Статистические методы в исследовании показателей в образовательном учреждении

Для того чтобы дать обобщающую характеристику распределению отклонений, исчисляют среднее линейное отклонение (d), которое учитывает различие всех единиц изучаемой совокупности. Среднее линейное отклонение определяется как средняя арифметическая из отклонений индивидуальных значений от средней, без учета знака этих отклонений:

                                   (2.4)

4. Показатели вариации

Основными обобщающими показателями вариации в статистике являются дисперсии и среднее  квадратическое отклонение.

Дисперсия – это средняя арифметическая квадратов отклонений каждого значения признака от общей средней. Дисперсия обычно называется средним квадратом отклонений и обозначается S 2 :

                                       (2.5)

Для определения критичности ситуации используется такой статистический оператор, как коэффициент вариации:

                     (2.6)

Коэффициент вариации является наиболее распространенным индикатором колеблемости, используемым для оценки типичности средних величин. При этом исходят из того, что если V больше 40 %, то это говорит о чрезмерно большой колеблемости признака в изучаемой совокупности. Рассчитав упомянутые нами статистические операторы, мы получим следующую таблицу данных.

Таблица 6 Таблица колебмлемости признака

Наименование статистического показателя	Величина статистического показателя
	9-1	9-2	9-3
Среднее арифметическое	4,0	4,0	4,0
Среднее линейное отклонение (d)	0,0	0,5	133
Дисперсия (S2)	0,0	0,6	1,8
Среднее квадратическое отклонение (S)	0,0	0,75	1,35
Коэффициент вариации	0,0%	18,8%	33,8%

 

Анализируя с помощью статистических показателей ситуацию в классах, взятых для примера, мы  видим, что при одинаковом среднем балле успеваемости, они весьма сильно различаются по разбросу величин статистических операторов, что обуславливается различиями в оценках конкретных учащихся.

В 9-1 все значения статистических операторов, характеризующих разброс величины полученных оценок от среднего балла, равны 0. Это означает, что все учащиеся класса показали на экзамене абсолютно одинаковую успеваемость. Даже теоретически такое трудно допустить. Скорее всего, это свидетельствует о необъективности оценок, выставленных экзаменаторами. В 9-2 классе коэффициент вариации и другие статистические операторы больше 0, но значения их невелики и скорее всего отражают реально сложившееся положение с успеваемостью.

В 9-3 классе коэффициент вариации приближается к критической величине. Высокие значения имеют и другие статистические показатели. Это говорит о крайней неравномерности полученных оценок учащимися и, как следствие, о просчетах самого учителя, преподавшего математику в этом классе. По-видимому, процесс обучения был пущен на самотек, части детей не уделялось должного внимания и, как следствие, они не получили необходимых знаний. За высоким средним баллом класса скрывалось резкое разделение учащихся на, условно говоря, «математическую элиту» и элементарно «запущенных» детей.

2.5 Корреляционно-регрессивный  анализ

Это, пожалуй, наиболее часто встречающиеся задачи в исследовательской и практической деятельности: сравниваются между собой несколько выборок, чтобы установить, являются ли выборки независимыми или принадлежат одной и той же совокупности. Так, проведя эксперименты в разных классах, сравниваем эти выборки между собой.

К этому же типу относятся задачи с определением тесноты связи двух рядов показателей, полученных на одной и той же выборке; в такой обработке чаще всего применяют метод корреляций.[23]

Все современные тесты построены на основе статистической теории измерений, а в основе определения тестов как стандартизированного инструмента лежит идея эталона оценки [9].

В учебно-методической литературе появилось большое количество разнообразных тестов, причем не всегда хорошего качества. Как правило, это является результатом некачественной обработки тестовых заданий. Поэтому в такой ситуации для создателей теста (тестовых заданий) необходимо владеть методами статистической обработки для оценки качества тестовых заданий. Методы оценки основных характеристик теста состоят из двух частей:

• Вычисление некоторой величины или характеристики;
• Интерпретация полученного результата, в соответствии с нормой. Норма определяется согласно специфике теста.

Как правило, прежде чем применять методы статистической обработки к тестовым заданиям, сначала используют описательную статистику, которая заключается в вычислении статистических показателей. Рассмотрим их.

Первый из них - среднее отклонение достижений испытуемых. Далее рассчитываем три взаимосвязанных показателя:

- сумма квадратов отклонений  от

средней арифметической оценки.

- дисперсия.

- стандартное отклонение  по тесту.

По величине можно судить о доверительном интервале достижений испытуемых. В окрестности находится большинство достижений группы. Дисперсия тестовых результатов показывает интервал (меру разброса), в котором находятся все полученные баллы испытуемых, включая стандартное отклонение по тесту и ошибку измерения. По величине стандартного отклонения можно судить о статистическом характере распределения результатов [23]. Если средний тестовый балл равен , а , то в интервале находятся баллы, набранные большинством тестируемых.

Рассмотрим некоторые классические методы оценки основных характеристик теста (валидность, надежность, дискриминативность).

Напомним, что валидность в теории тестирования означает соответствие формы и содержания теста тому, что он должен оценивать или измерять по замыслу его создателей [9]. Из анализа литературы [8] мы выделили два метода оценки валидности. Рассмотрим их.

Метод 1. Вычисляется коэффициент корреляции каждого тестового задания с суммой индивидуальных тестовых баллов испытуемых, который показывает, насколько Валино данное задание отличает слабых от сильных. А. Коэффициент корреляции рассчитывается по формуле [17]:

,                  (2.7)\

де - средний арифметический балл испытуемых, успешно выполнивших -е задание теста, - средний арифметический балл испытуемых, не справившихся с -м заданием, - стандартное отклонение по -му заданию, - стандартное отклонение по всему тесту.

В. Значение коэффициента корреляции интерпретируется следующим образом:

0,7 – 1 – связь очень  сильная;

0,5 – 0,7 – средняя;

0,3 – 0,5 – слабая.

Метод 2. Также как и в предыдущем методе вычисляется коэффициент корреляции, который показывает силу (интенсивность) линейной связи заданий между собой.

А. Коэффициент корреляции вычисляется по формуле Пирсона [8]:

,                                        (2.8)

где и - сумма квадратов отклонений по заданиям и , и - количество правильных ответов на то и другое задание соответственно;

- сумма попарных произведений  тестовых баллов, полученных по каждому из заданий.

 В случае положительной  корреляции, можно говорить о  линейной зависимости между заданиями (чем больше учащихся решат  задание j, тем больше решат и задание k). Если коэффициент корреляции высокий, то задания взаимозаменяемы. Отрицательная корреляция свидетельствует об обратной линейной связи. В случае нулевой корреляции такого рода зависимость отсутствует [8].

Вывод: оба метода заключаются в вычислении коэффициента корреляции. Первый метод вычисляет коэффициент корреляции каждого тестового задания с суммой индивидуальных тестовых баллов испытуемых, второй – корреляцию между заданиями.

Как уже говорилось выше, надежность теста характеризует степень устойчивости результатов тестирования каждого испытуемого.Методы оценки надежности заключаются в вычислении коэффициента надежности разными способами.

Метод 1 – метод половинного деления. Тест делится на две равные части и подсчитывается сумма баллов, набранных испытуемыми по каждой из половин. Полученные величины коррелируются между собой по формуле Пирсона [9]. Полученный коэффициент показывает надежность теста при коррелировании его половин, он говорит о внутренней состоятельности теста.

А. Коэффициент надежности теста вычисляется по формуле Спирмана-Брауна [21]:

 (2.9)

 

где - коэффициент надежности теста по двум половинам.

 Значение коэффициента  надежности в этом методе интерпретируется  следующим образом: если коэффициент  надежности принимает значение от 0,8 до 1, то надежность хорошая, от 0,5 до 0,8 – удовлетворительная и менее 0,5 – неудовлетворительная.

2-й метод – метод  подсчета средней корреляции  заданий теста.

 Надежность этим методом  вычисляется по формуле [8]:

, (2.9)

где - средняя корреляция, - сумма средних значений в корреляционной таблице [21, стр.13, табл.2], - общее число заданий.

В. Результаты вычисления в этом методе интерпретируются также как и в предыдущем.

3-й метод.

А. Коэффициент надежности вычисляется по формуле Кюдера-Ричардсона [20]:

, (2.10)

где - число заданий в тесте, - сумма дисперсий заданий теста, - дисперсия.

В. Результаты интерпретируются аналогично предыдущим методам.

4-й метод - метод оценки  высоких и низких достижений  группы. Для расчета коэффициента надежности используется разбиение тестируемых на две группы. При достаточно большом количестве испытуемых каждая из этих групп составляет примерно 0,27 от общего количества.

А. Коэффициент надежности рассчитывается по формуле:

, (2.11)

где и - средние достижения групп с наиболее высокими и наиболее низкими результатами соответственно (группа испытуемых делится на две равные части) [21].

В. Результаты интерпретируются аналогично предыдущим методам.

Вывод: мы рассмотрели четыре метода нахождения надежности. В трех методах используют корреляционную связь, в одном учитывают достижения группы. Заметим, что коэффициенты надежности найденные разными методами отличаются. Приведем пример таблицы значений коэффициента надежности, полученный разными способами, который рассчитывался по результатам теста.

Таблица7 - Значения коэффициента надежности, рассчитанного разными способами

Метод половинного деления	Метод подсчета средней корреляции	Формула Кюдера-Ричардсона	Метод оценки достижений группы
0,864	0,773	0,784	0,508
Очень хорошая	удовлетворительная	удовлетворительная	неудовлетворительная

Из таблицы можно сделать вывод о значительной доле субъективной составляющей в методе оценки достижений группы, то есть коэффициент надежности теста, найденный с помощью этого метода, существенным образом зависит от уровня достижения испытуемых. Другие рассмотренные методы оценки надежности более объективны.

 

 

2.6 Анализ рядов  динамики

Третий тип задач, решаемых статистикой в школе — это задачи, в которых обработке подлежат временные ряды, в них расположены показатели, меняющиеся во времени; их называют также динамическими рядами. В предшествующих типах задач фактор времени не принимался во внимание и материал анализировался так, как будто он весь поступил в руки исследователя в одно и то же время. Такое допущение можно оправдать тем, что за тот короткий период времени, который был затрачен на собирание материала, он не потерпел существенных изменений. Но нам приходится работать и с таким материалом, в котором наибольший интерес представляют как раз его изменения во времени. Допустим, мы намерены изучить изменение работоспособности школьников в течение учебной четверти. В этом случае информативными будут показатели, по которым можно судить о динамике работоспособности. Берясь за такой материал, мы должны понимать, что при анализе динамических рядов нет смысла пользоваться средним арифметическим ряда, так как оно замаскирует нужную информацию о динамике.[21]