Электрон в потенциальной яме

Содержание

ЭЛЕКТРОН В ПОТЕНЦИАЛЬНОЙ ЯМЕ……………………..……………………….1 – 4

РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ЭЛЕКТРОНОВ……………………………………...............................4

КЛАССИФИКАЦИЯ ТВЕРДЫХ ТЕЛ………………………………………….………4 – 6

ЭЛЕКТРОНЫ И  ДЫРКИ..……………………………………………………….............6 – 7

ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ ЗОНЫ ПРИМЕСЕЙ И ДЕФЕКТОВ…………………………… 7 – 8  

ТУННЕЛЬНЫЙ ЭФФЕКТ

   ВВЕДЕНИЕ…………………………………………..……………………………..………8

   ТЕОРИЯ ТУННЕЛЬНОГО ЭФФЕКТА………………….……………………………8 – 9

   ТУННЕЛЬНЫЙ ЭФФЕКТ В ФИЗИКЕ…………………………………………….……..9

   ТУННЕЛИРОВАНИЕ ЭЛЕКТРОНОВ В ТВЕРДЫХ ТЕЛАХ….……………….....9 – 10

   КВАНТОВЫЕ ТРАНЗИСТОРЫ……………………………………  .…………………. 10

   ТУННЕЛЬНЫЙ ДИОД.…………………….……………………………………….10 – 11

ЗАКЛЮЧЕНИЕ………………………………………………………………………...11 – 12

СПИСОК  ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ………………………………………...12

ПРИЛОЖЕНИЕ………………………………………………………………………...12 – 15  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Электрон в потенциальной  яме

Если ранее мы рассматривали  примеры в которых е- мог свободно перемещаться в некоторых областях одномерного пространства. Теперь поместим его в область с низкой потенциальной энергией. Такую область обычно называют потенциальной ямой.

Профиль потенциальной  ямы шириной L показан на рис. 25

Пока Е>V₁, решение не отличается от уже известного нам, но когда Е<V₁, то положение принципиально изменяется.

Рассмотрение уравнения  Шредингера для пространственно  однородного потенциала дает следующие результаты.

В области 3 существует только экспоненциально убывающее решение

(п.1)

где

(п.2)

В области 2 потенциал равен нулю. Здесь возможны решения двух видов - симметричное и антисимметричное (что определяется симметричным распределением потенциала). Соответственно,

(п.3)

(п.4)

Здесь  

(п.5)

В области 1 решение снова  должно быть затухающим, но на сей раз  в направлении отрицательных Z. Соображениям симметрии удовлетворяет функция

(п.6)

Исследуем сначала симметричное решение. В этом случае надо использовать уравнения (п.1) и (п.3), а так же уравнение (п.6) со знаком "+". В точках Z=L/2 и Z=-L/2 должны выполняться условия непрерывной волновой функции и ее производной. В силу симметрии задачи достаточно удовлетворить граничным условиям в какой-либо одной точке, скажем в точке Z=L/2. Из условия непрерывности волновой функции следует, что

(п.7)

А из условия, налагаемого  на производную

(п.8)

Таким образом однородную систему линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных коэффициентов A и C. Эта система имеет нетривиальное решение, если ее детерминант равен нулю, т.е.

(п.9)

или

(п.10)

Используя (п.2) и (п.5) получим

(п.11)

Нелинейное уравнение (п.11) необходимо решить относительно энергии E. Его можно решить на ЭВМ или графически, построив отдельно левую и правую части (п.11). Для примера: m=9.1*10^-31кг, ћ=1.05*10^-34Дж/Гц, и примем L=10^-9м, V₁=1.6*10^-19Дж

Как видно кривые пересекаются в трех точках, т.е. существуют ровно  три решения. Энергия электрона  может иметь любое значение в  области Е>V₁, но если Е<V₁, то существуют только три разрешенных энергетических уровня (состояния), (точнее, 3 энергетических уровня для симметричных решений и еще какое-то число для антисимметричных).

Таким образом мы решили задачу, которую с полным основанием можно назвать квантово-механической. Энергия больше не может принимать  любое значение. Разрешены только вполне определенные дискретные состояния.

Дискретные энергетические уровни энергии появляются всякий раз, когда мы ограничиваем движение электрона.

Решение приобретает  вид дискретного набора волновых функций и уровней энергии.

Итак, для е^- в твердом теле уравнение может быть записано в виде:

(1)

Где - дифференциальный оператор Лапласа в декартовой системе координат.

Y(x,y,z) - волновая функция 
E - полная энергия электрона 
V₁(x,y,z) - потенциальная энергия электрона 
h - постоянная Планка 
m - масса электрона

Установлено, что уравнение (1) имеет отличные от нуля решения относительно Y(x,y,z) только при некоторых дискретных значениях энергии E. В этих случаях говорят, что имеет место некоторое квантовое состояние. Каждому квантовому состоянию отвечает определенное значение энергии электрона E, а также его импульса mV или ћk.

Для описания квантового состояния используют набор квантовых  чисел:

• n (азимутальное квантовое число,
• l (орбитальное квантовое число),
• m_l (магнитное орбитальное квантовое число) и
• m_s (спиновое число).

Поскольку уравнение (1) имеет отличные от нуля решения только при некоторых дискретных E, то говорят, что электрон занимает некоторые разрешенные энергетические уровни. В соответствии с принципом Паули два электрона в любом атоме не могут находиться в одном и том же квантовом состоянии, число электронов находящихся на одном и том же энергетическом уровне не может превышать числа квантовых состояний.

В твердых кристаллических  телах высока концентрация атомов, из-за их близкого расположения между атомами возникает взаимодействие и потенциальная энергия электронов становится периодической функцией пространственных координат.

Вследствие этого энергетические уровни любого атома становятся связанными с уровнями других атомов. Происходит расщепление каждого уровня на такое число новых уровней, которое совпадает с числом взаимодействующих атомов. Поскольку межатомные расстояния достаточно велики, отдельные уровни энергии оказываются очень близкими и образуют энергетические зоны.

Распределение электронов

Подобно энергетическим уровням в изолированных атомах энергетической зоны могут быть полностью  заполненными, частично заполненными и свободными.

Самую верхнюю из заполненных  электронами зон называют валентной. Эта зона соответствует энергетическим уровням электронов внешней оболочки в изолированных атомах. Ближайшую  к ней свободную, незаполненную электронами зону, называют зоной проводимости.

Классификация твердых тел

В зависимости от того, как расположены энергетические зоны, твердые тела принято делить

• диэлектрики
• полупроводники
• металлы

Согласно зонной теории, электроны валентной зоны имеют практически одинаковую свободу движения во всех твердых телах независимо от того, являются ли они металлами или диэлектриками. Для объяснения различий в электрических свойствах материалов надо принять во внимание различную реакцию на внешнее электрическое поле электронов заполненной и незаполненной зон. Внешнее электрическое поле стремится нарушить симметрию в распределении электронов по скоростям, ускоряя электроны, движущиеся в направлении действующих электрических сил, и замедляя частицы с противоположно направленным импульсом. Однако подобное ускорение и замедление связано с изменением энергии электронов, что должно сопровождаться переходом их в новые квантовые состояния.

Очевидно, что такие переходы могут осуществляться лишь в том случае, если в энергетической зоне имеются свободные уровни.

В металлах, где зона не полностью укомплектована электронами, даже слабое поле способно сообщить электронам достаточный импульс, чтобы вызвать их переход на близлежащие свободные уровни. По этой причине металлы хорошие проводники электрического тока.

В полупроводниках и  диэлектриках при температуре 0⁰К все электроны находятся в валентной зоне, а зона проводимости абсолютно свободна. Электроны полностью заполненной зоны не могут принимать участия в создании электрического тока.

Для появления электропроводности необходимо часть электронов перевести  из валентной зоны в зону проводимости. Энергии электрического поля недостаточно для осуществления этого перехода, требуется более сильное энергетическое воздействие, например, нагревание твердого тела.

Чем выше температура  и меньше запрещенная зона, тем  выше интенсивность межзонных переходов.

У диэлектриков запрещенная зона может быть настолько велика, что электронная электропроводность не играет определяющей роли.

Выводы

1. Твердое тело является металлом, т.е. проводником, в том случае, если валентные электроны одновременно принадлежат всем атомам
2. Твердое тело, в котором валентные электроны прочно связаны со своими атомами, является диэлектриком.
3. Если каждый атом имеет, например, 4 валентных электрона, являющихся общими для 4 ближайших атомов (конфигурация валентных связей), то такое твердое тело является полупроводником.

Электроны и  дырки

При каждом переходе электронов за счет возбуждении из валентной  зоны в зону проводимости появляются энергетические вакансии в распределении  электронов по состояниям валентной  зоны, называемые "дырками". При наличии дырок электроны валентной зоны могут совершать эстафетные переходы с уровня на уровень. Во внешнем энергетическом поле дырка движется противоположно движению электрона, т.е. ведет себя как некоторый положительный заряд с отрицательной эффективной массой. Таким образом, дырки инициируют и обеспечивают участие валентных электронов в процессе электропроводности.

Процесс перехода электронов в свободное  состояние сопровождается и обратным явлением, т.е. возвратом электронов в нормальное, невозбужденное состояние. В результате в веществе при любой температуре возникает динамическое равновесие.

С ростом t⁰ число свободных электронов в полупроводниках возрастает, а с падением t⁰ - уменьшается вплоть до нуля.

При 0⁰К различие между полупроводниками и диэлектриками исчезает. Ширина запрещенной зоны меняется с изменением температуры. Это происходит по двум причинам:

• из-за изменения амплитуды тепловых колебаний атомов решетки, поэтому DЭ уменьшается
• из-за изменения межатомных расстояний, т.е. объема тела, поэтому DЭ может как уменьшаться, так и увеличиваться.

У большинства полупроводников  с ростом t⁰ ширина разрешенной зоны увеличивается, запрещенной зоны - уменьшается

Можно считать DЭ=DЭ₀-b*T; b=(2¸6)*10^-4Эв/⁰К

При комнатной температуре (T=300⁰К) и нормальном атмосферном давлении ширина запрещенной зоны DЭ у германия составляет ~ 0.66 эВ, у Si=1.12 эВ, а арсенида галлия GaАs ~ 1.42 эВ. Отметим, что эти значения найдены для материалов с высокой степенью частоты. В сильно легированных материалах ширина запрещенной зоны немного меньше. Как показывают экспериментальные результаты, ширина запрещенной зоны большинства полупроводников уменьшается с ростом температуры. Температурные зависимости для Ge, Si и GaAs приведены на рис.29

При T=0⁰К в этих полупроводниках ширина запрещенной зоны равна соответственно 0.743 эВ (Ge); 1.17 эВ (Si) и 1.519 эВ (GaAs).

Зависимость DЭ=F(T⁰) в этих полупроводниках можно аппроксимировать универсальной функцией

Числовые значения параметров DЭ, a и b приведены на рис.29 Отметим, что для этих полупроводниковых материалов температурный коэффициент d(DЭ)/dT отрицателен. В некоторых полупроводниках однако, производная d(DЭ)/dT положительна. Например в PbS (приложение Д) ширина запрещенной зоны увеличивается от 0.286 эВ при Т=00К до 0.41 эВ, при Т=300⁰К.

При комнатной температуре  ширина DЭ увеличивается с ростом давления: в Ge d(DЭ)/dP=5*10^-6 эВ/(кг/см²), а в GaAs d(DЭ)/dP ~ 12.6*10^-6 эВ/(кг/см²).

В кремнии ширина DЭ с ростом давления уменьшается (d( )/dP=-2.4*10^-6 эВ/(кг/см²)).

Однако энергию, необходимую  для перевода электрона в свободное  состояние или для образования  дырки, может дать не только тепловое движение, но и другие источники  энергии: энергия света, поток заряженных частиц, энергия поля, механическая энергия и т.д.

Электрические свойства определяются условиями взаимодействия и расстояниями между атомами  вещества и не являются непременной  особенностью данного атома (углерод  в виде алмаза - диэлектрик, в виде графита - проводник).