Шпаргалка по статистике

(a > 0)

a = t l, l - интенсивность простейшего потока

при t = 1  

Найдем закон  распределения интервала времени  между событиями простейшего потока. Выведем закон распределения интервала времени между событиями в потоке. 
 
 
 

F(t) = ?

Fт(t) = P(T<t) = 1 –  P(T ³ t) = 1 – Pt(k=0) = 1 - = 1 – e-lt, t ³ 0

Fт(t) = le-lt

Всякий  простейший поток  можно задать интенсивностью, либо задать среднее значение времени между событиями в потоке (Т).

Средняя продолжительность  интервала времени  ; М(Т) = = Þ l =

48. Многоканальная СМО с отказами.

СМО— система, предназначенная для обслуживания какого-то потока поступающих на вход в систему заявок. Система характеризуется наличием того или иного числа каналов обслуживания. Если в системе несколько каналов, то мы считаем эти каналы равноправными, и они имеют одинаковые хар-ки (среднее число заявок, обслуж. 1-им каналом при непрерывной работе за единицу времени—одно и то же для всех каналов). Пусть СМО имеет n каналов обслуживания и на вход в систему поступает простейший поток заявок с интенсивностью l. Будем считать, что среднее время обслуживания одной заявки одним каналом Тоб=1/m; продолж. Обслуж. Тоб—СВ, распределенная по показательному закону с параметром m. Тогда при непрерывной работе канала он может обслужить m заявок в единицу времени (технич., профес. Хар-ка каналов).

Пусть в случае, когда заявка, поступившая  в систему, застает свободный  хотя бы  один канал, то она поступает  сразу под обслуживание каким-то одним каналом. Если же заявка поступает  в момент занятости всех каналов, то она получает отказ в обслуживании и покидает систему необслуженной. Нарисуем граф состояний таких СМО, при этом нумерацию состояний будем вести по числу заявок, находящихся в системе: S0—заявок нет S1—одна заявка, один канал занят, n-1 каналов свободно  ,,, Sn—n заявок, n каналов занято, нет свободных.

       l        l       l                l

S0

S1

S2

Sn-1

Sn

  

•        2m        3m   (n-1)m     nm

 

Вероятности состояний:

Р0=(1+ )-1

P1= ; P2=(l2/(2!m2))*P0;....;Рr=(lk/k!mk)*P0

1. Ротказа=Рn ( все каналы заняты).
2. Относительная пропускная способность системы (вер-ть обслуживания) q=1—Pотказа=1—Рn
3. Абсолютная пропускная способность(ср. число заявок, обслуж. за единицу времени) A=lq
4. Среднее число занятых каналов =Aq/m

Можно найти двумя способами:

5. кзан—число занятых каанлов—СВ . зан=М(кзан)=
6. зан=A/m    5.   незан=n— зан           7.    Степень загруженности каналов s= зан/n

 

49. Многоканальная  СМО с ограниченным числом мест в  очереди.

СМО—  система, предназначенная для обслуживания какого-то потока поступающих на вход в систему заявок. Система характеризуется  наличием того или иного числа каналов обслуживания. Если в системе несколько каналов, то мы считаем эти каналы равноправными, и они имеют одинаковые хар-ки (среднее число заявок, обслуж. 1-им каналом при непрерывной работе за единицу времени—одно и то же для всех каналов). Пусть дана сис-ма с простейшим потоком, инт-ть которого l, один канал в среднем может обслужить m заявок в единицу времени. Пусть в сис-ме имеется m мест для постановки заявок в очередь. Предположим, что заявка, заставшая в момент своего поступления один канал свободным, тут же обслуж. Если же  в момент поступления заявки все каналы заняты, но имеется хотя бы одно свободное место в очереди, то заявка становится в очередь на обслуживание, при этом как только один из каналов освобождается, одна заявка из очереди поступает на обслуживание. Если заявка, поступившая в систему, застает занятыми все каналы и места в очереди, то она получает отказ в обслуживании и покидает систему. Возможные состояния системы: S0—заявок нет S1—одна заявка, n-1 канал свободен, все места в очереди свободны Sn—n заявок, все каналы заняты, все места в очереди свободны Sn+1—все каналы заняты, 1 заявка в очереди, m-1 мест в очереди свободны Sn+m—все каналы заняты, m мест (все) в очереди заняты.

•           l                      l                           l                               l               l    

S0

S1

S2

Sn-1

Sn

Sn+1

Sn+m

           

•               2m                       3m                     nm                            nm                       nm

Предельные  вероятности состояний:

Р₀=(1+  

1.Ротказа=Рn+m= =

2.Относительная  пропускная сп-ть q=1—Pn+m    3.Абсолютная  пропускная сп-ть  A=lq 4.Среднее число заявок в очереди

  

5. .      6.  

50. Многоканальная  СМО с неограниченным числом мест в очереди.
51. Многоканальная СМО с отказами.

СМО—  система, предназначенная для обслуживания какого-то потока поступающих на вход в систему заявок. Система характеризуется наличием того или иного числа каналов обслуживания.

Если  в системе несколько каналов, то мы считаем эти каналы равноправными, и они имеют одинаковые хар-ки (среднее число заявок, обслуж. 1-им каналом при непрерывной работе за единицу времени—одно и то же для всех каналов).

Пусть число мест в очереди не ограничено. Хар-ки этой СМО получим из характеристик  СМО с ограниченным количеством  мест в очереди, предполагая, что m—>¥. Тогда в выражении для Р0 имеем

Р0= =

При m —>¥ å1+e+e2+...+em-1 сходится только в том случае, если 0<e<1; если e>=1 сумма расходится, т.е. для этой СМО процесс не является транзитивным. Следовательно, предельные вер-ти состояний не существенны.

Будем считать, что при m—>¥, e<1 . Следовательно предельн. вер-ти сост-й сущ. и хар-ки СМО след.:

2. Ротказа=0
3. q=1 каждая заявка будет обслужена
4. . 
5. Среднее время ожидания .    6.A=lq=l.   7.