ARCH процессы. Определение, модели, приложения

5. Коэффициент f равен 0.9963 при стандартном отклонении 0.0073, так что t статистика для гипотезы о единичном корне в дисперсии составляет лишь 0,50.

 

 

6. Достоверно могут быть отвергнуты два условия ортогональности (таблица 6):

 

 

Нарушение первого из них сигнализирует  о пропущенной переменной в уравнении условного среднего. Нарушение второго условия свидетельствует об ограничительности AR(1) репрезентации логарифма условной дисперсии.

В более общей постановке моделируется как процесс ARMA(p,q), причем степени авторегрессии и скользящего среднего определяются на основе критериев Schwartz или Akaike. Так, например, ARMA(2,1) репрезентация логарифма условной дисперсии была выбрана по критерию Schwartz для многих фондовых индексов США (Nelson (1991), Bollerslev, Engle, Nelson (1993)). Выбор p=1, q=0 в настоящей работе обусловлен лишь техническими ограничениями: формального тестирования порядков p и q не проводилось. 

 

Таблица 4.

Таблица 5.

 

 

Таблица 6.

ЦЕНЫ ГКО.

Переменная представляет собой  взвешенное среднее цен выпусков ГКО со сроками погашения от 1 до 360 дней; в качестве весов приняты текущие доли выпусков в суммарном обороте торгов. Временной ряд содержит 403 наблюдения за период 5.01.97-14.08.98. Цены и доходность данного выпуска связаны обратным соотношением (t – число дней до погашения):

.

Можно ожидать, что усредненные  цены и доходности находятся также  в обратной зависимости.

1. Коэффициенты асимметрии и куртозиса стандартизованных остатков равны, соответственно, 2,5162 и -0,8475. Таблица 7 иллюстрирует левую асимметрию: отрицательные выбросы обладают большей частотой, чем положительные.

 

 

2. Развитие во времени условной дисперсии цен (рисунок 11) и условной дисперсии доходности ГКО подчинено общим для двух процессов тенденциям.

 

 

3. Существует статистически значимая обратная зависимость между ожидаемой ценой и условным стандартным отклонением: коэффициент d равен -2,4992 при стандартной ошибке 0,3736. Уравнение долгосрочной зависимости имеет вид

 

 

.

В ситуации полной определенности (s =0) средневзвешенные цены находятся на уровне 96,59, увеличение стандартного отклонения на единицу в долгосрочной перспективе влечет снижение цен на 3,52. Диаграмма в пространстве m –s изображена на рисунке 12.

4. Отрицательные инновации приводят к увеличению условной дисперсии, тогда как положительные инновации не оказывают статистически значимого влияния.

 

 

Коэффициент чувствительности логарифма условной дисперсии к отрицательным z равен q - g = -0,1117 при стандартной ошибке 0,0270, к положительным z – q +g = 0,0044 при стандартной ошибке 0,0316. По своему влиянию на условную дисперсию отрицательные инновации следует признать “негативными известиями”, тогда как положительные инновации – “нейтральными известиями”.

5. Коэффициент авторегрессии f в уравнении для логарифма условной дисперсии равен 0.9969 при стандартном отклонении 0.0040, t статистика для гипотезы о единичном корне в дисперсии (1-f =0) составляет лишь 0.77.

 

 

6. Нарушены два условия ортогональности (таблица 9):

Автокорреляция стандартизованных  остатков второго порядка вызвана отсутствием в уравнении условного среднего. Автокорреляция квадратов стандартизованных остатков первого порядка свидетельствует, по-видимому, о неудовлетворительности EGARCH параметризации условной дисперсии; в частности, простая GARCH(1,1) модель приводит к меньшей t статистике данного теста. Поскольку ковариационная матрица оценок EGARCH-M модели не является блочно-диагональной между параметрами среднего и дисперсии, ошибка в спецификации функции условной дисперсии может привести к несостоятельности оценок как условной дисперсии, так и уловного среднего. 

 

Таблица 7.

 

 

Таблица 8.

 

 

Таблица 9.

 

 

МЕТОДЫ КВАЗИ-МАКСИМАЛЬНОГО  ПРАВДОПОДОБИЯ И МОМЕНТОВ: ОЦЕНКИ МОДЕЛИ (М).

Провал гипотезы (N) в каждом из рассмотренных случаев мотивирует применение метода квази-максимального правдоподобия (МКМП) и обобщенного метода моментов (ОММ).

Результаты оценивания модели (М) данными методами представлены в таблицах 10-12. Приведены стандартные отклонения оценок параметров, соответствующие трем различным ковариационным матрицам:

• . Данная форма (HE) ковариационной матрицы основана на гессиане логарифмической функции правдоподобия, используется в методе максимального правдоподобия и теряет свойство состоятельности при нарушении гипотезы (N).
• . Такая форма (RB) устойчива к нарушению гипотезы (N) и является ковариационной матрицей МКМП.

 

 

• Ковариационной матрице ОММ.

 

 

В последнем столбце показаны отношения стандартных отклонений оценок ОММ к стандартным отклонениям оценок МКМП. Таблицы 10-12 позволяют сформулировать важные замечание и гипотезу.

Замечание. HE-форма ковариационной матрицы систематически преуменьшает стандартные отклонения оценок метода квази-максимального правдоподобия. Смещение особенно велико, если распределение инноваций асимметрично. Данное сравнение иллюстрирует результаты Bollerslev и Wooldridge (1992).

Для большинства параметров стандартные  отклонения оценок ОММ меньше стандартных отклонений оценок МКМП. Отношения их лежат в интервале: от 0,8077 до 1,0194 (РТС), от 0,5458 до 1,0647 (доходность ГКО), от 0,4824 до 1,1572 (цены ГКО). Общую закономерность нарушают: константа в модели для РТС (1,0194), q для доходности ГКО (1,0647), d для цен ГКО (1,1572).

Гипотеза. Обобщенный метод моментов более эффективен, чем метод квази-максимального правдоподобия не только асимптотически, но также и для конечных выборок. Выигрыш в эффективности тем больше, чем сильнее отклонение условного распределения процесса от нормального.

Проведение экспериментов Монте  Карло с целью верификации  данной гипотезы, однако, не входит в  план настоящей работы и остается перспективной задачей.

Таблица 10.

 

 

Таблица 11.

 

 

Таблица 12.

* Отношение стандартного отклонения  оценки ОММ к стандартному  отклонению оценки МКМП.

3.2 МНОГОМЕРНЫЕ МОДЕЛИ.

В этом параграфе мы анализируем  взаимозависимости между фондовым рынком и несколькими сегментами рынка ГКО. Изучаются переменные во времени условные корреляции, тестируется наличие причинной (по Гранжеру) связи между рынками.

ОЦЕНИВАНИЕ МНОГОМЕРНОЙ ARCH МОДЕЛИ МЕТОДОМ ГЛАВНЫХ КОМПОНЕНТ.

Определение многомерного ARCH процесса не представляет никакой теоретической сложности: рассматривается m-компонентный наблюдаемый случайный вектор , m-компонентный вектор его условного математического ожидания, m´ m матрица условной вариации. Оценивание многомерной ARCH модели, однако, сопряжено со значительными трудностями.

В настоящей работе применяется  полупараметрическая ARCH модель, предложенная Ф. Клаассеном (F. Klaassen, 1999); модель привлекательна своей предельной технической простотой. Наблюдаемые процессы преобразуются в главные компоненты. Для каждой главной компоненты по отдельности применяется одномерная ARCH модель. Обратным преобразованием оцененные условные моменты главных компонент трансформируются в условные моменты наблюдаемых процессов. Оценивание m-мерной модели, таким образом, сводится к построению m одномерных моделей.

Последовательность операций такова. Вычисляется матрица безусловной  вариации и ее собственные вектора. Собственные вектора формируют ортонормированный базис W в пространстве переменных. Вычисляются главные компоненты облака наблюдений по формуле

.

Безусловные ковариации между главными компонентами равны нулю. Основное предположение модели состоит в  равенстве нулю условных ковариаций между главными компонентами. Условные ожидания и дисперсии главных компонент оцениваются с помощью m независимых одномерных моделей. Вне-диагональные элементы заполняются нулями. Наконец, условные моменты преобразуются в условные моменты по формулам

 

  

СЕГМЕНТЫ РЫНКА ГКО.

В данном разделе мы рассматриваем  рынок ГКО как совокупность нескольких сегментов, объединяющих выпуски государственных облигаций с близкими сроками погашения. Нами принята следующая сегментация рынка: выпуски со сроками погашения 1-30, 31-90, 91-180 и 181-360 дней (соответственно GKO1, GKO3, GKO6, GKO12). Такая сегментация обусловлена существенно различными инвестиционными свойствами кратко-, средне-, и долгосрочных выпусков ГКО. Вложения в краткосрочные выпуски, как правило, выполняли функции оперативного регулирования рублевой ликвидности, либо задачи спекулятивных операций арбитражного типа в течение торговой сессии. Долгосрочные выпуски ГКО в некоторой степени выступали как инструменты долгосрочных инвестиций. Среднесрочные облигации занимали промежуточное место.

В качестве переменных выбраны средневзвешенные по объему торгов цены облигаций. Такой выбор не является бесспорным. Более распространенный подход к анализу нескольких финансовых активов предполагает рассмотрение их одновременных доходностей. Так, Пересецкий и Ивантер (1999) вычисляют однодневные доходности ГКО и ОФЗ. Уровень цен ГКО, ОФЗ, акций используются Дорофеевевым (1998), который отмечает, что применение темпов прироста цен не вполне оправдано с точки зрения временных задержек воздействия одних индикаторов на другие.

Оценки безусловной корреляции четырех сегментов рынка ГКО представлены в таблице 13. В наибольшей степени коррелируют смежные сегменты; так, корреляция GKO6 и GKO12 составляет 0,95.

Динамика условных дисперсий изучаемых  переменных характеризуется выраженной синхронностью. Замечательно, что уровни волатильности в любой момент времени находятся в полном соответствии со срочностью сегментов (т.е. волатильность возрастает при движении от GKO1 к GKO12).

Наибольший интерес представляют оцененные условные корреляции между GKO12 и GKO6, GKO3, GKO1 (экспоненциально сглаженные корреляции представлены на рисунках 13 и 14). Двум обстоятельствам мы придаем особое значение:

1. В июне–октябре 97 года корреляции приближаются к нулю и в сентябре–октябре того же года принимают отрицательные значения. Данное обстоятельство говорит о возможности страхования рисков путем отрицательной диверсификации средств между государственными облигациями различной срочности и свидетельствует об устойчивости рынка в целом.

 

 

2. 29 октября 97 года корреляции переживают стремительный подъем и в течение второй половины модельного периода (ноябрь 97 – август 98) остаются стабильно высокими. Увеличение корреляции между сегментами рынка можно объяснить серией отрицательных инноваций, вызванных одновременной продажей нерезидентами крупных пакетов государственных облигаций различной срочности.

 

 

Смирнов, Нагпал и Нейман (1998) предполагают: ‘Корреляция между развивающимися рынками увеличивается в периоды падения по сравнению с периодами роста. Этому способствуют установки риск-менеджмента, принятые в западных финансовых институтах. Ценные бумаги развивающихся стран относятся к рисковой части портфеля, и в кризисные моменты они сбрасываются с целью перевода капитала в менее рискованные активы; т.о., происходит отток капиталов со всех развивающихся рынков одновременно’. Вероятно, такие рассуждения справедливы и в отношении нескольких сегментов в рамках национального финансового рынка. Продажа нерезидентами крупных пакетов национальных ценных бумаг влечет одновременное падение цен и увеличение корреляции между ними.

В краткосрочной динамике оцененных  условных корреляций имеются видимые  различия, однако сравнение их средних  значений на характерных интервалах времени приводит к общим выводам (таблица 14). Цены ГКО коррелировали  слабее в течение первой половины модельного периода (январь–октябрь 97 года), чем во второй его половине (октябрь 97 года – август 98 года). В сентябре – октябре 97 года корреляции относительно низки. Все корреляции переживают резкое увеличение 29 октября 97 года; значения корреляций на 28 и 29 октября приведены в таблице 14.

Причинные (по Гранжеру) связи между  сегментами рынка изучались попарно. Были оценены VAR-модели с четырьмя лагами. Тестирование проведено с учетом условной гетероскедастичности, для  чего использовались оцененные матрицы условной ковариации между переменными. Для того, чтобы избежать ложной регрессии, все тесты проведены как для уровней, так и первых разностей.

Тесты для уровней обнаруживают двухстороннюю причинность между  смежными сегментами среднесрочных  и долгосрочных облигаций (GKO12 « GKO6, GKO6 « GKO3). Между несмежными сегментами имеются односторонние связи: долгосрочные и среднесрочные бумаги оказывают воздействие на краткосрочные бумаги, но не наоборот (GKO12 ® GKO3, GKO12, 6, и 3 ® GKO1). Тесты для первых разностей подтверждают двухсторонние причинные связи между GKO12 и GKO6, GKO6 и GKO3, однако не позволяют принять гипотезы о влиянии GKO12 ® GKO1 и 3. С другой стороны, обнаруживается обратная связь от коротких бумаг к длинным: GKO1® GKO3, GKO6.