Статистичні методи виявлення наявності кореляційних зв’язків

Об'єктом кореляційного аналізу можуть бути не тільки статистичні (просторові) сукупності, а й сукупності, які характеризують зміну явищ у часі, тобто динамічні. Розроблена методологія кореляції для аналізу явищ у просторі не прийнятна для динамічних сукупностей. Тому при використанні кореляційного методу необхідно знати особливості та межі його використання. Насамперед це стосується перевірки передбачень та інтерпретації результатів аналізу рядів динаміки. Як кореляційна модель, так і її статистичні характеристики мають конкретний економічний зміст і висвітлюють економічне явище з певного боку. Оскільки зміст статистичних показників залежить від дотримання вимог щодо їх обчислення, то дослідник повинний вміти користуватися методологією аналізу і пояснювати одержані результати. Особливо це стосується досліджень кореляції між рядами динаміки.

Під кореляцією рядів динаміки розуміють метод вивчення зв'язку між показниками, представленими їх значеннями в послідовні моменти або періоди часу. Кореляція рядів динаміки має свої особливості, які зумовлені тим, що ряд динаміки, по-перше, має короткочасні коливання (місячні, квартальні, річні) і, по-друге, містить у собі такий компонент, як загальна тенденція в зміні показників ряду - "вісь кривої", або тренд. Під останнім розуміють зміну, яка визначає загальний напрям розвитку, основну тенденцію рядів динаміки. Лінію тренда можна порівняти з лінією регресії. Якщо остання являє собою плавну зміну результативної ознаки під впливом факторної, звільненої від дії всіх сторонніх (неврахованих) причин, то лінія тренда характеризує плавну у часі зміну явищ, викликаних різними обставинами короткочасних відхилень від загальної тенденції.

Наявність тренда ускладнює кореляційний аналіз рядів динаміки. Так, якщо ми, тобто значення результативної ознаки на 100% залежить від факторної. Наприклад, тарифний денний заробіток (Y) при фіксованій годинній тарифній ставці залежить від кількості відпрацьованих годин (Х) або   , де W- продуктивність праці; Q- оборот(виручка) фірми, Т- затрати праці.

При стохастичному  зв’язку одному значенню факторної ознаки (Х) може відповідати декілька значень результативної ознаки (Y). Важливою особливістю цих зв’язків є те, що вони мають риси статистичної закономірності та проявляються у масі спостережень, при достатньо великій чисельності сукупності. Названі зв’язки є неповними, тому що завжди існують невраховані фактори,  отже значення Y залежить від значень Х менше, ніж на 100%.  Автокореляція – це залежність наступних рівнів динамічного ряду від попередніх. Наявність автокореляції порушує одну з  передумов регресійного аналізу – незалежність спостережень і приводить до викривлення його результатів.

З метою виявлення присутності чи відсутності автокореляції визначаємо значення коефіцієнтів автокореляції в рядах х та у та порівняємо їх з критичними значеннями.

Коефіцієнт автокореляції обчислюємо за формулою:

 

для ряду х:

 

Для ряду у:

Значення    та   обраховують шляхом екстраполяції:

;

,

де , - середні абсолютні прирости:

 

Існує декілька методів усунення автокореляції. Одним з таких методів є метод введення змінної величини в рівняння регресії, де вона виконує роль фактора часу. В цьому випадку рівняння регресії матиме вигляд:

,

де     - параметр, який характеризує середній приріст результативної ознаки на одиницю приросту факторної ознаки ;

       - середній щорічний приріст    під впливом зміни комплексу факторів, крім .

Для визначення цих параметрів складають систему нормальних рівнянь, яку розв’язують методом підстановок або Крамера.

 Розв’язок системи  спрощується, якщо відлік часу  беруть з середини динамічного  ряду, тоді  .

Якщо в такий спосіб автокореляцію усунуто, то залишкові величини повинні бути між собою незалежними:

Цю гіпотезу перевіряють за допомогою коефіцієнта автокореляції залишкових величин, який обчислюють з певним часовим зсувом (лагом). При р=1 коефіцієнт автокореляції обчислюють за формулою:

Коефіцієнт приймає значення в межах від -1 до1.

Фактичне значення коефіцієнта автокореляції порівнюємо  з критичним, яке  беруть в таблицях математичної статистики. Якщо критичне значення автокореляції більше за фактичне, то це дає підстави стверджувати , що автокореляція залишкових величин неістотна. Отже автокореляція в рядах х,  цим способом усунуто і побудовану кореляційну модель можна вважати адекватною.

Дослідимо кореляцію між матеріалоємністю продукції (р.230ф.2/р.10ф.2) (х) та рентабельністю продукції (р.050(055)ф.2/р.040ф.2).

Таблиця 4.1 Матеріалоємність продукції  (Х)

Роки	Формула	Значення
2007	(р.230ф.2/р.10ф.2)	5952/10151=0,586
2008		5131/9802=0,523
2009		5081/9304=0,546
2010		10527/15955=0,660
2011		16613/25689=0,647

 

           

Визначимо рентабельність продукції (р.050(055)ф.2/р.040ф.2):

 

Таблиця 4.2 Рентабельність продукції (У)

Роки	Формула	Значення
2007	(р.050(055)ф.2/р.040ф.2)	29/8494=0,0034
2008		172/7710=0,0223
2009		901/6852=0,1315
2010		75/13353=0,0056
2011		1670/19649=0,0850

Дані для розрахунку коефіцієнтів автокореляції ряду х,у заносимо в таблицю 4.3.

Таблиця 4.3 Дані для розрахунку коефіцієнтів автокореляції ряду х,у

№
1	0,5863	0,5235	0,3069	0,3438	0,2740	0,0034	0,0223	0,0001	0,0000	0,0005
2	0,5235	0,5461	0,2859	0,2740	0,2982	0,0223	0,1315	0,0029	0,0005	0,0173
3	0,5461	0,6598	0,3603	0,2982	0,4353	0,1315	0,0056	0,0007	0,0173	0,0000
4	0,6598	0,6467	0,4267	0,4353	0,4182	0,0056	0,0850	0,0005	0,0000	0,0072
5	0,6467	0,6618	0,4280	0,4182	0,4380	0,0850	0,1054	0,0090	0,0072	0,0111
Разом	2,9624	3,0378	1,8078	1,7696	1,8638	0,2478	0,3498	0,0132	0,0251	0,0361

 

Отже автокореляція присутня у ряді х, так, як розрахунковий коефіцієнт кореляції більше табличного значення 0,253 для додатних та 0,753 для від’ємних значень.

Усуваємо автокореляцію шляхом введення додаткової змінної t в рівняння регресії, яке в цьому випадку буде мати вигляд

Y=a0+a1x+a2t

Параметри рівняння регресії за методом найменших квадратів знаходять із системи рівнянь:

a0n + a1

Розв’язуємо цю систему рівнянь спрощеним методом , коли відлік часу береться з середини ряду і тоді система рівнянь матиме вигляд:

a0n +

Необхідні обчислення наведено в таблиці 4.4

t	x	y	t2	x2	yt	xt	xy
-2	0,586	0,003	4,000	0,344	-0,007	-1,173	0,002
-1	0,523	0,022	1,000	0,274	-0,022	-0,523	0,012
0	0,546	0,131	0,000	0,298	0,000	0,000	0,072
1	0,660	0,006	1,000	0,435	0,006	0,660	0,004
2	0,647	0,085	4,000	0,418	0,170	1,293	0,055
Разом	2,962	0,248	10,000	1,770	0,146	0,257	0,144

 

Розв’яжемо дану систему лінійних алгебраїчних рівнянь за допомогою методу Крамера одержимо:

Отже а0=0,54, а1=-0,82, а2=0,04

Рівняння регресії матиме вигляд: Y=0,54-0,82 x+0,04t

Якщо в такий спосіб автокореляцію усунуто, то залишкові величини повинні бути між собою незалежними:

                      

                               

Цю гіпотезу перевіряють за допомогою коефіцієнта автокореляції залишкових величин, який обчислюють з певним часовим зсувом (лагом). При р=1 коефіцієнт автокореляції обчислюють за формулою:

                   

                              

 

Дані для розрахунку коефіцієнта автокореляції залишкових величин подамо у вигляді таблиці 4.5

Таблиця 4.4– Розрахунок коефіцієнта автокореляції залишкових величин

t	у	х	Y(t)	εt	εt+1	εt εt+1	εt2
-2	0,003	0,586	-0,017015169	0,020	-0,048	-0,000986471	0,000
-1	0,022	0,523	0,070595634	-0,048	0,044	-0,002111752	0,002
0	0,131	0,546	0,087761058	0,044	-0,024	-0,001063742	0,002
1	0,006	0,660	0,02994005	-0,024	0,008	-0,000205472	0,001
2	0,085	0,647	0,076544064	0,008	0,005	4,60567E-05	0,000
Разом				0		-0,00432138	0,005

. Отже автокореляцію  було усунено.

 

ВИСНОВКИ

Аналіз фінансового стану ВАТ "Запорізького заводу  гумово-технічних виробів", виявив що зарплату 51 працівника заводу можна поділити на п’ять груп з рівними інтервалами, середня зарплату при цьому по заводі становитиме 3057,45 грн. Найбільш поширеним рівнем заробітної плати на заводі є 3850,00 грн. Половина робітників отримають зарплату до 3035,33 грн. Різниця між максимальною та мінімальною зарплатою становить 4700 грн. Середнє лінійне відхилення від середньої зарплати становить 769,06 грн., а середньо квадратичне відхилення становить 918,99 грн.