Статистичні методи виявлення наявності кореляційних зв’язків

Рисунок 1.1 – Гістограма, для визначення моди

Для визначення медіани будуємо кумуляту інтервального ряду (рисунок 1.2)

Рисунок 1.2 – Кумулята інтервального варіаційного ряду

Обчислюємо показники ступеня варіації:

- розмах варіації:    R = Xmax  - Xmin = 6200 – 1500 = 4700 грн.,

де Хmax – максимальне значення ознаки;

     Хmin  – мінімальне значення ознаки;

- середнє лінійне відхилення: грн.

- дисперсію: ;

- середнє квадратичне  відхилення: грн.;

- коефіцієнт осциляції: ;

- лінійний коефіцієнт  варіації: ;

- квадратичний коефіцієнт  варіації:

Дані для визначення характеристик форми розподілу: стандартизованого відхилення, асиметрії та ексцесу подамо у вигляді таблиці 1.3.

Таблиця 1.3 Дані для розрахунку характеристик форми розподілу

Межі інтервалу	Середина інтервалу (варіант) xі	Чисельність працівників (частота) fі
1500 – 2440	1970	16	-20575436155	22374778218579,6
2440 – 3380	2910	15	-48087727,34	7090582541,8
3380 – 4320	3850	17	8463058066	6707388372991,2
4320 – 5260	4790	2	10401275242	18020719223008,5
5260 – 6200	5730	1	19088730179	51015567125958,3
Сума		51	17329539604,8	98125543523079,4

Стандартизований момент третього порядку визначимо за формулою:

,

де  - центральний момент третього порядку, який визначається за формулою:

;   

,

Отже, ми маємо середню правосторонню асиметрію.

Встановимо істотність асиметрії. Для цього визначимо середню квадратичну похибку асиметрії:

Критерій істотності асиметрії:

Отже асиметрія  не значна.

Стандартизований момент четвертого порядку визначаємо за формулою:

,

де ;  

Отже, розподіл є плосковершинним.

Встановлюємо істотність ексцесу. Для цього визначимо середню квадратичну похибку ексцесу:

Критерій істотності ексцесу:

, таким чином ексцес  не є властивим для даної генеральної сукупності.

Перевіримо гіпотезу про відповідність емпіричного розподілу нормальному розподілу, за допомогою інтегральної функції Лапласа. Дані для розрахунку та встановлення відповідності емпіричного ряду розподілу нормальному подамо у вигляді таблиць 1.4.

Визначаємо теоретичні частоти за формулою:

f‘ = n [ F(xi) - F(xi-1) ] , де

n = Σf – обсяг сукупності;

 – інтегральна функція  нормального розподілу Лапласа, яка табульована. Функція F(t) ґрунтується  на стандартизованих відхиленнях.

, де  – верхня межа інтервалу групування. Слід зазначити, що при від’ємних значеннях t, функція становить: F (-t) = [ 1 – F(t) ]. 
Таблиця 1.4. Побудова теоретичного розподілу з використанням інтегральної функції , де Х1 – верхня межа інтервалу

 

Групи за рівнем заробіттньої плати	fі				-
1500 – 2440	16	-617,4509804	-0,67	0,251	0,251	13
2440 – 3380	15	322,5490196	0,35	0,637	0,386	19
3380 – 4320	17	1262,54902	1,37	0,915	0,278	14
4320 – 5260	2	2202,54902	2,40	0,992	0,077	4
5260 – 6200	1	3142,54902	3,42	0,999	0,007	1
Разом	51	Х	Х	Х	1	51

Для об’єктивної оцінки істотності відхилень (f - f‘) використовуємо критерій узгодження Пірсона

Для оцінки істотності відхилення між теоретичними та емпіричними частотами використати критерій узгодженості Пірсона. Дані для розрахунку критерію узгодженості Пірсона подамо у вигляді таблиці 1.5.

Таблиця 1.5 - Розрахунок значення критерія узгодженості Пірсона для інтегральної функції Лапласа

f
16	13	3	9	0,6923
15	19	-4	16	0,8421
17	14	3	9	0,6429
2	4	-2	4	1,0000
1	1	0	0	0,0000
Разом	51	0	38	3,1773

 

Фактичне значення χ2 порівнюємо з критичним для ймовірності 1 – α = 1 – 0,05 = 0,95 і числа ступенів вільності k = m – r – 1 = 5 – 2 – 1 = 2, де m – число груп; r = 2 – число параметрів функції. Критичне значення χ20,95(2) = 6,0; χ2 = 3,2 Отже, оскільки розрахункове значення χ2 менше критичного, з ймовірністю 95% можна стверджувати, що розподіл працівників за розміром зарплати відповідає нормальному закону розподілу.

Побудуємо графік теоретичних та емпіричних частот (рисунок 1.3).

Рисунок 1.3 – Графік теоретичних та емпіричних частот інтегральної функції

 

         Висновки:

Таким чином провівши аналіз розподілу працівників заводу гумово-технічних виробів за заробітною платою, нами встановлено.

1. Зарплату 51працівників заводу нами поділено на п’ять груп з рівними інтервалами, середня зарплату при цьому по заводі становитиме 3057,45 грн.
2. Найбільш поширеним рівнем заробітної плати на заводі є 3850,00 грн.
3. Половина робітників отримають зарплату до 3035,33 грн.
4. Різниця між максимальною та мінімальною зарплатою становить 4700 грн.
5. Середнє лінійне відхилення від середньої зарплати становить 769,06 грн., а середньо квадратичне відхилення становить 918,99 грн.
6. Розподіл робітників за зарплатою відповідає нормальному закону розподілу згідно з інтегральною функцію Лапласа, як критерій узгодженості ми використовували критерій Пірсона, при цьому розходження між теоретичними та емпіричними частотами випадкове.
7. Середня правостороння асиметрія виявилась неістотною, а ексцес для цього розподілу не властивий.

 

РОЗДІЛ 2 АНАЛІТИЧНІ ПОКАЗНИКИ ТА СЕРЕДНІ

ХАРАКТЕРИСТИКИ РЯДІВ ДИНАМІКИ. ТРЕНДОВІ МОДЕЛІ.

 

Розрахунок характеристики динаміки ґрунтується на зіставлені рівнів ряду. Базою для зіставлення може бути попередній рівень, або початковий . У першому випадку база порівняння змінна, в другому – постійна. Характеристики динаміки, обчислені зіставленням суміжних рівнів, називають ланцюговими, а з постійною базою порівняння – базисними.

Залежно від статистичної природи показника (рівня) розрізняють динамічні ряди первинні та похідні, ряди абсолютних, середніх і відносних величин.

За ознакою часу ряди динаміки поділяють на такі:

• моментні — рівень фіксує стан явища на певний момент часу (t);
• інтервальні — рівень є агрегованим результатом процесу й залежить від тривалості часового інтервалу.

За повнотою часу, який відображається в рядах динаміки, розрізняють повні та неповні ряди. У повних рядах дати або періоди фіксуються один за одним з рівними інтервалами. У неповних рядах у послідовності часу рівний інтервал відсутній.

Методи обчислення середніх рівнів динамічних рядів залежать від їхнього виду.

Середній рівень інтервального ряду динаміки обчислюють за середньою арифметичною простою:

,

де n — кількість рівнів ряду.

Середній рівень повного моментного ряду обчислюють за середньою хронологічною моментного динамічного ряду:

.

Середній рівень неповного моментного ряду визначають за формулою

.

Для опису рядів динаміки використовують систему взаємозв’язаних характеристик: абсолютний приріст, темп зростання, темп приросту й абсолютне значення одного процента приросту. Обчислення характеристик ґрунтується на порівнянні рівнів ряду.

Залежно від бази порівняння кожну з наведених характеристик поділяють на базисну та ланцюгову. Середню динаміку ряду за весь період часу описують середніми цих характеристик.

При порівнянні якогось певного рівня з попереднім (база порівняння змінна) отримані показники називають ланцюговими.

Якщо всі рівні ряду динаміки порівнюють з одним і тим самим рівнем (база порівняння стала), то здобуті показники називають базисними.

Сума послідовних ланцюгових абсолютних приростів дорівнює базисному за весь період, тобто кінцевому базисному приросту:

Δt = yn – y0.

Абсолютний приріст (Δt) характеризує збільшення (зменшення) рівня ряду за певний період в абсолютному вираженні.

Ланцюговий приріст

,

де yt — рівень щодо конкретного моменту або інтервалу часу t; — рівень щодо попереднього моменту або інтервалу часу.

Базисний приріст

,

де y0 — базисний рівень.

Середній абсолютний приріст (абсолютна швидкість динаміки) обчислюють діленням загального приросту за весь період на величину цього періоду у відповідних одиницях часу (рік, квартал, місяць тощо):

,

де n — кількість ланцюгових абсолютних приростів; yn — кінцевий рівень ряду.

Коефіцієнт зростання (Kt) показує, у скільки разів рівень yt більший (менший) від рівня, узятого за базу порівняння (становить кратне відношення рівнів):

базисний

;

ланцюговий

.

Якщо коефіцієнт зростання виражається у процентах, його називають темпом зростання (Tt) і обчислюють за такою формулою:

Tt = Kt ∙ 100 %.

Темп приросту (Tпрt) — це відношення абсолютного приросту до початкового або попереднього (базисного), виражене у процентах:

базисний

;

ланцюговий

.

Темп приросту можна обчислити відніманням 100 % від відповідного темпу зростання:

Tпрt = Tt – 100 %.

Середній темп зростання — це темп, під час обчислення якого враховують правило складних процентів, за якими змінюється відносна швидкість динаміки (нагромаджується приріст на приріст). Середній темп зростання розраховують за формулою