Анализ зависимости объема выпуска продукции от среднегодовой стоимости основных производственных фондов

 

2. Экономико-статистический анализ между среднегодовой стоимостью основных производственных фондов и выпуском продукции.

2.1  Анализ влияния среднегодовой стоимости ОПФ на выпуск продукции.

На основе выборочных данных оценим тесноту связи среднегодовой стоимостью ОПФ (х – млн. труб) и выпуском продукции (у – млн. руб).

Для расчета параметров регрессии построим расчетную таблицу:

Таблица 1.

№	Среднегодовая стоимость ОПФ(x)	Выпуск продукции(y)	X²	Y²	XY
1	49	39	2401	1521	1911
2	38	35	1444	1225	1330
3	37	34	1369	1156	1258
4	56	61	3136	3721	3416
5	49	50	2401	2500	2450
6	37	38	1369	1444	1406
7	33	30	1089	900	990
8	55	51	3025	2601	2805
9	44	46	1936	2116	2024
10	41	38	1681	1444	1558
11	28	35	784	1225	980
12	27	21	729	441	567
13	46	27	2116	729	1242
14	33	41	1089	1681	1353
15	35	30	1225	900	1050
16	41	47	1681	2209	1927
17	42	42	1764	1764	1764
18	53	34	2809	1156	1802
19	55	57	3025	3249	3135
20	60	46	3600	2116	2760
21	46	48	2116	2304	2208
22	39	45	1521	2025	1755
23	45	43	2025	1849	1935
24	57	48	3249	2304	2736
25	56	60	3136	3600	3360
26	36	35	1296	1225	1260
27	47	40	2209	1600	1880
28	20	24	400	576	480
29	29	36	841	1296	1044
30	26	19	676	361	494
31	30	39	900	1521	1170
32	60	72	3600	5184	4320
33	60	78	3600	6084	4680
34	50	86	2500	7396	4300
35	42	66	1764	4356	2772
36	25	29	625	841	725
37	27	22	729	484	594
38	20	27	400	729	540
39	35	25	1225	625	875
40	41	32	1681	1024	1312
41	22	18	484	324	396
42	24	31	576	961	744
43	27	38	729	1444	1026
44	23	30	529	900	690
45	30	21	900	441	630
46	29	19	841	361	551
47	42	45	1764	2025	1890
48	53	47	2809	2209	2491
49	44	34	1936	1156	1496
50	37	42	1369	1764	1554
51	45	39	2025	1521	1755
52	26	29	676	841	754
53	54	43	2916	1849	2322
54	47	38	2209	1444	1786
55	58	42	3364	1764	2436
56	29	35	841	1225	1015
57	34	41	1156	1681	1394
58	32	25	1024	625	800
59	23	34	529	1156	782
60	48	40	2304	1600	1920
61	49	30	2401	900	1470
62	51	47	2601	2209	2397
63	36	24	1296	576	864
64	25	29	625	841	725
65	28	32	784	1024	896
66	55	43	3025	1849	2365
67	37	48	1369	2304	1776
68	46	39	2116	1521	1794
69	52	58	2704	3364	3016
70	57	49	3249	2401	2793
71	33	44	1089	1936	1452
72	26	35	676	1225	910
73	56	42	3136	1764	2352
74	48	37	2304	1369	1776
75	39	46	1521	2116	1794
76	22	32	484	1024	704
77	27	20	729	400	540
78	24	36	576	1296	864
79	28	40	784	1600	1120
80	40	31	1600	961	1240
81	23	34	529	1156	782
82	50	39	2500	1521	1950
83	60	48	3600	2304	2880
84	61	46	3721	2116	2806
85	53	45	2809	2025	2385
86	41	32	1681	1024	1312
87	32	46	1024	2116	1472
88	35	38	1225	1444	1330
89	58	52	3364	2704	3016
90	31	26	961	676	806
91	26	34	676	1156	884
92	58	47	3364	2209	2726
93	46	40	2116	1600	1840
94	43	49	1849	2401	2107
95	37	42	1369	1764	1554
96	45	34	2025	1156	1530
97	36	43	1296	1849	1548
98	25	37	625	1369	925
99	27	19	729	361	513
100	22	26	484	676	572
∑	3965	3906	171163	167080	164386

 

 

Параметры уравнения регрессии:

Выборочные средние:

= =

=

= =

Выборочные дисперсии:

S2(x) = 2 = –39,65 2 = 139,5

S2(y) = 2 = – 39,062 =145,12

Среднеквадратическое отклонение:

= = 11,8

= = 12,05

2. Оценка тесноты связи между признаками

Предположим, что изучаемые признаки связаны линейной зависимостью. Рассчитываем показатель тесноты связи. Таким показателем является, коэффициент прямолинейной корреляции  Пирсона, который рассчитывается по формуле:

μxy = * = 1643,86-1548,729=95,131

rxy =

Линейный коэффициент корреляции принимает значения от –1 до +1.

Связи между признаками могут быть слабыми и сильными (тесными).

Их критерии оцениваются по шкале Чеддока:

0.1 < rxy < 0.3: слабая;

0.3 < rxy < 0.5: умеренная;

0.5 < rxy < 0.7: заметная;

0.7 < rxy < 0.9: высокая;

0.9 < rxy < 1: весьма высокая;

В нашем примере связь между признаком Y фактором X  заметная.

Квадрат (множественного) коэффициента прямолинейной корреляций Пирсона называется коэффициентом детерминации, который показывает долю вариации результативного признака, объясненную вариацией факторного признака.

Чаще всего, давая интерпретацию коэффициента детерминации, его выражают в процентах.

R2= 0,672 =0,4489,

т.е. в 44,89 % случаев изменения х приводят к изменению y. Другими словами - точность подбора уравнения регрессии - средняя. Остальные 55,11% изменения Y объясняются факторами, не учтенными в модели.

2.3 Линии регрессии. Метод  наименьших квадратов (МНК)

Линии регрессии - это линии, отражающие основную форму зависимости отклика у от факторного признака х. Определение вида этих линии это основная задача регрессионного анализа.

Этап построения регрессионного уравнения состоит в идентификации (оценке) его параметров, оценке их значимости и значимости уравнения в целом.

МНК позволяет определить параметры линии регрессии.

Формально критерий МНК можно записать так:

S = ∑(yi - i)2 → min

Линия регрессии: i = f(xi) =

Определим с помощью МНК неизвестные параметры a и b.

Система нормальных уравнений:

 

Для наших данных система уравнений имеет вид:

 

Решаем эту систему нормальных  уравнении методом Крамера.

= 17116300-15721225=1395075

= 16438600-15487290=951310

=16772188

a= 0,68

b = = 12,02

Уравнение регрессии: = 0,68x + 12,02

Уравнение отражает лишь общую тенденцию в поведении рассматриваемых переменных.

Оценим качество уравнения регрессии с помощью ошибки абсолютной аппроксимации. Средняя ошибка аппроксимации - среднее отклонение расчетных значений от фактических:

= =

Ошибка аппроксимации в пределах 5%-7% свидетельствует о хорошем подборе уравнения регрессии к исходным данным.

Поскольку ошибка меньше 5 %, то данное уравнение не желательно использовать в качестве регрессии.

 Эмпирическое корреляционное  отношение вычисляется для всех  форм связи и служит для измерения тесноты зависимости. Изменяется в пределах [0;1].

η = ∑y - yx2; ∑yi - y2

,

где (-ŷ)2=14511,64-8060,205=6451,435

Отсюда 0,67 совпадает с ранее полученным значением коэффициента детерминации.

Теоретическое корреляционное отношение для линейной связи равно коэффициенту корреляции rxy.

Проверка значимости параметров регрессии.

При большом объеме  выборки используется соотношение для коэффициента корреляции и его среднеквадратичной ошибки.

tрас = rxy

По таблице критических точек распределения Стьюдента, по заданному уровню значимости α и числу степеней свободы k = n - 2 найдем критическую точку tкрит двусторонней критической области. Если |tрас| > tкрит , то следует говорить о существенности  коэффициента корреляции.

tрас  = 0.67 = 12,1

По таблице Стьюдента с уровнем значимости α=0.05 и степенями свободы k=98 находим tкрит:

tкрит (n-m-1;α/2) = (98;0,025) = 1.984,

где m = 1 - количество объясняющих переменных.

Поскольку tрас > tкрит, , то коэффициент корреляции статистически – значим.

Интервальная оценка для коэффициента корреляции (доверительный интервал).

r - tкрит 1-r2;n; r + tкрит 1-r2;n

Доверительный интервал для коэффициента корреляции.

 

r(0,56;0,78)

Коэффициент корреляции знаков Фехнера.

Коэффициент корреляции знаков Фехнера может быть использован при анализе  тесноты связи количественных и порядковых величин. Прост в вычислении, но менее точен, чем корреляционное отношение. Основан на совпадении знаков отклонении от средней величины и подсчете числа случаев совпадения и несовпадения знаков.

i=,    где  -1 ≤ i ≤ 1

u- число пар с одинаковыми знаками отклонений (+,+); (-,-); (0,0).

v- число пар с разными знаками отклонений х,у от , .

Таблица 2.

№	x	y	Знак отклонения
			х-	y-
1	49	39	+	-
2	38	35	-	-
3	37	34	-	-
4	56	61	+	+
5	49	50	+	+
6	37	38	-	-
7	33	30	-	-
8	55	51	+	+
9	44	46	+	+
10	41	38	+	-
11	28	35	-	-
12	27	21	-	-
13	46	27	+	-
14	33	41	-	+
15	35	30	-	-
16	41	47	+	+
17	42	42	+	+
18	53	34	+	-
19	55	57	+	+
20	60	46	+	+
21	46	48	+	+
22	39	45	-	+
23	45	43	+	+
24	57	48	+	+
25	56	60	+	+
26	36	35	-	-
27	47	40	+	+
28	20	24	-	-
29	29	36	-	-
30	26	19	-	-
31	30	39	-	-
32	60	72	+	+
33	60	78	+	+
34	50	86	+	+
35	42	66	+	+
36	25	29	-	-
37	27	22	-	-
38	20	27	-	-
39	35	25	-	-
40	41	32	+	-
41	22	18	-	-
42	24	31	-	-
43	27	38	-	-
44	23	30	-	-
45	30	21	-	-
46	29	19	-	-
47	42	45	+	+
48	53	47	+	+
49	44	34	+	-
50	37	42	-	+
51	45	39	+	-
52	26	29	-	-
53	54	43	+	+
54	47	38	+	-
55	58	42	+	+
56	29	35	-	-
57	34	41	-	+
58	32	25	-	-
59	23	34	-	-
60	48	40	+	+
61	49	30	+	-
62	51	47	+	+
63	36	24	-	-
64	25	29	-	-
65	28	32	-	-
66	55	43	+	+
67	37	48	-	+
68	46	39	+	-
69	52	58	+	+
70	57	49	+	+
71	33	44	-	+
72	26	35	-	-
73	56	42	+	+
74	48	37	+	-
75	39	46	-	+
76	22	32	-	-
77	27	20	-	-
78	24	36	-	-
79	28	40	-	+
80	40	31	+	-
81	23	34	-	-
82	50	39	+	-
83	60	48	+	+
84	61	46	+	+
85	53	45	+	+
86	41	32	+	-
87	32	46	-	+
88	35	38	-	-
89	58	52	+	+
90	31	26	-	-
91	26	34	-	-
92	58	47	+	+
93	46	40	+	+
94	43	49	+	+
95	37	42	-	+
96	45	34	+	-
97	36	43	-	+
98	25	37	-	-
99	27	19	-	-
100	22	26	-	-

 

 

u=74,v=26

i= = 0,48

Связь между признаками умеренная и прямая.

 

3. Парная нелинейная регрессия и корреляция

3.1 Гиперболическое уравнение  регрессии

        Гиперболическое  уравнение регрессии имеет вид  =. С помощью    замены переменной преобразуем эту формулу к линейному виду. Замена: х=.   Линейный вид:  = ах+b

Для расчета параметров регрессии построим расчетную таблицу.

Таблица 3.

№	1/x	y	1/x2	y2	xy
1	0,020408	39	0,000657	1521	0,80
2	0,026316	35	0,000816	1225	0,92
3	0,027027	34	0,000865	1156	0,92
4	0,017857	61	0,000269	3721	1,09
5	0,020408	50	0,0004	2500	1,02
6	0,027027	38	0,000693	1444	1,03
7	0,030303	30	0,001111	900	0,91
8	0,018182	51	0,000384	2601	0,93
9	0,022727	46	0,000473	2116	1,05
10	0,02439	38	0,000693	1444	0,93
11	0,035714	35	0,000816	1225	1,25
12	0,037037	21	0,002268	441	0,78
13	0,021739	27	0,001372	729	0,59
14	0,030303	41	0,000595	1681	1,24
15	0,028571	30	0,001111	900	0,86
16	0,02439	47	0,000453	2209	1,15
17	0,02381	42	0,000567	1764	1,00
18	0,018868	34	0,000865	1156	0,64
19	0,018182	57	0,000308	3249	1,04
20	0,016667	46	0,000473	2116	0,77
21	0,021739	48	0,000434	2304	1,04
22	0,025641	45	0,000494	2025	1,15
23	0,022222	43	0,000541	1849	0,96
24	0,017544	48	0,000434	2304	0,84
25	0,017857	60	0,000278	3600	1,07
26	0,027778	35	0,000816	1225	0,97
27	0,021277	40	0,000625	1600	0,85
28	0,05	24	0,001736	576	1,20
29	0,034483	36	0,000772	1296	1,24
30	0,038462	19	0,00277	361	0,73
31	0,033333	39	0,000657	1521	1,30
32	0,016667	72	0,000193	5184	1,20
33	0,016667	78	0,000164	6084	1,30
34	0,02	86	0,000135	7396	1,72
35	0,02381	66	0,00023	4356	1,57
36	0,04	29	0,001189	841	1,16
37	0,037037	22	0,002066	484	0,81
38	0,05	27	0,001372	729	1,35
39	0,028571	25	0,0016	625	0,71
40	0,02439	32	0,000977	1024	0,78
41	0,045455	18	0,003086	324	0,82
42	0,041667	31	0,001041	961	1,29
43	0,037037	38	0,000693	1444	1,41
44	0,043478	30	0,001111	900	1,30
45	0,033333	21	0,002268	441	0,70
46	0,034483	19	0,00277	361	0,66
47	0,02381	45	0,000494	2025	1,07
48	0,018868	47	0,000453	2209	0,89
49	0,022727	34	0,000865	1156	0,77
50	0,027027	42	0,000567	1764	1,14
51	0,022222	39	0,000657	1521	0,87
52	0,038462	29	0,001189	841	1,12
53	0,018519	43	0,000541	1849	0,80
54	0,021277	38	0,000693	1444	0,81
55	0,017241	42	0,000567	1764	0,72
56	0,034483	35	0,000816	1225	1,21
57	0,029412	41	0,000595	1681	1,21
58	0,03125	25	0,0016	625	0,78
59	0,043478	34	0,000865	1156	1,48
60	0,020833	40	0,000625	1600	0,83
61	0,020408	30	0,001111	900	0,61
62	0,019608	47	0,000453	2209	0,92
63	0,027778	24	0,001736	576	0,67
64	0,04	29	0,001189	841	1,16
65	0,035714	32	0,000977	1024	1,14
66	0,018182	43	0,000541	1849	0,78
67	0,027027	48	0,000434	2304	1,30
68	0,021739	39	0,000657	1521	0,85
69	0,019231	58	0,000297	3364	1,12
70	0,017544	49	0,000416	2401	0,86
71	0,030303	44	0,000517	1936	1,33
72	0,038462	35	0,000816	1225	1,35
73	0,017857	42	0,000567	1764	0,75
74	0,020833	37	0,00073	1369	0,77
75	0,025641	46	0,000473	2116	1,18
76	0,045455	32	0,000977	1024	1,45
77	0,037037	20	0,0025	400	0,74
78	0,041667	36	0,000772	1296	1,50
79	0,035714	40	0,000625	1600	1,43
80	0,025	31	0,001041	961	0,78
81	0,043478	34	0,000865	1156	1,48
82	0,02	39	0,000657	1521	0,78
83	0,016667	48	0,000434	2304	0,80
84	0,016393	46	0,000473	2116	0,75
85	0,018868	45	0,000494	2025	0,85
86	0,02439	32	0,000977	1024	0,78
87	0,03125	46	0,000473	2116	1,44
88	0,028571	38	0,000693	1444	1,09
89	0,017241	52	0,00037	2704	0,90
90	0,032258	26	0,001479	676	0,84
91	0,038462	34	0,000865	1156	1,31
92	0,017241	47	0,000453	2209	0,81
93	0,021739	40	0,000625	1600	0,87
94	0,023256	49	0,000416	2401	1,14
95	0,027027	42	0,000567	1764	1,14
96	0,022222	34	0,000865	1156	0,76
97	0,027778	43	0,000541	1849	1,19
98	0,04	37	0,00073	1369	1,48
99	0,037037	19	0,00277	361	0,70
100	0,045455	26	0,001479	676	1,18
∑	2,78	3906	0,087	167080	101,68

 

Параметры уравнения регрессии:

Выборочные средние:

= =

=

= =

Выборочные дисперсии:

S2(x) = 2 = – 0,0282 = 0,000086

S2(y) = 2 = – 39,062 = 145,1164

Среднеквадратическое отклонение:

= = 0,00927

= = 12,046

Формально критерий МНК можно записать так:

S = ∑(yi - i)2 → min

Определим с помощью МНК неизвестные параметры a и b.

Система нормальных уравнений:

 

Для наших данных система уравнений имеет вид:

 

Решаем эту систему нормальных  уравнений методом Крамера.

= 0,9716

= -690,68

= 57,1516

a= -710,8687

b = = 58,822

Уравнение регрессии: = -710,8687/x + 58,822

Уравнение отражает лишь общую тенденцию в поведении рассматриваемых переменных.

Эмпирическое корреляционное отношение вычисляется для всех форм связи и служит для измерение тесноты зависимости. Изменяется в пределах [0;1]. 
Связи между признаками могут быть слабыми и сильными (тесными). Их критерии оцениваются по шкале Чеддока:

0.1 < η < 0.3: слабая; 
0.3 < η < 0.5: умеренная; 
0.5 < η < 0.7: заметная; 
0.7 < η < 0.9: высокая; 
0.9 < η < 1: весьма высокая;

 

 

где =14511,64 – 8698,78=5812,86

Индекс корреляции.

Величина индекса корреляции R находится в границах от 0 до 1. Чем ближе она к единице, тем теснее связь рассматриваемых признаков, тем более надежно уравнение регрессии.

R = = = 0,63

Полученная величина свидетельствует о том, что фактор x умеренно влияет на y. Для любой формы зависимости теснота связи определяется с помощью множественного коэффициента корреляции:

R =

Данный коэффициент является универсальным, так как отражает тесноту связи и точность модели, а также может использоваться при любой форме связи переменных. При построении однофакторной корреляционной модели коэффициент множественной корреляции равен коэффициенту парной корреляции rxy.

В отличие от линейного коэффициента корреляции он характеризует тесноту нелинейной связи и не характеризует ее направление. Изменяется в пределах [0;1].

Коэффициент корреляции знаков Фехнера.

Таблица 4.

№	1/x	y	Знаки отклонений
			х-	у-
1	0,020408	39	-	-
2	0,026316	35	-	-
3	0,027027	34	-	-
4	0,017857	61	-	+
5	0,020408	50	-	+
6	0,027027	38	-	-
7	0,030303	30	+	-
8	0,018182	51	-	+
9	0,022727	46	-	+
10	0,02439	38	-	-
11	0,035714	35	+	-
12	0,037037	21	+	-
13	0,021739	27	-	-
14	0,030303	41	+	+
15	0,028571	30	+	-
16	0,02439	47	-	+
17	0,02381	42	-	+
18	0,018868	34	-	-
19	0,018182	57	-	+
20	0,016667	46	-	+
21	0,021739	48	-	+
22	0,025641	45	-	+
23	0,022222	43	-	+
24	0,017544	48	-	+
25	0,017857	60	-	+
26	0,027778	35	-	-
27	0,021277	40	-	+
28	0,05	24	+	-
29	0,034483	36	+	-
30	0,038462	19	+	-
31	0,033333	39	+	-
32	0,016667	72	-	+
33	0,016667	78	-	+
34	0,02	86	-	+
35	0,02381	66	-	+
36	0,04	29	+	-
37	0,037037	22	+	-
38	0,05	27	+	-
39	0,028571	25	+	-
40	0,02439	32	-	-
41	0,045455	18	+	-
42	0,041667	31	+	-
43	0,037037	38	+	-
44	0,043478	30	+	-
45	0,033333	21	+	-
46	0,034483	19	+	-
47	0,02381	45	-	+
48	0,018868	47	-	+
49	0,022727	34	-	-
50	0,027027	42	-	+
51	0,022222	39	-	-
52	0,038462	29	+	-
53	0,018519	43	-	+
54	0,021277	38	-	-
55	0,017241	42	-	+
56	0,034483	35	+	-
57	0,029412	41	+	+
58	0,03125	25	+	-
59	0,043478	34	+	-
60	0,020833	40	-	+
61	0,020408	30	-	-
62	0,019608	47	-	+
63	0,027778	24	-	-
64	0,04	29	+	-
65	0,035714	32	+	-
66	0,018182	43	-	+
67	0,027027	48	-	+
68	0,021739	39	-	-
69	0,019231	58	-	+
70	0,017544	49	-	+
71	0,030303	44	+	+
72	0,038462	35	+	-
73	0,017857	42	-	+
74	0,020833	37	-	-
75	0,025641	46	-	+
76	0,045455	32	+	-
77	0,037037	20	+	-
78	0,041667	36	+	-
79	0,035714	40	+	+
80	0,025	31	-	-
81	0,043478	34	+	-
82	0,02	39	-	-
83	0,016667	48	-	+
84	0,016393	46	-	+
85	0,018868	45	-	+
86	0,02439	32	-	-
87	0,03125	46	+	+
88	0,028571	38	+	-
89	0,017241	52	-	+
90	0,032258	26	+	-
91	0,038462	34	+	-
92	0,017241	47	-	+
93	0,021739	40	-	+
94	0,023256	49	-	+
95	0,027027	42	-	+
96	0,022222	34	-	-
97	0,027778	43	-	+
98	0,04	37	+	-
99	0,037037	19	+	-
100	0,045455	26	+	-
∑	2,78	3906