Статистики интегрального типа

Доказательство  теоремы 1. Согласно методу аппроксимации ступенчатыми функциями рассмотрим оператор А_Т. Как легко проверить, имеет место разложение

. (15)

Поскольку

|f(x) - A_Tf(x)| < д(f, X_i), x

С_i,

то первое слагаемое в  правой части (15) не превосходит

,  (16)

а второе не превосходит 

.

Согласно определению  оператора А_Т третье слагаемое в (15) имеет вид

.

Очевидно, оно не превосходит  по модулю

(здесь используется ограниченность f на X).

Согласно (16) первое слагаемое  в правой части (15) не превосходит 

.

Поскольку

,

то первое слагаемое в  правой части (15) не превосходит 

.

Из оценок, относящихся  к трем слагаемым в разложении (15), следует, что 

.  (17)

Используя оценку (17), докажем, что в_n → 0 при n → ∞. Пусть дано е > 0. Согласно условию интегрируемости функции f по Риману-Стилтьесу, т.е. условию (14), можно указать разбиение T = T(е) такое, что

,  (18)

и в точках y_i, i = 1, 2, …, m - 1 (см. (12)), функция F непрерывна.

Поскольку

F_n(X_i) = F_n(y_i) - F_n(y_i-1),

то из (10) следует, что существует число n = n(е) такое, что при n > n(е) справедливо неравенство

. (19)

Из (17), (18) и (19) следует, что  при n > n(е) справедливо неравенство

,

что и требовалось доказать.

Обсудим условие ограниченности f. Если оно не выполнено, то из (10) не всегда следует (11).

Пример 2. Пусть f(x) = 1/x при x > 0 и f(0)=0. Пусть F(0,5) = 0, т.е. предельное распределение сосредоточено на [1/2; 1]. Пусть распределение F_n на [0; Ѕ) имеет единственный атом в точке x = 1/n величиной n^-1/2, а на [1/2; 1] справедливо (10). Тогда по причинам, изложенным при доказательстве теоремы 1,

,

однако

,

т.е. соотношение (11) не выполнено.

Условие ограниченности подынтегральной  функции f можно заменить, как это сделано, например, в [28], на условие строгого возрастания функции распределения F.

Лемма. Пусть функции распределения F всюду строго возрастает, т.е. из x₁ < x₂ вытекает F(x₁) < F(x₂). Пусть функция f интегрируема по Риману-Стилтьесу по F, т.е. выполнено (14). Тогда функция f ограничена.

Доказательство. Рассмотрим точки 0 = y₀ < y₁ < y₂ <…< y_2m = 1 и два разбиения

.

Тогда для любых двух точек х и х′ можно указать конечную последовательность точек x₁ = x, x₂, x₃, …, x_s, x_s+1 = x′ такую, что любые две соседние точки x_i, x_i+1, i = 1, 2, …, s, одновременно принадлежат некоторому элементу C_i разбиения T₁ или разбиения T₂, причем С_i ≠ С_j при i ≠ j. Действительно, пусть . Пусть для определенности q > p. Тогда можно положить x₂ = y_p+1, x₃ = y_p+2, …, x_s = y_q. Поскольку среди элементов разбиений Т₁ и Т₂ есть С₁ = [y_p; y_p+2), то . Далее, , и т.д.

Из указанных выше свойств  последовательности x₁ = x, x₂, x₃, …, x_s, x_s+1 = x′ следует, что

.

Пусть теперь число max(y_i – y_i-2) настолько мало, что согласно (14)

.

Тогда согласно двум последним  соотношениям

,

что и доказывает лемму.

Доказательство  теоремы 2. Пусть условие (14) не выполнено, т.е. существуют число г > 0 и последовательность разбиений T_n, n = 1, 2, …, такие, что max(y_i – y_i-1) → 0 при n→∞ и при всех n

.  (20)

Для доказательства теоремы  построим две последовательности функций  распределения F_1n и F_2n, n = 1, 2, …, для которых выполнено (10), но последовательность

не стремится к 0 при n → ∞. Тогда (11) не выполнено хотя бы для одной из последовательностей F_1n и F_2n.

Для любого С – элемента некоторого разбиения Т – можно указать, как вытекает из определения д(f, C), точки x₁(C) и x₂(C) такие, что

f (x₁(C)) - f(x₂(C)) > Ѕ д(f, C).  (21)

Построим F_1n и F_2n следующим образом. Пусть F_1n(С) = F_2n(С) = F(С) для любого С из T_n. При этом F_1n имеет в С один атом в точке x₁(C) величиной F(С), а F_2n имеет в С также один атом в точке x₂(C) той же величины F(С). Другими словами, распределение F_1n в С сосредоточено в одной точке, а именно, в x₁(C), а распределение F_2n сосредоточено в x₂(C). Тогда

.  (22)

Из (20), (21) и (22) следует, что 

.

Остается показать, что  для последовательностей функций  распределения F_1n и F_2n выполнено (10). Пусть х – точка непрерывности F. Пусть

y₁(x, T) = max{y_kn: y_kn < x}, y₂(x, T) = min{ y_kn: y_kn > x},

где y_kn – точки, определяющие разбиения T_n согласно (12). В соответствии с определением F_in

F_in(y_j(x, T_n))= F(y_j(x, T_n)), i = 1, 2, j = 1, 2,

а потому

|F_in(x) – F(x)| < F(y₂(x, T_n)) - F(y₁(x, T_n)), i = 1, 2.

В силу условия max(y_kn – y_(k-1)n) → 0 и непрерывности F в точке x правая часть последнего соотношения стремится к 0 при n → ∞, что и заканчивает доказательство теоремы 2.

Теоремы 1 и 2 демонстрируют  основные идеи предельной теории статистик  интегрального типа и непараметрических  критериев в целом. Как показывают эти теоремы, основную роль в рассматриваемой  теории играет предельное соотношение (14). Отметим, что если д(f, T_n) → 0 при n → ∞, то (14) справедливо, но, вообще говоря, не наоборот. Естественно возникает еще ряд постановок. Пусть (14) выполнено для f₁ и f₂. При каких функциях h это соотношение выполнено для h(x, f₁(x), f₂(x))? В прикладной статистике вместо f(x) рассматривают f_б(x, щ) и f(x, щ), а вместо интегрирования по функциям распределения F_n(x) – интегрирование по случайным мерам F_б(щ). Как меняются формулировки в связи с такой заменой? В связи со слабой сходимостью (т.е. сходимостью по распределению) A_Tf_б к A_T и переходом от f_б(x, щ) к h_б(x, f_1б(x, щ), f_2б(x, щ)) возникает следующая постановка. Пусть к_б слабо сходится к к при б→∞. Когда распределения g_б(к_б) сближаются с распределениями g_б(к)? Полным ответом на последний вопрос являются необходимые и достаточные условия наследования сходимости. Они приведены в приложении 1.

 

Основные результаты

 

Наиболее общая теорема  типа теоремы 1 выглядит так [29].

Теорема 3. Пусть существует последовательность разбиений T_n, n = 1, 2, …, такая, что при n →∞ и б→∞

.  (23)

Пусть для любого С, входящего хотя бы в одно из разбиений T_n,

F_б(C, щ) → F(C)  (24)

при б→∞ (сходимость по вероятности). Пусть f_б асимптотически ограничены по вероятности при б→∞. Тогда

  (25)

при б→∞ (сходимость по вероятности).

Как известно, полное сепарабельное  метрическое пространство называется польским. Это понятие понадобится  для формулировки аналога теоремы 2.

Теорема 4. Пусть Х – польское пространство, У конечномерно, существует измельчающаяся последовательность T_n разбиений, для которой соотношение (23) не выполнено. Тогда существует удовлетворяющая (24) последовательность F_б, для которой соотношение (25) неверно, хотя F_б слабо сходится к F при б→∞.

Условие (23) естественно назвать  условием римановости, поскольку в случае, рассмотренном в теореме 1, оно является условием интегрируемости по Риману-Стилтьесу. Рассмотрим наследуемость римановости при переходе от f_1б(x, щ) со значениями в У₁ и f_2б(x, щ) со значениями в У₂, удовлетворяющих (23), к h_б(x, f_1б(x, щ), f_2б(x, щ)) со значениями в У₃.

Положим

,

где ||∙||_k – норма (т.е. длина вектора) в пространстве Y_k, k = 1, 2. Рассмотрим также множества

и функции

.

Наконец, понадобится измеритель колеблемости

и множество

.

Теорема 5. Пусть функции h_б асимптотически (при б→∞) ограничены на множестве Z(a) при любом положительном a. Пусть функции f_1б и f_2б асимптотически ограничены по вероятности и удовлетворяют условию (23). Пусть для участвующей в (23) последовательности T_n

c(h_б, T_n, a, е) → 0  (26)

при б→∞, n→∞, е→ 0 и любом положительном a. Тогда функции f_3б(x, щ) = h_б(x, f_1б(x, щ), f_2б(x, щ)) удовлетворяют условию (23) и асимптотически ограничены по вероятности.

Теорема 6. Пусть условие (26) не выполнено для h_б. Тогда существуют детерминированные ограниченные функции f_1б и f_2б такие, что соотношение (23) выполнено для f_1б и f_2б и не выполнено для f_3б.

Пример 3. Пусть X = [0; 1]^k, пространства Y₁ и Y₂ конечномерны, функция h_б ≡ h(x, y₁, y₂) непрерывна. Тогда условие (26) выполнено.

С помощью теорем 3 и 5 и  результатов о наследовании сходимости можно изучить асимптотическое  поведение статистик интегрального  типа

со значениями в банаховом пространстве У.

Теорема 7. Пусть для некоторой последовательности T_n разбиений Х справедливы соотношения (23) для f_1б и f_2б и (24) для F_б. Пусть последовательность функций h_б удовлетворяет условию в теореме 5, конечномерные распределения (f_1б(x, щ), f_2б(x, щ)) слабо сходятся к конечномерным распределениям (f₁(x, щ), f₂(x, щ)), причем для f₁ и f₂ справедливо соотношение (23). Тогда

,

где L – расстояние Прохорова (см. раздел П-3 приложения 1),

.

Теорема 7 дает общий метод  получения асимптотических распределений  статистик интегрального типа. Важно, что соотношение (23) выполнено для  эмпирического процесса и для  процессов, связанных с оцениванием  параметров при проверке согласия [28].

Один из выводов общей  теории состоит в том, что в  качестве F_б можно использовать практически любую состоятельную оценку истинной функции распределения. Этот вывод использовался при построении критерия типа омега-квадрат для проверки симметрии распределения относительно 0 и обнаружения различий в связанных выборках (см. ниже).

Асимптотическое поведение  критериев типа Колмогорова может  быть получено с помощью описанного выше метода аппроксимации ступенчатыми функциями. Этот метод не требует  обращения к теории сходимости вероятностных  мер в функциональных пространствах. Для критериев Колмогорова и  Смирнова достаточно использовать лишь свойства эмпирического процесса и  броуновского моста. В случае проверки согласия добавляется необходимость  изучения еще одного  случайного процесса. Он является разностью между  двумя функциями распределения. Одна - функция распределения элементов  выборки. Вторая - случайный элемент  параметрического семейства распределений, полученный путем подстановки оценок параметров вместо их истинных значений.

 

Статистика интегрального  типа для проверки симметрии распределения

 

 В прикладной статистике часто возникает необходимость проверки гипотезы о симметрии распределения относительно 0. Так, при проверке однородности связанных выборок необходимость проверки этой гипотезы основана на следующем факте [6]. Если случайные величины Х и Y независимы и одинаково распределены, то для функции распределения H(x)=P(Z<x) случайной величины Z = X – Y выполнено, как нетрудно видеть, соотношение

H(-x)=1 - H(x).

Это соотношение означает симметрию функции распределения  относительно 0. Плотность такой  функции распределения является четной функцией, ее значения в точках х и (-х) совпадают. Проверка гипотезы однородности связанных выборок в наиболее общем случае сводится к проверке симметрии функции распределения разности Z = X – Y относительно 0.

Рассмотрим методы проверки этой гипотезы. Сначала обсудим, какого типа отклонения от гипотезы симметрии  можно ожидать при альтернативных гипотезах?

Рассмотрим сначала альтернативу сдвига

В этом случае распределение Z при альтернативе отличается сдвигом от симметричного относительно 0. Для проверки гипотезы однородности может быть использован критерий знаковых рангов, разработанный Вилкоксоном (см., например, справочник [34, с.46-53]).

Альтернативная гипотеза общего вида записывается как