Исследование характеристик полупроводниковой структуры в FlexPDE

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Курсовая работа

по дисциплине «Компьютерные  технологии и моделирование в  электронике»

на тему: «Исследование  характеристик полупроводниковой  структуры в FlexPDE»

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Оглавление

 

Постановка задачи. 3

Решение задачи для транзистора 4

Метод конечных элементов   6

FlexPDE: краткие сведения   6

Текст программы 8

Полученные результаты. 10

Вывод. 13

Список литературы. 14

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Постановка задачи

 

Построить распределение: концентрации свободных носителей заряда, напряженности  электрического поля и потенциала, для полупроводниковой структуры, показанной на рисунке 1. Напряжение на затворах должно обеспечивать обеднение  равное 15 длин Дебая при нулевом  напряжении на истоке и стоке. Напряжение между истоком и стоком должно обеспечивать обеднение порядка 0.5 ширины канала. Характерные размеры  элементов структуры порядка 1мкм.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Метод конечных элементов

Метод конечных элементов (МКЭ) — численный метод решения дифференциальных уравнений с частными производными, а также интегральных уравнений, возникающих при решении задач прикладной физики. Метод широко используется для решения задач механики деформируемого твёрдого тела (сопромата), теплообмена, гидродинамики и электродинамики.

Суть метода следует из его названия. Область, в которой ищется решение  дифференциальных уравнений, разбивается  на конечное количество подобластей (элементов). В каждом из элементов произвольно  выбирается вид аппроксимирующей функции. В простейшем случае это полином первой степени. Вне своего элемента аппроксимирующая функция равна нулю. Значения функций на границах элементов (узлах) является решением задачи и заранее неизвестно. Коэффициенты аппроксимирующих функций обычно ищутся из условия равенства значения соседних функций на границах между элементами (в узлах). Затем эти коэффициенты выражаются через значения функций в узлах элементов. Составляется система линейных алгебраических уравнений. Количество уравнений равно количеству неизвестных значений в узлах, на которых ищется решение исходной системы, прямо пропорционально количеству элементов и ограничивается только возможностями ЭВМ. Так как каждый из элементов связан с ограниченным количеством соседних, система линейных алгебраических уравнений имеет разряжённый вид, что существенно упрощает её решение.

С точки зрения вычислительной математики, идея метода конечных элементов заключается в том, что минимизация функционала вариационной задачи осуществляется на совокупности функций, каждая из которых определена на своей подобласти, для численного анализа системы позволяет рассматривать его как одну из конкретных ветвей диакоптики — общего метода исследования систем путём их расчленения.

Преимущества и недостатки

Метод конечных элементов, по словам специалистов, «большая пушка» — метод конечных разностей и проще в реализации, и быстрее. Зато у МКЭ есть свои преимущества, проявляющиеся на реальных задачах: произвольная форма обрабатываемой области; сетку можно сделать более редкой в тех местах, где особая точность не нужна.

FLEXPDE: краткие сведения

 

 

FlexPDE – программа, предназначенная для построения сценарных моделей решения дифференциальных уравнений методом конечных элементов. Т.е. по сценарию, написанному пользователем, FlexPDE производит операции, необходимые для того, чтобы преобразовать описание системы дифференциальных уравнений в частных производных в модель для расчета методом конечных элементов, найти решение для этой системы и представить результаты в графической форме.

FlexPDE играет роль вычислительной среды для решения задач, поскольку в этой программе заключен полный набор функций, необходимых для решения системы дифференциальных уравнений в частных производных:

·        функция редактирования для подготовки сценариев,

·        генератор сеток конечных элементов,

·        функция подбора конечных элементов при поиске решения,

·        графическую функцию, чтобы представить график результатов. 

 

FlexPDE не ограничивает пользователя заранее заданным списком прикладных задач или видов уравнений. Выбор вида дифференциальных уравнений в частных производных полностью зависит от пользователя.

Язык сценария позволяет пользователю описывать математический аппарат  его системы дифференциальных уравнений  в частных производных и структуру  области решений в целом в  естественном формате.

Например, в сценарии имеется раздел EQUATIONS (УРАВНЕНИЯ), в котором уравнение Лапласа  можно представить как

Div(grad(u)) = 0

Аналогично, в сценарии имеется  раздел BOUNDARIES (ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ), в котором геометрические границы двумерной области решений описываются по кривой периметра,

Start(x1,y1) line to (x2,y1) to (x2,y2) to (x1,y2) to finish

Эта форма сценария имеет много  преимуществ:

·        Сценарий полностью описывает систему уравнений и область решений, так что нет никакой неопределенности относительно того, какие именно уравнения решаются, что могло бы иметь место в случае программы с фиксированным набором прикладных задач.

·        Новые переменные, новые уравнения или новые условия могут быть добавлены по желанию.

·        Много различных задач могут быть решены при помощи одной и той же программы, так что нет необходимости заново проходить обучение для решения каждой новой задачи.

·        Пользователь должен быть способен сформулировать свою задачу в математической форме, что хорошо в образовательных целях. В прикладных целях это может быть не так удобно. Но одного квалифицированного пользователя достаточно для подготовки сценария,  который впоследствии может быть использован всем персоналом, при этом библиотека прикладных сценариев может постоянно пополняться. 

 

FlexPDE позволяет решать системы дифференциальных уравнения первого или второго порядка в частных производных.

Система дифференциальных уравнений  может быть стационарной или зависимой  от времени. При помощи  FlexPDE можно решать задачи о собственных значениях функций.  В рамках одной задачи могут быть рассмотрены стационарные и нестационарные уравнения одновременно.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Текст программы

 

TITLE

'Prog1'

 

SELECT

errlim= 1e-5

 

VARIABLES

U

n

 

DEFINITIONS

Gh=0

Gd=4

ISl=20

Sd=4

Sl=5

Sc=10

R=2

 

k=1.38e-23

q=1.6e-19

La=0.2e-6

 eps=1.14e-10

Nd=1.3e+23

Fn=q*Nd*La*La/eps

Fa=-2.914/Fn

Fb=-2.914/Fn

Fs=0

Fd=45

E=sqrt((dx(U)^2+dy(U)^2))

EQUATIONS

U: DEL2(U)=-(1-n)

n: -DEL2(n)+n*DEL2(U)+dx(n)*dx(U)+dy(n)*dy(U)=0

BOUNDARIES

region 1

start(0,0)

natural(U)= 0 natural(n)=0 line to (Isl+2*Gd+Sl+Sc,0)

value(U)= Fd value(n)=1 line to (Isl+2*Gd+Sl+Sc,Sd)

natural(U)= 0 natural(n)=0 line to (Isl+2*Gd+Sl+R,Sd)

natural(U)=0 natural(n)=0 ARC (CENTER= Isl+2*Gd+Sl+R,Sd+R) angle-90

natural(U)=0 natural(n)=0 line to (Isl+2*Gd+Sl,Gh+Sd)

value(U)= Fa value(n)=0 line to (Isl+Gd+Sl,Gh+Sd)

natural(U)=0 natural(n)=0 line to (Isl+Gd+Sl,Sd+R)

natural(U)=0 natural(n)=0 ARC (CENTER= Isl+Gd+Sl-R,Sd+R) angle -90

natural(U)= 0 natural(n)=0 line to (Isl+Gd+R,Sd)

natural(U)=0 natural(n)=0 ARC (CENTER= Isl+Gd+R,Sd+R) angle-90

natural(U)=0 natural(n)=0 line to (Isl+Gd,Gh+Sd)

value(U)= Fb value(n)=0 line to (Isl,Gh+Sd)

natural(U)=0 natural(n)=0 line to (Isl,Sd+R)

natural(U)=0 natural(n)=0 ARC (CENTER= Isl-R,Sd+R) angle -90

natural(U)=0 natural(n)=0 line to (0,Sd)

value(U)= Fs value(n)=1 line to (0,0)

PLOTS

surface(U)

contour(U)

surface(n)

contour(n)

 surface(E)

contour(E)

END

 

При нормировке потенциала, концентрации и размеров транзистора использовались следующие константы:

 

k=1.38e-23 Дж/К

T=300 К

q=1.6e-19 Кл

ep= 11

ep0=8.85e-12 Ф/м

Nd=1e+23 1/м³

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Полученные результаты:

 

Рис.1. Построение сетки.

 

 

 

Рис. 2. Распределение потенциала.

 

Рис. 3. Эквипотенциальные  линии.

 

 

 

Рис. 4. График распределения  концентрации.

 

 

Рис. 5. Линии с одинаковой концентрацией.

 

Рис. 6. График распределения  напряженности поля.

Рис. 7. Линии с одинаковой напряженностью поля.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вывод: в данной курсовой работе был спроектирован ПТШ с двумя затворами. Напряжением на затворах было получено обеднение равное 15 длин Дебая при нулевом напряжении на истоке и стоке. Напряжением между истоком и стоком было обеспечено обеднение порядка 0.5 ширины канала. Также построены распределения: концентрации свободных носителей заряда, напряженности электрического поля и потенциала, для полупроводниковой структуры, показанной на рисунке 1.

 

 

 

Список литературы

 

1. Материалы сайта google.1024.ru, «FLEXPDE – общие сведения о системе», http://www.1024.ru/science/flexpde/flexpde.html
2. Материалы сайта google.1024.ru, лабораторная работа 1_1 «Численное решение уравнения Лапласа в специализированной среде FlexPDE», https://docs.google.com/viewer?a=v&pid=explorer&chrome=true&srcid=0ByJ9EHpob0yaMzhjMmI5NzAtODQ4My00MmUzLWE2YjEtNjYyZWM3Zjc3MmNm&authkey=CJCRg6QO&hl=ru
3. Материалы сайта google.1024.ru, лабораторная работа 3_1 «Двухмерное численное моделирование проникновения поля в полупроводник», https://docs.google.com/viewer?a=v&pid=explorer&chrome=true&srcid=0ByJ9EHpob0yaNTg0MzdlODItZjAwNS00N2QyLWE2ZGUtOTA1YWI1NjE4MDdk&authkey=CM_HlY0O&hl=ru