Статика, кинематика, динамика

 

х =АВ= 6,5 м.

6,5= -0,05 9,8·0,4226 + 9,8 · 0,906 + 17t

8,67 + 17t – 6,5=0, 4,34 + 17t – 6,5=0

Д = b² - 4ас = 289+ 119,6 = 408,6

t₁= – посторонний

t₂=

 

Возьмём время прохождения клубня на участке АВ равным 0,17с.

Определяем  скорость передвижения в точке В.

 

-0,05·9,8·0,4226·0,17+9,8·0,906·0,17+17=18,64м/с

=18,64м/с.

 

 

Участок ВС:

Составим  дифференциальное уравнение на участке ВС.

 

 

Интегрируем уравнение дважды:

 

2. d =-

 – закон движения на  участке ВС.

 

Начальные условия:

 

при t=0, ,

.

 

Находим время движения на участке ВС:

 

х₁=ВС=2,5м

2,5 = -0,05 ·9,8 ·

0,5 - 18,64t + 2,5=0

0,25 - 18,64t + 2,5=0

Д=345,0

t₃=

t₄=

 

Принимаем за время движения клубня на участке ВС t = 0,14с.

Определим скорость точки «С» по уравнению:

 

-0,05·9,8·0,14+18,64=18,57 м/с

 

Участок СД:

 

 

Интегрируем по «х»:

 

;

;

;

t+ ;

 

Начальные условия:

при t=0, ;

Интегрируем

 

  ;

; .

 

Начальные условия:

 

, ; .

 

Таким образом  уравнения движения имеют вид:

 

 

Уравнения траектория движения тела найдем исключив например t из уравнений.

 

 

В момент падения тела

 

 

Поскольку траектория движения клубня является ветвь параболы, то b = 17,6 м.

 

 

.

 

Скорость  тела при падении найдем через  проекции скорости на оси координат.

 

 

Задача 321

 

Погрузчик ПБ – 35 состоит из трактора массой m₁ и лопаты с грузом общей массой m₂ (см. Рис. 24 ). Ось опрокидывания лопаты совмещена с центром масс трактора в точке А и отстоит от центра груза на расстоянии R = 2 м. В момент времени t₀, когда скорость трактора V₀ лопата начинает вращательное движение вокруг оси А по часовой стрелке. Закон вращательного движения считая лопату с грузом материальной точкой, и пренебрегая всеми сопротивлениями определить закон движения трактора и вычислить значение скорости трактора для времени Т₁.

 

Дано: V0=1,8 m1=3000 кг m2=1000 кг T1=0,4 c a=π/6 (1+T2/2) m=(m1+m2)=4600 кс

Решение:

1. выбираем начало отсчета совмещая его с началом m₂. Ось направляем вдоль траектории m₂. Изобразив произвольно положение с учетом, чтобы (см. Рис. 25 ).
2. составляем диф. Уравнение движения груза, рассматривая груз – погрузчик как единую систему.

 

 

Так как  сумма проекций на ось Х = 0, то:

 

 

3. определяем координаты центра масс системы:

 

 

- Закон  движения трактора.

Заменяем  в интегральном уравнении х на х_с.

 

 

Подставим в формулу полученные зависимости  при интегрировании и полученной зависимости центра масс, сравним  их и получим общую зависимость.

 

 

4. для определения постоянных интегрирования учитываем начальные условия:

При из уравнения получим, что:

 

 

Подставив числовые значения постоянных интегрирования в уравнение  , и выразим х₁, получим числовые значения;

 

 

5. определяем скорость лопаты и системы в целом.

 

 

 

Задача №322

 

По горизонтальному  участку цепи движутся 3 вагона массы  которых m_i к скорости V_i. Начальное расстояние между вагонами S₁ и S₂; через некоторое время от начального движения вагоны поочередно сцепляются и движутся все вместе. Пренебрегая силами сопротивления движения и размерами, вагонов, требуется определить полное время движения до сцепления всех вагонов, а также величины и скорости вагонов после сцепки. Сцепленные вместе 3 вагона далее сцепляются с тепловозом. Определить через какое время от начала движения все вагоны сцепятся с тепловозом, стоящим неподвижно на расстояние S₃ = 150 м от третьего вагона и какова будет скорость после их сцепки. Вес тепловоза G = 400 кН.

Решение

 

Дано: (m1= m3)103=25кг = 32 кг S1=40 м S2=30 м S3=150 м V1=26 м/с V2=V3=-5,5 м/с GT=400 kH.

согласно  рисунку и условию задачи строим систему до сцепки, указав скорости.

2. для решения задачи применяем теорему об изменении количества движения, считая вагоны материальными точками.

- количество движения.

- количество движения системы  – векторную сумму количеств  движения отдельных точек системы.

 

 

 

Импульс силы за время t.

 

 

3. Находим сначала количество движения каждого вагона.

 

 

Определить  количество движения, когда первый вагон столкнется со вторым.

 

 

При соединении трех вагонов, количество движения будет  равным:

 

 

После соединения с тепловозом количество движения равно:

, так как тепловоз стоит,  то  . Значит:

 

 

Все вагоны после сцепления движутся в одну сторону. Находим время  первого и второго вагона до встречи:

- путь пройденный первым вагоном.

- путь пройденный вторым вагоном.

Если  и отрицательны, то

 после подставки получаем:

 

 

Поскольку скорости и расстояние между вторым и третьим вагоном остается неизменным, т.е. , находим время встречи первого и второго вагона с третьим:

 

 

Определяем  скорость трех вагонов после сцепления:

 

 

Определяем  время пройденное тремя вагонами до полного сцепления:

 

 

За это  время три вагона пройдут путь:

 

 

Определяем  расстояние до тепловоза после сцепления  трех вагонов.

 

 

Найдем  время  :

 

 

Найдем  скорость движения при соединении вагонов  с тепловозом:

 

 

Задача Д – 1

 

Дано: 2-1-5

M - ? Zc - ? -?

 

Три однородных тела, удельный вес которых  , последовательно и жестко скреплены между собой так, что составляют сложную фигуру. При этом оси однородных тел Z, совпадают с общей осью фигуры. Фигура подвешена горизонтально на двух нитях длиной l .

Требуется:

1. вычислить массу каждого из тел и всей фигуры;
2. найти положение главных осей и вычислить главные моменты инерции фигуры;
3. определить момент инерции фигуры относительно оси АВ, проходящей через точки подвеса;
4. определить период колебаний фигуры для экспериментальной проверки правильности выполненных расчетов.

Решение:

1. Строим фигуру, состоящую из последовательно скрепленных однородных тел 2-1-5. Для этого проводим оси координат Оуz (Рис. 27). Определяем общую длину фигуры. Так как она состоит из последовательно соединенных шара, цилиндра и стержня, то общую длину фигуры определяем по формуле

 

 

В нашем случае

 

(см)

 

 

Определяем масштаб длины фигуры по формуле

 

(см/мм) ,

 

где - размер фигуры на чертеже в мм.

В принятом масштабе пересчитываем основные размеры  однородных тел.

Тело 2 –  шар.

 

мм.

 

Тело 1 –  цилиндр.

 

мм.

мм.

 

Тело 5 - стержень.

 

мм.

мм.

 

В соответствии с полученными значениями строим фигуру так, чтобы ее левая граница  совпадала с началом координат.

2. Вычисляем массу каждого из тел и всей фигуры. Для этого определяем объем каждого тела по формулам:

 

см³.

 см³.

 см³.

 

Подсчитываем  вес каждого тела по формуле

 

, где  - удельный вес тела.

 Н = 3,7 Н,

Н,

Н.

 

Определяем  массу каждого тела по формуле

 где g - ускорение свободного падания, м/с².

 

кг,

кг,

кг.

 

Находим положение центров масс (центров  тяжести) каждого тела и обозначаем их соответствующими буквами и . Указываем расстояния от начала координат до центров масс .

 

Общую массу  фигуры подсчитываем по формуле 

 

(кг).

 

3. Находим положение главных осей и вычисляем главные моменты инерции фигуры.

Предварительно  определяем центр тяжести фигуры по формуле:

 

 

гда - масса соответствующего однородного тела, кг;

- абсцисса центра тяжести  соответствующего однородного тела  в принятой системе координат,  см;

n – количество однородных тел.

В нашем  случае

 

см.

 

Это же значение в масштабе чертежа будет

 

(мм/см).

 

Откладываем от начала координат полученное значение, обозначаем точку буквой С и через  нее проводим оси СУс и СХc. Ось Z , так как она проходит через центр тяжести, дополнительно обозначаем Zc .

Оси СZс, СУс и СХс являются главными осями инерции тела, поскольку ось CZc является осью симметрии, а оси СУс и СХc перпендикулярны соответствующим плоскостям симметрии СУсZс и CXcZc.