Статика, кинематика, динамика

Подсчитываем  главные моменты инерции тела для всех главных осей фигуры.

Ось ОZc.

 

, ,

 

Ось 0Ус.

Подсчитываем  моменты инерции каждого однородного  тела относите только своей центральной  оси У.

 

=901,5 кг м².

 

Поскольку плоскости симметрии УсСZc и XcCZc взаимно перпендикулярны, то момент инерции фигуры относительно оси СУс равен моменту инерции относительно оси СХс, т.е.

 

 

4. Определяем момент инерции фигуры относительно оси АВ, проходящей через точка подвеса.

 

 

5. Определяем период колебаний фигуры для экспериментальной проверки правильности проведенных расчетов. Для этого используем приближенную формулу

 

 

Задача Д-2

 

Система твердых тел, состоящая из вала I ("весом G₁ и радиусом r₁), двух дисков (вес каждого из которых G₂ и радиус r₂) и груза 3 (весом G₃), связанного с валом намотанным на него тросом, под действием вращающего момента от груза начинает движение по горизонтали. Через n оборотов вала груз соприкасается с поверхностью (см. Рис. 28) и система продолжает движение по инерции. На расстоянии l на ее пути встречается препятствие в виде подъема с углом .

 

Дано: Схема №2 G1 =170Н G2 =100H G3 =380H n=5,0 r1 =0,20 м r2 =1б00 м м

 

Требуется:

1)определить  высоту, на которую поднимется  система, полный путь перемещения  центра вала, время от начала  движения до полной остановки;

2)определить  работу, энергию и мощность, развиваемые  грузом. 
Силой инерции груза в горизонтальной плоскости, силами трения и сопротивления качению пренебречь.

Решение:

1. Определяем характерные участки пути:

а)длина  горизонтального участка пути, ;

б)длина  пути, на котором действует вращающий  момент от груза G₃,

 

 (м).

 

в)длина  горизонтального участка пути, которую  движущаяся система преодолевает по инерции:

 

 

2. Подсчитываем работу, совершаемую грузом G₃ на участке , по формуле

 

 

где - вращающий момент, Н м;

- угол поворота вала, рад. 

Поскольку

 

и , то

 

3. Подсчитываем кинетическую энергию, набранную системой на горизонтальном участке пути , по формуле

 

 

где - соответственно значение кинетической энергии системы в конце и начале горизонтального участка пути, Н м;

- сумма работ всех движущих  сил, Н м.

В вашем  случае, поскольку система начинает движение из состояния покоя, то =0, а так как движущей силой является только сила G₃, то

 

 

4. Определяем высоту подъема системы. Исходя из закона сохранения механической энергии, используем формулу

 

 

где П - количество потенциальной энергии» запасаемой системой при подъеме до полной остановки, Н м;

- соответственно массы вала  и дисков, кг;

- ускорение свободного падения,  м/с²;

h - высота подъема, м.

Откуда

 

 

 

5. Подсчитываем  длину пути подъема по формуле

 

 

6. Подсчитываем общую длину пути, пройденного системой

 

 

7. Определяем время, затраченное системой на преодоление всего пути.

Момент  инерции системы подсчитываем по формуле

 

 

где соответственно радиусы вала и дисков, м.

 

.

 

Для определения  угловой скорости системы в конце  участка используем формулу кинетической энергии для тела, совершающего одновременно поступательное и вращательное движения

 

 

Где - скорость поступательного движения, м/с;

- угловая скорость вращательного  движения, рад/с 

Учитывая, что  и

получаем:

 

 

Подставляя  численные значения, получаем

 

 

Определяем  время движения системы, решая совместно  уравнения для равноускоренного движения на участке

 

 

где - начальные значения угловой скорости и угла поворота системы.

Из уравнений  получаем:

 

 

Определяем  время, затраченное системой на преодоление  пути с постоянной угловой скоростью , по формуле

 

 

 

Откуда

 

 

Определяем  время, затраченное системой на преодоление  пути подъема из условия равнозамедленного  движения, решая совместно уравнения

 

 

Откуда

 

 

где – приращение угла поворота системы при движении ее на подъем, рад.

В нашем  случае

 

 

Подставляя  полученное значение в формулу  , имеем:

 

 

Следовательно, время движения системы подсчитываем по формуле

 

 

 

8. Подсчитываем  мощность, развиваемую грузом G₃ на участке по формуле

 

 

Задача Д-3

 

Грузы 1 (массой m₁), и 2 (массой m₂) связанны между собой гибкими нитями через блок шкивов 3 (момент инерции которого , радиусы r₁ = 0,2 м и r₂ = 0,4 м). При этом груз 2 скользит по поверхности (с углом наклона и коэффициентом трения f), а груз 1 отвесно падает с высоты h на наковальню 4 (массой m₄), закрепленную на пружине 5 ( жесткость которой - С) (см. Рис. 29 ).

 

Дано: Схема №2 m1 =12 кг m2 =8 кг m4 =84 кг h =1,1 м м С=100 Н/м

 

Считая  удар груза 1 о наковальню 4 абсолютно  неупругим, требуется:

1) определить  ускорение и скорость груза  1 в момент соударения его с  наковальней;

2) рассчитать  импульс силы, полученный пружиной 5;

3) определить  собственную частоту колебаний  наковальни до и после удара;

4) определить  значение кинетической энергии  груза 1 в момент соударения  с наковальней.

Трением качению шкивов и массой нитей  пренебречь.

Решение:

1. Определяем ускорение и скорость груза 1 в момент соударения его с наковальней 4.

Вычерчиваем схему (Рис. 29 ).

Решение задачи начинаем с использования  общего уравнения динамики, основанного  на принципе Даламбера - Лагранжа.

Необходимо  помнить принцип Даламбера - Лагранжа, который гласит: при движении механической системы с идеальными связями  в каждый момент времени сумма  элементарных работ всех приложенных  активных сил и всех сил инерции  на любом возможном перемещении  системы будет равна нулю.

Записываем  общее уравнение динамики

 

 

где - соответственно элементарные работы активных сил и сил инерции.

Выбираем  направление движения системы так, что груз 1 опускается. Прикладываем к каждому элементу системы действующие  активные силы и силы инерции. Этими  силами будут:

а) сала тяжести груза 1 - . Вектор этой силы направлен вертикально вниз;

б) сила инерции груза1 - . Вектор этой силы направлен вертикально вверх, так как ускорение направлено вниз;

в) силы инерции блока 3, вращающегося вокруг неподвижной оси с угловым  ускорением приводятся к моменту , который направлен по часовой стрелке, поскольку угловое ускорение направлено против часовой стрелки;

г) сила тяжести груза 2 - . Вектор этой силы направлен вертикально вниз;

д) сила инерции груза 2 - . Вектор этой силы направлен вдоль поверхности вниз, поскольку ускорение направлено вверх;

е) сила трения груза 2 о поверхность - Вектор этой силы также направлен вдоль поверхности вниз, так как он всегда направлен против движения тела, а оно движется вверх.

Сообщаем  системе возможное перемещение  в направлении ее действительного  движения.

Составляем  общее уравнение динамики применительно  к нашему случаю:

 

 

где и S₂- соответственно угол поворота блока шкивов 3 и перемещение груза 2.

Находим зависимости между возможными перемещениями  так же, как и между соответствующими скоростями

 

,

 

Откуда

 

,

 

Подставляем (3.2) в (3.2) и получаем

 

 

Сократив  осе части уравнения на имеем

 

 

Учитывая, что

 

 

и подставляя (3.4) в (3.3) , получаем

 

 

Зависимости между ускорениями определяем аналогично (3.2)

 

 

Подставляя (3.6) в (3.5) . получаем

 

 

Откуда

 

 

или численно:

 

 

Скорость  груза 1 определяем, решая совместно  систему уравнений для равноускоренного движения

 

 

где - начальные параметры. Так как движение системы

начинается  из состояния покоя, то

Решая (3.7), имеем

 

 

2. Определяем импульс силы, полученный пружиной 5.

Для этого  воспользуемся законом сохранения количества движения.

Необходимо  помнить, что закон сохранения количества движения гласит: если сумма всех внешних  сил, действующих на систему, равна  нулю, то вектор количества движения системы будет постоянен по модулю и направлению.

Количество  движения груза 1 до удара определяется по формуле

 

 

Количество  движения груза 1 и платформы ( наковальни ) 4 после удара определяется по формуле

 

 

где U - скорость движения масс 1 и 4 после удара.

На основании  закона сохранения количества движения приравниваем правые части вышеприведенных  формул и получаем

 

 

Необходимо  помнить, что ударом называется такое  явление, при котором скорости точек  тела за очень малый промежуток времени X изменяются на конечную величину. При  этом в качестве предельных случаев  рассматривают абсолютно упругий  удар (при К= 1) и абсолютно неупругий удар (при К=0), Особое внимание следует обратить на абсолютно неупругий удар, так как в этом случае потеря кинетической энергии соударяемых тел будет максимальной.

При абсолютно  неупругом ударе (при К = 0) действующий на тело ударный импульс подсчитывается по формуле:

 

 

3. Определяем  собственную частоту колебаний  наковальни до и после удара  по формуле

 

 

До удара

 

 

После удара

 

 

4. Определяю  кинетическую энергию груза 1 во врет удара по формуле

 

 

 

Список литературы