Зависимость смертности населения в Российской Федерации от экономических, социальных и экологических показателей

Таблица 5. Общая дисперсия, описываемая компонентами

Видно, что уже две главные  компонент обеспечат сохранение 79,045% вариации, а три компоненты сохранят 89,326% вариации. Именно эти модели будут  рассмотрены далее.

 

 

Теперь построим линейный комбинации "старых зависимых переменных" с учетом введенных ограничений.

	Component	Component	Component
	1	2	3
x1	0,440659	0,106375	-0,287694
x2	0,426043	0,247145	-0,0474932
x3	-0,295752	0,219947	-0,398713
x4	-0,224834	-0,610958	0,152787
x5	0,456913	-0,134229	-0,177018
x6	0,430204	-0,188722	-0,0977092
x7	0,250783	0,126007	0,823434
x8	-0,171901	0,660641	0,117196

Таблица 6. Выбор количества главных компонент

Данная таблица показывает коэффициенты, с которыми старые переменные формируют  главные компоненты, т.е. первая главная  компонента будет иметь вид 

z₁=0,440659*x₁ + 0,426043*x₂ - 0,295752*x₃ - 0,224834*x₄ + 0,456913*x₅ + 0,430204*x₆ + 0,250783*x₇ - 0,171901*x₈.

В окончательном виде таблица главных  компонент будет иметь вид:

	Component	Component	Component
Row	1	2	3
1	-2,27679	3,68031	0,235946
2	-2,15417	2,33293	0,202989
3	-2,95473	1,11721	-1,10841
4	-2,28055	0,183871	-0,343526
5	-2,06561	-0,436449	-0,329988
6	-2,21887	-1,54003	-0,603141
7	-2,08166	-2,19915	-0,0664081
8	-1,33139	-1,85695	0,949743
9	-1,00175	-0,870688	0,555784
10	-0,235721	-0,874483	0,688922
11	-0,109292	-0,788906	-0,24333
12	0,50931	-0,505963	0,146915
13	0,811731	-0,318189	0,394975
14	1,65221	0,212098	1,37341
15	2,3519	0,500405	1,71137
16	2,55226	0,925675	0,758769
17	2,6691	0,335076	-0,114435
18	2,59222	-0,0171416	-0,863364
19	2,61816	-0,0369514	-1,53719
20	2,95364	0,157324	-1,80902

Таблица 7. Значения главных компонент

Матрица корреляций между главными компонентами будет иметь вид:

	z1	z2	z3
z1		0,0000	0,0000
z2	0,0000		0,0000
z3	0,0000	0,0000

Таблица 8. Матрица корреляций главных компонент

Она нулевая, это то к чему мы стремились, чтобы избавить от мультиколлинеарности.

 

Теперь построим графики  зависимостей переменной y_i на главные компоненты.

 

Рассмотрим первую модель построения зависимой переменной y_i на три главные компоненты.

Модель примет вид 

y_Centr = 1,41027 - 0,0856293*z₁ + 0,341784*z₂ + 0,189784*z₃ - 0,204268*z₁² - 0,312063*z₂²

Исследуем  модель с помощью  тестов Стьюдента и Фишера

		Standard	T
Parameter	Estimate	Error	Statistic	P-Value
CONSTANT	1,41027	0,29437	4,7908	0,0003
z1	-0,0856293	0,0711602	-1,20333	0,2488
z2	0,341784	0,12105	2,8235	0,0135
z3	0,189784	0,166255	1,14153	0,2728
z12	-0,204268	0,0591221	-3,45502	0,0039
z22	-0,312063	0,0535119	-5,83165	0,0000

Таблица 9. Тест Стьюдента

R²= 81,8321 percent

R² (adjusted for d.f.) = 75,3435 percent

Durbin-Watson statistic = 1,86267 (P=0,0450)

Lag 1 residual autocorrelation = 0,05658

Source	Sum of Squares	Df	Mean Square	F-Ratio	P-Value
z1	0,744386	1	0,744386	2,73	0,1207
z2	1,53538	1	1,53538	5,63	0,0325
z3	2,57073	1	2,57073	9,43	0,0083
z12	3,06995	1	3,06995	11,26	0,0047
z22	9,27207	1	9,27207	34,01	0,0000
Model	17,1925	5

Таблица 10. Тест Фишера

Видно, что как минимум две  переменные z₁, z₃ не проходят по тесту Стьюдента, а к тому же z₁ не удовлетворяет и F-тесту.

Рисунок 2. Окончательный вид модели 1 

Рассмотрим вторую модель построения зависимой переменной y_i на две главные компоненты.

Модель примет вид 

y_Centr = 1,54208 + 0,336911*z₂ - 0,250149*z₁² - 0,27555*z₂²

Исследуем  модель с помощью  тестов Стьюдента и Фишера

		Standard	T
Parameter	Estimate	Error	Statistic	P-Value
CONSTANT	1,54208	0,260865	5,9114	0,0000
z2	0,336911	0,116049	2,90317	0,0104
z12	-0,250149	0,0476532	-5,24936	0,0001
z22	-0,27555	0,0446356	-6,17333	0,0000

Таблица 11. Тест Стьюдента

R²= 78,8635 percent

R² (adjusted for d.f.) = 74,9004 percent

Durbin-Watson statistic = 1,6966 (P=0,0838)

Lag 1 residual autocorrelation = 0,103142

Source	Sum of Squares	Df	Mean Square	F-Ratio	P-Value
z2	1,53538	1	1,53538	5,53	0,0318
z12	4,45634	1	4,45634	16,06	0,0010
z22	10,5771	1	10,5771	38,11	0,0000
Model	16,5688	3

Таблица 12. Тест Фишера

Несомненно, что эта модель более "удачна", поскольку с одной  стороны все переменные проходят по всем тестам, с другой стороны  отличие коэффициента R² от R² скорректированного на степени свободы составляет всего 4%, напомним, что в изначальной модели это отличие было около 17%. Таким образом были выполнены обе задачи, поставленные после построения первой модели.(Соответствие тестам и уменьшение различия).

Рисунок 3. Окончательный вид модели 2

 

Автокорреляция.

 

Следующим шагом в курсовой работе будет проверка на автокорреляцию. Проверка автокорреляции первого порядка  будет осуществляться с помощью  критерия Дарбина-Уотсона.  Выдвигается гипотеза Н₀ об отсутствии автокорреляции остатков. Альтернативные гипотезы состоят, соответственно, в наличии положительной или отрицательной автокорреляции в остатках.  Значение критерия определяется следующим образом:

далее определяются критические значения критерия Дарбина–Уотсона  и  для заданного числа наблюдений n, числа независимых переменных модели k и уровня значимости α. По этим значениям числовой промежуток [0;4] разбивают на пять отрезков. Принятие или отклонение каждой из гипотез с вероятностью (1–α) рассматривается на рисунке.

Рисунок 4. Механизм проверки гипотезы о наличии автокорреляции остатков³

Применим критерий к нашей модели соответственно. Значение критерия Дарбина-Уотсона было получено выше и составляет 1,6966.

Теперь определим критические  значения критерия для количества наблюдений n=20, числа независимых переменных модели k=2, уровня значимости α=0.05. Из таблицы( см. Приложение 3) определяем d_L= 1,10; d_U=1,54.

Таким образом интервал принятия гипотезы Н₀=[1,10 ; 2,46]. Значение 1,6966 принадлежит заданному интервалу, следовательно нет оснований отклонять гипотезу Н₀ , что говорит о том, что автокорреляция остатков первого порядка отсутствует.

 

Кроме того можно использовать другой тест для проверки модели на автокорреляцию, например, тест Бреуша-Годфри

Тест основан на следующей идее: если имеется корреляция между соседними  наблюдениями, то естественно ожидать, что в уравнении

коэффициент p значимо отличается от нуля.

Однако и этот тест дает отрицательные  результаты при проверки на автокорреляцию первого порядка. Построенная модель ,описанная выше, будет иметь вид

 

 

e_t = 0,112439*e_t-1 ,

т.о. коэффициент p существенно не отличается от нуля (P-value=0,6489 при уровне значимости α=0.05). То есть, автокорреляция первого порядка отсутствует.

Однако проверка модели на автокорреляцию второго порядка дает положительный  результат, построенная модель имеет  вид 

e_t = 0,145051*e_t-1-0,525978e_t-2

коэффициент p₂ существенно отличается от нуля (P-value=0,333 при уровне значимости α=0,05).

Автокорреляция третьего порядка  не обнаружена:

e_t = 0,160952*e_t-1-0,443724*e_t-2-0,00115766* e_t-3

коэффициент p₂ существенно не  отличается от нуля (P-value=0,9956 при уровне значимости α=0.05).

Вычисленные показатели легко объясняются  с экономической точки зрения, поскольку меры предпринимаемые  правительством для решения демографической  проблемы, а точнее снижения смертности населения, не могут оказывать мгновенного  действия на ситуацию. Необходимо, чтобы прошло какое-то время. Автокорреляция второго порядка показывает, что это время составляет 2 года.

 

Исследование на гетероскедастичность.

 

Следующей проблемой, с которой предстоит столкнуться , является проверка построенной модели на гетероскедастичность. Напомним, что  гетероскедастичностью в эконометрике называют эффект, означающий неоднородность наблюдений и выражающийся в неодинаковой (непостоянной) дисперсии случайной ошибки регрессионной модели⁴.  
Для проверки используем несколько тестов, первым из которых будет тест Голдфелда-Квандта.

Алгоритм применения теста Голдфелда-Квандта следующий:

 

1. Выделяется фактор пропорциональности Z,. Данные упорядочиваются в порядке возрастания величины Z.