ARCH процессы. Определение, модели, приложения

(3.10) .

Для дальнейшего изложения существенно, что соотношения (3.3)-(3.10) были выведены вне связи с гипотезой (N). 

 

ИНФОРМАЦИОННАЯ МАТРИЦА.

В теории метода максимального правдоподобия  известно равенство 

(3.11) ,

которое нетрудно установить и в данном случае. Внешнее произведение вклада t-го наблюдения в градиент содержит в степени от первой до четвертой. Условные мат. ожидание и дисперсия истинных остатков определены равенствами (М.3)-(М.4), тогда как для вычисления третьего и четвертого моментов необходимо прибегнуть к дополнительному предположению (N). (3.11) влечет равенство

(3.12) ,

однако  вычислить полные ожидания не представляется возможным.

В некоторых случаях вектор q можно разделить на компоненты b и g , первая из которых параметризует условное среднее, вторая – условную дисперсию. Тогда , однако даже в этом случае . Если, кроме того, распределение симметрично, выполнены некоторые ограничения на функциональную форму , то информационная матрица является блочно-диагональной:

.

Engle (1982) приводит набор достаточных  условий и формальное доказательство  для ARCH(q)-N модели. Блочная диагональность информационной матрицы между параметрами b и g означает, что оценки параметров среднего состоятельны даже при неверной спецификации функции условной дисперсии. В частности, оценки методом наименьших квадратов являются состоятельными, однако, выигрыш в эффективности от использования ММП по сравнению с МНК может оказаться сколь угодно великим. Более того, оценки g, полученные на основе состоятельных, но не эффективных оценок b (например, на основе МНК), сохраняют свойство асимптотической эффективности.

Не  обладают свойством блочной диагональности информационные матрицы ARCH-M моделей: для них разбиения q = (b, g) не существует. Иное исключение составляют EGARCH модели и другие, в которых является асимметричной функцией остатков. Присутствие ошибок в спецификации функции условной дисперсии приводит к несостоятельности оценок параметров среднего, и наоборот. Состоятельное оценивание требует верной спецификации полной модели.

При определенных условиях регулярности оценки максимального правдоподобия состоятельны, асимптотически нормальны и эффективны с асимптотической матрицей ковариации

(3.13) .

Существуют  два базовых способа состоятельно оценить информационную матрицу. Первый способ основан на связи информационной матрицы и гессиана (равенства (3.11)-(3.12)). В качестве оценки приемлема матрица , где

(3.14) .

Данная оценка построена как  сумма выражений вида , причем участвующие в функции исчислены в точке .

Второй способ вытекает из равенства (3.10) для информационной матрицы. Опустив знаки мат. ожиданий и воспользовавшись оценками неизвестных параметров, приходим к

(3.15) .

Второй  способ восходит к статье Berndt, Hall, Hall, and Hausman и потому называется BHHH. Другое название - метод внешнего произведения градиента (outer product of the gradient, OPG).

Как , так и состоятельны для I. Обращенная информационная матрица служит оценкой матрицы ковариации оценок максимального правдоподобия . Возможны, следовательно, два выражения:

(3.16.а) 

(3.16.б) . 

2.2 НАРУШЕНИЯ ГИПОТЕЗЫ  ОБ УСЛОВНОЙ НОРМАЛЬНОСТИ: МЕТОД  КВАЗИ-МАКСИМАЛЬНОГО ПРАВДОПОДОБИЯ. 

Гипотезу (N) позволяет протестировать верное в нуле свойство независимости и нормальной распределенности стандартизованных остатков. Как правило, гипотеза отклоняется из-за того, что оцененные демонстрируют положительный куртозис. Реже причиной отклонения нулевой гипотезы становится асимметрия (необходимые ссылки представлены Bollerslev, Chou и Kroner (1992)).

Рядом авторов реализован ММП в предположении  о том, что плотность распределения  принадлежит некоторому параметризованному семейству ¦(z,u). Так, Bollerslev (1987), Nelson (1990), Bollerslev, Engle и Nelson (1993) применяют, соответственно, t-Стьюдента, GED, и обобщенное t-Стьюдента распределения. Плотности t и GED имеют единственный параметр, регулирующий величину куртозиса, плотность обобщенного t-распределения имеет два параметра и включает t и GED как частные случаи (свойства GED обсуждались в параграфе 2). Параметры u и q оцениваются одновременно максимизацией логарифмической функции правдоподобия

.

С точки зрения асимптотической эффективности ММП с корректно определенной функцией плотности ¦ (× ,× ) является наилучшим решением. Реализация его, однако, технически крайне трудна: поскольку производные соответствующих функций правдоподобия не могут быть представлены аналитически, для максимизации их прибегают к методам численного дифференцирования.

Качество  подбора функции плотности ¦ (× ,× ) можно установить, сравнивая фактическое и ожидаемое количества таких значений , которые превосходят некоторое заданное Z. В этом смысле GED не вполне адекватно отражает частоту “хвостовых событий”: фактическое число выбросов гораздо больше, чем если бы были реализациями GED-распределенной случайной величины со значением параметра u , равным оцененному. Кроме того, t и GED симметричны, тогда как асимметрия – одна из важных особенностей изучаемых в данной работе российских финансовых активов. По этим причинам ММП был предпочтен методам квази-максимального правдоподобия и моментов. Среди других распределений, примененных при оценивании ARCH модели, – смесь нормального и логнормального, нормального и Пуассона распределений.

Установлено, что максимизация критериальной  функции (3.1)-(3.2) приводит к состоятельным  и асимптотически нормальным оценкам  независимо от того, как именно распределены случайные величины . В тех случаях, когда истинное распределение неизвестно, эту процедуру принято называть методом квази- (псевдо-) максимального правдоподобия (МКМП). Отличие ее от традиционного ММПсостоит в матрице ковариации оценок:

(3.17)

.

Равенство неверно в общем случае без предположения об условной нормальности, поэтому (3.17) не эквивалентно (3.13). МКМПнеизбежно приводит к потере асимптотической эффективности. Потери эффективности, возникающие, в частности, при t-распределенных ошибках невелики, однако могут быть весьма существенными, если распределение ошибок асимметрично.

Для вывода равенств (3.5), (3.6), (3.8), и (3.10) предположение (N) не привлекалось, все они являются следствием верной спецификации функций условного среднего и дисперсии, т.е. (M.1)-(M.2). Поэтому матрица остается состоятельной для гессиана, – состоятельной для информационной матрицы. Однако и не являются асимптотически эквивалентными, как не являются асимптотически эквивалентными минус гессиан и информационная матрица. Оценкой ковариацонной матрицы КМП-оценок служит

(3.18) .

Оценка (3.18) устойчива к нарушению гипотезы об условной нормальности в том смысле, что остается состоятельной для  ковариации оценок, полученных максимизацией (3.1)-(3.2). Оценки и при указанном нарушении свойства состоятельности не сохраняют.

ТЕСТИРОВАНИЕ

Асимптотическая нормальность оценок КМП позволяет воспользоваться стандартными процедурами. Пусть нулевая гипотеза формулируется как

(3.19) ,

где дифференцируема на и l<m. Если и матрица имеет ранг l, то применима статистика Вальда

(3.20) ,

где - оценки параметров при альтернативной гипотезе (оценки полной модели, без ограничений (3.19)), - состоятельная оценка ковариации . При верной гипотезе (N) следует использовать , в противном случае - . Верно предположение (N) или нет, в нуле статистика Вальда имеет асимптотическое хи-квадрат распределение с m-l степенями свободы. Тест Вальда

(3.21)

где - 5%-й квантиль распределения, характеризуется асимптотической ошибкой первого рода 5%: вероятность отвергнуть тогда как она верна

при увеличении числа наблюдений сходится к 

.

Асимптотические результаты могут  оказаться неприемлемыми для  малых выборок и при некорректном выборе матрицы  . Bollerslev и Wooldridge (1992) сообщают результаты имитационных экспериментов, проливающих свет на характер искажений, связанных с использованием в тестировании несостоятельных оценок при нарушении гипотезы (N). Общий вывод исследования состоит в следующем: ковариационные матрицы систематически недооценивают истинные размеры стандартных ошибок.

Схема исследования такова. Построены 1000 реализаций AR(1)-GARCH(1,1) процесса, имеющего условное распределение. Для каждой реализации вычислены

• оценки параметров истинной модели;
• ковариационные матрицы оценок трех типов: , , . Эти типы будем вслед за авторами называть соответственно RB (от robust - устойчивый), HE (от hessian - гессиан), OPG (от outer product of the gradient - внешнее произведение градиента).
• статистики Вальда для верной нулевой гипотезы

(3.19) трех типов по общей формуле  (3.20). Тип статистики определяется  типом оценки вариационной матрицы,  применяемой в (3.20) - RB, HE, или OPG.

Имитационные эксперименты позволяют построить эмпирические распределения трех вариантов статистики Вальда при верной нулевой гипотезе, которые затем сопоставляются с хи-квадрат распределением. Полученные распределения имеют более толстые хвосты, чем . Так, например, доля реализаций статистики Вальда типов HE и OPG, лежащих правее 5%-го квантиля , больше 0.05, скажем, 0.1. Это означает, что тест (3.18) имеет ошибку первого рода 10%, а не 5%. Иными словами, вероятность отвергнуть нулевую гипотезу в то время как она верна составляет 0.1:

.

Распределение RB-статистики близко к . Использование устойчивой формы статистики Вальда, как и следовало ожидать, предпочтительнее двух других, причем OPG-статистика наименее точна. Таким образом, как , так и систематически преуменьшают вариацию оценок и вводят в заблуждение относительно того уровня значимости, с которым нуль может быть отвергнут.

Точность всех форм статистик снижается  при переходе к несимметричному  распределению . Аналогичные результаты были получены и для LM статистики.

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ НАХОЖДЕНИЯ ОЦЕНОК

Значения, доставляющие максимум критериальной функции (с соответствующими оговорками), удовлетворяют условиям первого порядка

(3.22) .

Нахождение численного решения системы (3.22) предполагает реализацию алгоритма, i-й шаг которого задается формулой

(3.23) .

- некоторая симметричная, положительно  определенная матрица размерности m´ m. В качестве могут быть использованы гессиан или оценка информационной матрицы, вычисленные на i-м шаге с использованием . Стационарная точка последовательности удовлетворяет (3.22).

Для упрощения вычислений разработан прием, называемый искусственной регрессией (auxiliary regression): вектор приращений параметров приводится к характерному виду при помощи некоторых искусственных переменных A и C.

Запишем в форме искусственной  регрессии шаг алгоритма, использующего  в качестве взвешивающей матрицы  минус условный гессиан  . Воспользуемся матрицей регрессоров размерности 2n´ m и 2n-компонентным вектором зависимой переменной

, .

Градиент и минус гессиан  записываются через переменные A и C как

Шаг алгоритма приобретает вид 

.

Запишем искусственную регрессию  для алгоритма со взвешивающей матрицей вида . Независимые переменные данной регрессии формируют n´ m матрицу вкладов в градиент со строками . В качестве независимой переменной выступает n´ 1 вектор i , все компоненты которого равны единице. Тогда

Шаг алгоритма приобретает вид

.

Выбор матрицы F в (3.22) влияет на скорость сходимости алгоритма. С этой точки зрения рассмотренная выше форма HE взвешивающей матрицы предпочтительнее OPG. Для оптимизации скорости сходимости алгоритма можно корректировать длину вектора изменения параметров в заданном направлении с помощью дополнительного параметра l :

.

Целесообразно выбирать l , максимизируя по нему критериальную функцию:

.

Использование l особенно полезно тогда, когда точка максимума критериальной функции лежит вблизи границы Q . В этих случаях промежуточные оценки, вычисляемые с помощью (3.23), могут оказаться вне Q , что приводит к остановке алгоритма.

2.3 ОБОБЩЕННЫЙ  МЕТОД МОМЕНТОВ

Обобщенный метод моментов (ОMM) обладает следующими достоинствами:

1. не требует явных предположений относительно плотности условного распределения и допускает присутствие ненулевых куртозиса и асимметрии;
2. использует лишь производные первого порядка функций и и позволяет избежать тем самым применения методов численного дифференцирования;
3. асимптотически более эффективен, чем МКМП. Проверка метода на выборочных данных, демонстрирующих экстремально высокие коэффициенты асимметрии и куртозиса, свидетельствует о значительном выигрыше в эффективности.

Дополним модель (М.1)-(М.4) предположениями относительно третьего и четвертого моментов распределения :

(М.5)

(М.6) ,

где - постоянные коэффициенты асимметрии и куртозиса. Стандартизованные остатки в точке тогда имеют первые четыре момента, равные соответственно 0, 1, . Гипотеза нормальности формулируется как .

Спецификация (М) обеспечивает две группы уравнений, идентифицирующих истинные значения параметров. Пусть

– строка из двух элементов, которую  далее будем обозначать, опуская  аргументы  и . Мат. ожидания существуют для всех q Î Q и обращаются в ноль единственным . В этом смысле система уравнений

(3.19)

идентифицирует истинный вектор параметров. Определим условные матрицу ковариации и якобиан  в точке как

(3.20)

(3.21) .

Класс оценок ОММ порождается различными наборами инструментальных переменных, выбор которых ограничен последовательностью  . Асимптотическая ковариационная матрица ОММ оценок ограничена снизу, причем существует набор оптимальных инструментов, приводящий к эффективным оценкам.

Пусть l инструментов могут быть организованы в матрицу размерности l´ 2n, где - часть матрицы размерности l´ 2, относящаяся к наблюдению t (вклад данного наблюдения в матрицу инструментов). Требуется, чтобы число инструментов было не меньше числа оцениваемых параметров, т.е. l ³ m, и чтобы к моменту t значения были известны: ; можно указать бесконечное число инструментальных переменных. Эмпирические моменты, соответствующие данному набору инструментов могут быть выражены как

(3.21) .

Матрица условной ковариации эмпирических моментов в точке  равна

(3.22) .

Если l=m, то оценки находятся решением системы m уравнений