Теория и техника научного эксперимента

Некоммерческое акционерное  общество

«Алматинский университет энергетики и связи»

 

 

Кафедра ПТЭ

 

 

 

 

 

 

 

Расчетно-графическая работа № 1

 

По дисциплине: «Теория и техника  научного эксперимента»

 

 

 

 

 

 

 

 

Специальность:     6М0717  Промышленная теплоэнергетика

 

Выполнил:         Апсеметов А. А.      Группа    МПТЭн/п-12-1

 

Проверила:        Джаманкулова Н.О.

 

_______________________ «____» __________________2012г. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Алматы 2012

 

Содержание

 

1 Задание 1

2 Выполнение задания  1

3 Задание 2

4 Выполнение задания 2

 

Список литературы

 

Задание 1

 

Ответить на следующие вопросы:

- Основные понятия теории планирования  эксперимента.

- Пассивный и активный эксперимент,  область планирования, план эксперимента,

уровни и интервалы варьирования факторов.

- Планирование регрессионных экспериментов

- Основные критерий оптимальности  планов.

- Задачи оптимизации в экстремальных  экспериментах.

- Полный факторный и дробный  факторный эксперименты.

 

Основные понятия теории планирования эксперимента.

Экспериментальные исследования являются основным источником получения достоверных сведений об объектах реального мира. Такие исследования проводятся с целью выбора рациональных технологических режимов функционирования или оптимизации параметров систем, оценки степени выполнения заданных требований к создаваемым изделиям, выяснения закономерностей функционирования, анализа влияния факторов на показатели качества систем и т.д. Натурные исследования свойств технических средств или сложных моделей требуют значительных затрат ресурсов. Данное обстоятельство заставляет уделять серьезное внимание рациональной организации экспериментального изучения таких объектов.

Теория планирования эксперимента охватывает практически все встречающиеся  на практике варианты исследования объектов. В дальнейшем будут рассмотрены следующие типовые задачи экспериментального исследования:

поиск значений параметров системы, обеспечивающих достижение оптимального значения показателя качества исследуемого объекта при  известных ограничениях на значения этих параметров. Перебор всех допустимых сочетаний значений параметров системы с целью поиска оптимального варианта нерационален по затратам ресурсов. Для решения указанной задачи ТПЭ предлагает такую последовательность проведения опытов, которая позволяет применить градиентные методы поиска при априорно неизвестной функции, связывающей показатель качества с параметрами системы;

приближенное аналитическое описание функциональной связи показателей  качества с параметрами системы  по результатам проведенного эксперимента. Традиционные методики проведения экспериментов из-за зависимости компонентов восстанавливаемого аналитического описания не позволяют определить раздельное влияние каждого фактора на результирующий показатель, т. е. эти методики обеспечивают получение аналитических зависимостей, пригодных лишь для решения интерполяционных задач. В отличие от них ТПЭ дает возможность оценить вклад каждого параметра в значение показателя, т.е. приближенно восстановить закон функционирования объекта по экспериментальным данным. Полученное аналитическое описание объекта можно использовать для предварительного исследования вариантов построения системы или в интересах построения модели старшей системы, включающей данный объект на правах элемента;

оценка дифференциального влияния  уровней параметров системы на показатель качества. Такая задача возникает в случае, когда параметры системы являются по своей природе качественными или когда количественные параметры могут принимать небольшое число различных значений.

Кроме указанных, существуют и других задачи, решаемые с помощью ТПЭ, например:

испытания образцов техники. Планирование должно позволить оценить степень  соответствия показателей качества образцов заданным требованиям при  минимальном объеме испытаний;

отсеивающие эксперименты. Предназначены выявить параметры, незначительно влияющие на показатель качества системы. Соответствующие планы применяют на начальных этапах исследования, когда нет конкретных сведений о влиянии тех или иных параметров. Отсеивание несущественных факторов снижает трудоемкость решения задач оптимизации или приближенного аналитического описания системы;

адаптивное планирование. Применяется  в условиях управления технологическим  процессом, когда система управления все время должна приспосабливаться  к конкретным условиям функционирования, а возможно, и предсказывать дальнейшее развитие процесса.

Решение задач с применением  ТПЭ предусматривает использование  априорной информации об изучаемом  процессе для выбора общей последовательности управления экспериментами, которая уточняется после очередного этапа проведения исследований на основе вновь полученных сведений. Тем самым достигается возможность рационального управления экспериментами при неполном первоначальном знании характеристик исследуемого объекта. Целесообразность применения ТПЭ тем выше, чем сложнее исследуемая система.

В ТПЭ исследуемый объект (реальный объект, модель объекта) рассматривается  как "черный ящик", имеющий входы v(управляемые независимые параметры) и выходы y [3, 6].

Переменные v принято называть факторами. Теория ПЭ изучает только активный тип экспериментов, когда имеется возможность независимо и целенаправленно менять значения факторов v во всем требуемом диапазоне. Факторы в эксперименте бывают качественными и количественными. Качественные факторы можно квантифицировать или приписать им числовые обозначения, тем самым перейти к количественным значениям. В дальнейшем будем считать, что все факторы являются количественными и представлены непрерывными величинами (если другое не оговорено особо). Переменным vможно сопоставить геометрическое понятие факторного пространства – пространства,  координатные оси которого соответствуют значениям факторов. Совокупность конкретных значений всех факторов образует точку в многомерном факторном пространстве. Примерами факторов являются: интенсивность потока запросов к базе данных, скорость передачи данных по каналу, объем запоминающего устройств. Кроме того, на объект воздействуют возмущающие факторы, они являются случайными и не поддаются управлению.

Область планирования задается интервалами возможного изменения факторов vi,min< vi < vi,max  для i =1, 2, …, k, где k – количество факторов. В теории ПЭ часто используют нормализацию факторов, т.е. преобразование натуральных значений факторов в безразмерные (кодированные) величины. Переход к безразмерным значениям xi задается преобразованием

xi = (vi – vi0)/Dvi,

(1.1)

где vi – натуральное значение фактора, vi0 – натуральное значение основного уровня фактора, соответствующее нулю в безразмерной шкале,  Dvi – интервал варьирования. Совокупность основных уровней всех факторов представляет собой точку в пространстве параметров, называемую центральной точкой плана или центром эксперимента. С геометрической точки зрения нормализация факторов равноценна линейному преобразованию пространства факторов, при котором проводятся две операции: перенос начала координат в точку, соответствующую значениям основных уровней факторов; сжатие – растяжение пространства в направлении координатных осей.

Активный эксперимент  включает: систему воздействий, при которых воспроизводится функционирование объекта; регистрацию отклика объекта. План эксперимента задает совокупность данных, определяющих количество, условия и порядок реализации опытов. Опыт составляет элементарную часть эксперимента и предусматривает воспроизведение исследуемого явления в конкретных условиях с последующей регистрацией результата. В условиях случайности в одних и тех же условиях проводятся параллельные (повторные) опыты в интересах получения статистически устойчивых результатов. Опыт uпредполагает задание конкретных значений факторам v u = v1u, v2u, …,  vku, а совокупность значений факторов во всех Nточках плана эксперимента образует матрицу плана

v11, v21, …,  vk1 v12, v22, …,  vk2 .     .     .     .     . v1N, v2N, …,  vkN .

(1.2)

Строки матрицы соответствуют  опытам, столбцы – факторам, элемент  матрицы viz задает значение z-го фактора в i-м опыте.

Вектор y называется откликом. В ТПЭ обычно изучается ситуация, в которой вектор отклика y состоит из одного элементаy. При наличии нескольких составляющих вектора y, каждую из них можно исследовать отдельно. Зависимость отклика от факторов носит название функции отклика, а геометрическое представление функции отклика – поверхности  отклика. Функция отклика рассматривается как показатель качества или эффективности объекта. Этот показатель является функцией от параметров – факторов. На практике широкое распространение получили простые функции вида М{y'} = bf(v), где b=(b0, b1, …,bh) – вектор неизвестных параметров модели размерности h+1, f(v)=(f0(v), f1(v), …, fh(v)) – вектор заданных базисных функций, М{y'} – математическое ожидание функции отклика. Такое представление функции отклика соответствует линейной по параметрам модели регрессионного анализа, т.е. функция отклика есть линейная комбинация базисных функций от факторов.

Вследствие влияния на результаты экспериментов случайных воздействий  истинные значения коэффициентов можно  определить только приближенно. Оценку b = (b0, b1, …, bh) вектора неизвестных параметров b находят по результатам экспериментов, в ходе которых получают значения yu при заданных значениях факторов vu. Эти оценки обычно рассчитываются с помощью метода наименьших квадратов (МНК) на основе выборок значений факторов и откликов системы на воздействия [8]. В качестве оценки b вектора b выбирается такое значение, которое минимизирует

,

где y'u – вычисленное на модели значение функции отклика в u-й точке факторного пространства. Приравнивая нулю частные производные от данной квадратичной формы, взятые по переменным b0, b1, …, bh, можно получить систему уравнений вида

,

где i= 0, 1, 2, …, h. Значение b находят путем решения этой системы уравнений. Решение системы возможно при линейной независимости базисных функций.

Если не принимать специальных  мер, то оценки коэффициентов b станут взаимозависимыми, и полученное выражение для функции отклика можно рассматривать только как интерполяционную формулу, что затрудняет ее физическую интерпретацию и последующие расчеты. Однако, формируя специальным образом матрицу плана, можно получить независимые значения b. И эти величины будут характеризовать вклад каждого фактора в значение функции отклика.

Итак, задача заключается в определении  общей формы записи функции отклика y'. В большинстве случаев вид этой функции, получаемый из теоретических соображений, является сложным для практического применения, а при неполном знании объекта вообще неизвестен. По данным причинам функцию целесообразно представить в универсальном, удобном для практического применения виде, чему соответствует представление в виде полинома. Тогда системой базисных функций является совокупность степенных функций с целыми неотрицательными значениями показателей степени. Полиномиальная форма представления функции отклика примет вид

y' = b0 + b1x1 + …+ bkxk + b12x1x2 + b13x1x3+… +bk–1,k xk–1xk + +b11x21 + …+bkkx2k + … + e,

(1.3)

где e – случайная  величина, характеризующая ошибку опыта.

Такая функция отклика линейна  относительно неизвестных коэффициентов  и будет полностью определена, если заданы степень полинома и коэффициенты. Степень полинома обычно задается исследователем априорно и уточняется в ходе исследования. На практике наибольшее распространение получили полиномы первого и второго порядка, соответственно линейные и квадратичные модели. Коэффициенты полинома принято называть эффектами факторов.

Иногда функцию отклика целесообразно представить в другом виде, например, в виде степенной функции, так как достижение заданной точности требует применения полинома высокого порядка. Однако использование функций, нелинейных относительно неизвестных параметров, усложняет вычисления, затрудняет оценку их свойств. В некоторых случаях задачу можно упростить путем искусственного преобразования нелинейной функции в линейную. При этом требуется соответствующее преобразование и результатов экспериментов.

Применение ТПЭ основано на ряде допущений, а именно [2, 6]:функция отклика содержит в своем составе неслучайную и случайную составляющую. Многие показатели качества автоматизированных систем обработки информации носят случайный характер. Это требует многократного повторения опытов в одних и тех же условиях в целях получения статистически устойчивых результатов, а получаемые оценки показателей должны обладать свойствами состоятельности, эффективности, несмещенности и достаточности. Оценки типовых показателей формируются путем усреднения результатов наблюдений. Поэтому при достаточно большом количестве наблюдений можно считать, что случайная составляющая e распределена по нормальному закону с нулевым математическим ожиданием, что позволяет получить несмещенную оценку математического ожидания функции отклика в конкретной точке плана. Будем также считать, что величина e имеет дисперсию, не зависящую от значений факторов. Иначе говоря, результаты, полученные путем усреднения повторных опытов в каждой точке плана, представляют собой независимые, нормально распределенные случайные величины;