Анализ технологических систем на основе математических моделей систем массового обслуживания

 

Анализ технологических систем на основе

математических моделей  систем массового обслуживания

 

Цель работы: Получение и закрепление навыков формализации технологических систем с использованием аппарата систем массового обслуживания (СМО); построения и использования при исследованиях имитационной модели технологической системы, реализованной на базе GPSSW; проведение аналитических расчетов и имитационных экспериментов по оценке характеристик (показателей эффективности) функционирования технологических систем.

 

1. Математическое моделирование систем массового обслуживания

 

1.1 Аналитическое моделирование СМО

 

В теории массового обслуживания аналитические решения были получены лишь для систем с детерминированным  временем поступления и временем обслуживания заявок и n – каналами обслуживания, систем с марковскими процессами (без последствий) распределения времени поступления и обслуживания с n – каналами обслуживания и некоторых смешанных систем. Кроме того, при построении аналитических моделей не учитывалась неоднородность, неординарность и нестационарность потока заявок, а также приоритеты заявок. В тоже время в моделях учитывались: характер поведения заявок в системе (системы с неограниченной очередью, с ограниченной очередью и с отказом), ограниченность потока заявок (разомкнутые и замкнутые) и в некоторой степени этапность обслуживания.

Рассмотрим аналитические модели для некоторых СМО.

 

1.1.1 n-канальная разомкнутая СМО с неограниченной очередью на обслуживание требований

 

1.1.1.1 Заданные условия функционирования СМО

 

- Число каналов обслуживания  – n.

- Число требований  поступающих в систему – неограниченно.

- Число требований  находящихся в очереди – неограниченно.

- Среднее  время между поступлениями двух  смежных требований – t_з.

- Среднее время обслуживания одного требования – t_об.

 

1.1.1.2 Показатели эффективности функционирования СМО

 

- Коэффициент использования  канала обслуживания – К_исп.

- Вероятность  занятого состояния каналов обслуживания – P_зан.

- Среднее число требований  находящихся в системе – N_ср.

- Среднее число требований  находящихся в очереди – N_оч.

- Среднее время пребывания  требования в системе – Т_ср.

- Среднее время пребывания  требования в очереди – Т_оч.

 

1.1.1.3 Аналитические модели СМО

 

1.1.1.3.1 Интенсивность потока требований на обслуживание, мин^-1

.     (1)

1.1.1.3.2 Интенсивность обслуживания требований, мин^-1

.    (2)

1.1.3.3 Приведенная интенсивность  потока требований

.     (3)

1.1.1.3.4 Финальные вероятности состояний системы

,    (4)

   (5)

 

1.1.1.3.5 Коэффициент использования одного канала

.    (6)

 

1.1.1.3.6 Вероятность того, что все n каналов заняты

.   (7)

 

1.1.1.3.7 Среднее число требований находящихся в системе

. (8)

 

1.1.1.3.8 Среднее число требований находящихся в очереди

.  (9)

1.1.1.3.9 Среднее время пребывания требования в системе, мин

.              (10)

1.1.1.3.10 Среднее время пребывания требования в очереди, мин

.              (11)

 

1.1.2 n-канальная разомкнутая СМО с ограниченной очередью на обслуживание требований

 

1.1.2.1 Заданные условия функционирования СМО

 

- Число каналов обслуживания  – n.

- Число требований поступающих  в систему – неограниченно.

- Число требований находящихся  в очереди – m.

- Среднее время между  поступлениями двух смежных требований  – t_з.

- Среднее время обслуживания  одного требования – t_об.

 

1.1.2.2 Показатели эффективности функционирования СМО

 

- Коэффициент использования  канала обслуживания – К_исп.

- Вероятность  занятого состояния каналов обслуживания – P_зан.

- Среднее число требований  находящихся в системе – N_ср.

- Среднее число требований находящихся в очереди – N_оч.

- Среднее время пребывания  требования в системе – Т_ср.

- Среднее время пребывания  требования в очереди – Т_оч.

 

1.1.2.3 Аналитические модели СМО

 

1.1.2.3.1-1.1.2.3.3 λ, μ и ρ определяются по формулам (1), (2) и (3) соответственно.

 

1.1.2.3.4 Финальные вероятности состояний системы

,              (12)

              (13)

1.1.2.3.5 Коэффициент использования одного канала

.             (14)

 

1.1.2.3.6 Вероятность того, что все n каналов заняты

.              (15)

 

1.1.2.3.7 Среднее число требований находящихся в системе

.              (16)

 

1.1.2.3.8 Среднее число требований находящихся в очереди

.                         (17)

1.1.2.3.9 Среднее время пребывания требования в системе, мин

.              (18)

1.1.2.3.10 Среднее время пребывания требования в очереди, мин

.              (19)

 

 

1.1.3 n-канальная разомкнутая СМО с отказами в обслуживании требований

 

1.1.3.1 Заданные условия функционирования СМО

 

- Число каналов обслуживания  – n.

- Число требований поступающих  в систему – неограниченно.

- Число требований  находящихся в очереди – 0.

- Среднее  время между поступлениями двух  смежных требований – t_з.

- Среднее время обслуживания  одного требования – t_об.

 

1.1.3.2 Показатели эффективности функционирования СМО

 

- Коэффициент использования  канала обслуживания – К_исп.

- Вероятность отказа в обслуживании – P_отк.

- Относительная пропускная  способность – Q.

- Абсолютная пропускная  способность – А.

- Среднее число занятых  каналов – К_ср.

 

1.1.3.3 Аналитические модели СМО

 

1.1.3.3.1-1.1.3.3.3 λ, μ и ρ определяются по формулам (1), (2) и (3) соответственно.

 

1.1.3.3.4 Финальные вероятности состояний системы

,                   (20)

                            (21)

 

 

 

 

1.1.2.3.5 Вероятность отказа в обслуживании

.              (22)

 

1.1.2.3.6 Относительная пропускная способность

.               (23)

 

1.1.2.3.7 Абсолютная пропускная способность, числ. треб./мин

.                           (24)

 

1.1.2.3.8 Среднее число занятых каналов

.               (25)

1.1.3.3.9 Коэффициент использования одного канала

.               (26)

 

1.1.4 n-канальная замкнутая СМО с очередью на обслуживание требований

 

1.1.4.1 Заданные условия функционирования СМО

 

- Число каналов обслуживания  – n.

- Число требований  поступающих в систему – m.

- Максимальное число требований находящихся в очереди – m - n.

- Среднее  время между поступлениями двух  смежных требований – t_з.

- Среднее время обслуживания  одного требования – t_об.

 

1.1.4.2 Показатели эффективности функционирования СМО

 

- Вероятность  занятого состояния каналов обслуживания – P_зан.

- Среднее число требований  находящихся в системе – N_ср.

- Среднее число требований  находящихся в очереди – N_оч.

- Среднее время пребывания требования в системе – Т_ср.

- Среднее время пребывания  требования в очереди – Т_оч.

- Среднее использование канала  обслуживания – R_м.

- Среднее использование одного  источника требований – R_ст.

- Коэффициент простоя при многоканальном  обслуживании – К_с.

 

1.1.4.3 Аналитические модели СМО

 

1.1.4.3.1-1.1.4.3.3 λ, μ и ρ определяются по формулам (1), (2) и (3) соответственно.

 

1.1.4.3.4 Финальные вероятности состояний системы

,             (27)

              (28)

 

1.1.4.3.5 Вероятность того, что все n каналов заняты

.               (29)

 

1.1.4.3.6 Среднее число требований находящихся в системе

.               (30)

 

1.1.4.3.7 Среднее число требований находящихся в очереди

.                         (31)

1.1.4.3.8 Среднее время пребывания требования в системе, мин

.              (32)

1.1.4.3.9 Среднее время пребывания требования в очереди, мин

.              (33)

 

1.1.4.3.10 Среднее использование канала обслуживания

.               (34)

 

1.1.4.3.11 Среднее использование одного источника требований

.               (35)

1.1.4.3.12 Коэффициент простоя при многоканальном обслуживании

.               (36)

 

 

 

 

 

 

 

 

1.2 Имитационное моделирование СМО, реализованных на базе общецелевой системы имитационного моделирования GPSSW

 

Аналитические модели были получены лишь для немногих СМО, для остальных систем они не были получены. Наличие такой проблемы мотивирует использование для определения характеристик СМО имитационного моделирования.

Имитационная модель представляется в виде программы, состоящей из набора операторов (блоков), каждый из которых записывается в отдельной строке. Операторы имеют структуру, состоящую следующих полей:

- поле номера оператора (не  обязательное для заполнения),

- поле метки оператора (обязательно только для некоторых операторов),

- поле имени оператора,

- поле переменных, включает от 1 до 8-ми подполей, разделенных запятыми,

- поле комментариев (не обязательное для заполнения).

Поля отделяются друг от друга пробелами.

С помощью оператором в имитационной модели реализуются объекты большинства  других категорий и типов.

В имитационной программе объекты  располагаются, как правило, в порядке их использования в модели.

Порядок прохождения  требованиями блоков: от первого блока, где они были сгенерированы, последовательно  до последнего, где они будут уничтожены, если не задан иной порядок прохождения блоков.

Для тех же самых СМО, для которых были приведены аналитические модели, рассмотрим имитационные модели, представленные на языке имитационного моделирования GPSS и реализованные в одноименной программной системе.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.2.1 n-канальная разомкнутая СМО с неограниченной очередью на обслуживание требований

 

1.2.1.1 Создание имитационной  модели на языке GPSS

В имитационной программе используются следующие объекты:

1.2.1.1.1 Источник заявок (генератор), который реализуется оператором

            GENERATE  (Exponential(1,0,t_з)) ;имитирует поступление требований в систему через интервалы времени, распределенные по экспоненциальному закону со средним значением времени t_з.

Уничтожение требований реализуется  оператором

         TERMINATE   1 ;1   означает,        что при поступлении требования в этот   блок из итогового счетчика завершений размером N (задается START   N) вычитается единица.

1.2.1.1.2 Объект статистической категории – очередь, который имитируется с помощью набора операторов

              QUEUE   otchered ;при  поступлении требования в этот   блок длина очереди с именем otchered увеличивается на 1 (значение по умолчанию).

DEPART   otchered ;при поступлении требования в этот   блок длина очереди с именем otchered уменьшается на 1 (значение по умолчанию). 

1.2.1.1.3 Объект аппаратной  категории – одноканальное устройство, которое имитируется с помощью набора операторов