Теорема Пирсона. Вывод формулы для плотности распределения вероятности

Крымский экономический институт Киевского национального экономического университета имени Вадима Гетьмана

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Реферат

по предмету «Теория вероятностей и математическая статистика»

на тему:

«Теорема Пирсона.

Вывод формулы для плотности распределения вероятности

»

 

 

                

                                                                  

                                                  

Подготовила: студентка 1 курса Молинская Ольга Специальность: учет и аудит Проверил: Гапонов А.В.

 

 

 

 

Симферополь

2014

Оглавление

 

                      

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение

  С помощью нормального распределения определяются три распределения, которые в настоящее время часто используются при статистической обработке данных. Это распределения Пирсона («хи – квадрат»), Стьюдента и Фишера.

  Мы остановимся на распределении    («хи – квадрат»). Впервые это распределение было исследовано астрономом Ф.Хельмертом в 1876 году. В связи с гауссовской теорией ошибок он исследовал суммы квадратов n независимых стандартно нормально распределенных случайных величин. Позднее Карл Пирсон (Karl Pearson) дал имя данной функции распределения «хи – квадрат». И сейчас распределение носит его имя.

  Благодаря тесной связи с нормальным распределением, χ2 - распределение играет важную роль в теории вероятностей и математической статистике. χ2-распределение, и многие другие распределения, которые определяются посредством χ2 - распределения (например - распределение Стьюдента), описывают выборочные распределения различных функций от нормально распределенных результатов наблюдений и используются для построения доверительных интервалов и статистических критериев.

   Распределение Пирсона (хи - квадрат) – распределение случайной величины  где X1, X2,…, Xn - нормальные независимые случайные величины, причем математическое ожидание каждой из них равно нулю, а среднее квадратическое отклонение - единице.

  Сумма квадратов

распределена по закону («хи – квадрат») c k = n степенями свободы; если же эти величины связаны одним линейным соотношением, например ∑ Xi = nX , то число степеней свободы k = n – 1.

 

 

    Плотность этого распределения

 

 

  Отсюда очевидно, что распределение «хи квадрат» определяется одним параметром – числом степеней свободы k.

  C увеличением числа степеней свободы распределение медленно приближается к нормальному.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. Распределение  (хи-квадрат).

  Распределение  (хи-квадрат) с k степенями свободы — это распределение суммы квадратов k независимых стандартных нормальных случайных величин.

  Если каждая из Xi (I = 1, 2, 3, …, k) независимых случайных величин характеризуется нормальным законом распределения вероятностей (N(0;1)), тогда случайная величина будет иметь распределение со степенями свободы, плотность вероятностей которой будет

 

  Используя условие нормальности, находим 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 Тогда 

 

 

 

 

Следовательно,

 

 

 

 

 

Функция распределения вероятностей

 

 

 

 

 

 

 

 

2. Числовые характеристики.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример. Каждая из 10 независимых случайных величин хi имеет закон распределения N(0;1). Записать выражения для

и вычислить 

  Решение. Используя (3) – (4), получаем:

 

 Таким образом,

 

 

 

3. Связь с другими распределениями.

• Если независимые нормальные случайные величины, то есть: известно, то случайная величина имеет распределение .

• Если , то распределение хи-квадрат совпадает с экспоненциальным распределением:

                                        .

• Если и , то случайная величина  имеет распределение Фишера со степенями свободы .

 

 

Вывод

        Распределение  (хи-квадрат) с k степенями свободы — это распределение суммы квадратов k независимых стандартных нормальных случайных величин.

Параметр	k – параметр формы
Плотность (функция вероятности)
Математическое ожидание	K
Дисперсия	2 k
Среднее квадратическое отклонение

 

 C увеличением числа степеней свободы распределение медленно приближается к нормальному.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Список литературы

1. Гмурман В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика - М., Высш.шк., 2003.- 145-146 с.
2. Жлуктенко В.І., Наконечний С.І. Теорія ймовірностей і математична статистика: Навч.-метод. посібник. У 2 ч. – Ч. І. Теорія ймовірностей. – К.: КНЕУ, 2000. – 254-256 с.
3. Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебник для вузов. — 2-е изд., перераб. и доп.— М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2004. - 573 с.
4. http://ru.wikipedia.org/wiki/Распределение_хи-квадрат
5. http://dic.academic.ru/dic.nsf/ruwiki/1116994#

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ПРИЛОЖЕНИЕ 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ПРИЛОЖЕНИЕ 2

Плотность вероятности

 

Функция распределения