Тогда 0.269, 2.5 lg 0.269,

-1.43,

-1.43,

Через 139 тыс. лет видимая  зв. величина Альтаира будет  -0.54^m.

 

Двойные звезды

28. (2) Определить видимую звездную величину двойной звезды a Рыб, видимая звездная величина компонентов которой +4.3^m и +5.2^m.

Суммарный блеск системы 

Положим в формуле  Погсона  , . Тогда

  или   ,  .

Найдем блеск каждого  компонента

,  .

Сложим и найдем суммарный  блеск

,

суммарная звездная величина   .

ВАРИАНТЫ:

m1	m2	Sm		m1	m2	Sm
8.0	8.5	7.5		-0.5	-0.6	-1.3
10.3	11.6	10.0		0.0	-1.6	-1.8
0.6	-1.0	-1.2		6.5	4.1	4.0
7.7	5.2	5.1		8.6	9.9	8.3
6.9	9.4	6.8		4.1	9.5	4.1
4.4	3.2	2.9		5.1	3.9	3.6
6.3	7.6	6.0		-1.2	-1.2	-2.0