Система массового обслуживания с ожиданием

Министерство образования Нижегородской области

ГБОУ СПО «Перевозский строительный колледж»

 

Специальность: 230115 Программирование       Работа защищена с оценкой

в компьютерных системах                                     «________________»                                                                    

Дисциплина: Математические методы                       (прописью)

Форма обучения: очная                                           ___________________________

Группа: 4-12                                                             (подпись)  (ФИО руководителя курсовой работы)

                                                                            «___» _____________201 г.

 

 

 

Курсовая работа

Тема: «Системы массового обслуживания с ожиданием»

 

 

Исполнитель: Карасев Сергей Сергеевич

«___» _____________2013 г.

Руководитель: ФИО руководителя

«___» _____________2013 г.

 

 

 

 

Г. Перевоз,

2013г.

Оглавление

Введение . . . . . . . . . . .3

Теоретическая часть:

Глава 1 «Историческая справка»:

1.1  История открытия теории массового обслуживания . . .4

2.   Предмет,  цель и задачи теории массового обслуживания        .        .    5

Глава 2  «Системы массового обслуживания»:

1. Общая характеристика систем массового обслуживания           .         .      7
2.   Структура системы массового облуживания          .         .         .          .     9
3.   Классификация систем массового обслуживания  .          .        .          .    10
4.   Потоки событий   .          .         .          .           .          .         .        .          .    12
5.   Случайные процессы. Марковские процессы          .         .        .          .    13
6.   Процессы гибели и размножения       .           .          .         .        .          .    15

Глава 3  «Теория массового обслуживания с ожиданием»:

1.   Системы массового обслуживания с ожиданием     .         .        .         .    16
1. Одноканальная СМО с ожиданием и ограниченной очередью       .    16
2. Многоканальная СМО с ожиданием          .          .         .        .         .    19

Практическая часть

 

Заключение;

Список литературы;

Примечание.

 

Введение

Высокая значимость и недостаточная практическая разработанность теории "Системы массового обслуживания с ожиданием" определяют несомненную новизну данного исследования.  Дальнейшее внимание к вопросу о теории "Системы массового обслуживания с ожиданием" необходимо в целях более глубокого и обоснованного разрешения частных актуальных проблем тематики данного исследования.  Актуальность настоящей работы обусловлена, с одной стороны, большим интересом к теории "Системы массового обслуживания с ожиданием" в современной науке, с другой стороны, ее недостаточной разработанностью. Рассмотрение вопросов связанных с данной тематикой носит как теоретическую, так и практическую значимость.

В этой исследовательской работе ставится цель изучения и наглядного отображения реализации воздействия систем массового обслуживания на события, происходящие в реальной жизни, путем изложения необходимой теории, а так же  решения практической задачи.

Предметом исследования являются методы реализации системы массового обслуживания (схемы, формулы, графики).

Объектом исследования в данной курсовой работе являются  системы массового обслуживания с ожиданием.

Задачей данного исследования является: выявления «истоков» систем массового обслуживания, характеристика систем массового обслуживания, исследование и применение механизмов реализации систем массового обслуживания решение практической задачи.

 

 

 

                                           

1.1 История открытия ТМО

Сложный характер рыночной экономики и современный уровень предъявляемых к ней требований стимулируют использование более серьезных методов анализа ее теоретических и практических проблем. В последние десятилетия значительный вес в экономических исследованиях приобрели математические методы. Математическое моделирование все более и более становится одним из основных и наиболее плодотворных методов изучения экономических процессов и объектов. Математический анализ экономических задач органично превращается в часть экономики.  Положительная оценка этого подтверждается и тем,  что начиная с 1969 г. Нобелевские премии в области экономики присуждаются, как правило, за экономико-математические исследования.  Одним из важных разделов экономико-математического моделирования является теория массового обслуживания, представляющая собой теоретические основы эффективного конструирования и эксплуатации систем массового обслуживания.  Системы массового обслуживания (СМО)  встречаются во многих областях экономики  (производство,  техника, военная область, быт и др.) и предназначены для многократного использования при   выполнении однотипных задач. [1]

Теория массового обслуживания (ТМО) — область прикладной математики, занимающаяся анализом процессов в системах производства, обслуживания, управления, в которых однородные события повторяются многократно.   [3]

  Основоположником теории массового обслуживания считается датский ученый      А.  К. Эрланг. Являясь сотрудником Копенгагенской телефонной компании, он опубликовал в 1909 году работу «Теория вероятностей и телефонные переговоры», в которой решил ряд задач по теории систем массового обслуживания с отказами, в период между 1908 и 1922 годами. Перед ним стояла задача упорядочить работу телефонной станции и заранее рассчитать качество обслуживания потребителей в зависимости от числа используемых устройств.  

Значительный вклад в создание и разработку общей теории массового обслуживания внес выдающийся советский математик Александр Яковлевич Хинчин (1984 – 1959), который предложил сам термин теория массового обслуживания. В зарубежной литературе чаще используется название теория очередей  [2]

1.2 Предмет, цель и задачи теории массового обслуживания

Цель теории массового обслуживания — выработка рекомендаций по рациональному построению систем массового обслуживания, организации их работы и регулированию потока заявок для обеспечения высокой эффективности функционирования.

Предметом  теории массового обслуживания является построение математических моделей, связывающих заданные условия работы СМО (число каналов, их производительность, характер потока заявок и т.п.) с показателями эффективности СМО, описывающими ее способность справляться с потоком заявок.

Задачи теории массового обслуживания носят оптимизационный характер и в конечном счете включают экономический аспект по определению такого варианта системы, при котором будет обеспечен минимум суммарных затрат от ожидания обслуживания, потерь времени и ресурсов на обслуживание и простоев каналов обслуживания. [3]

2.1 Общая характеристика  систем массового обслуживания

Основополагающим определением в теории массового обслуживания (ТМО), является система массового обслуживания (СМО). Система массового обслуживания— система, которая производит обслуживание поступающих в неё требований. Обслуживание требований в СМО производится обслуживающими приборами. Классическая система массового обслуживания содержит от одного до бесконечного числа приборов. Каждая система массового обслуживания включает в свою структуру некоторое число обслуживающих устройств (единиц, приборов, линий), которые называют каналами обслуживания. Роль каналов могут играть лица,  выполняющие те или иные операции  (кассиры,  операторы,  продавцы,  парикмахеры и т.д.), линии связи, автомашины, краны, ремонтные бригады, железнодорожные пути, бензоколонки и т.д. [4]

Целью теории систем массового обслуживания является выработка рекомендаций по рациональному построению системы массового обслуживания и рациональной организации их работы и регулированию потока заявок. Отсюда вытекают задачи, связанные с теорией массового обслуживания: установление зависимостей работы системы массового обслуживания от ее организации, характера потока заявок, числа каналов и их производительности, правил работы системы массового обслуживания. [5]

 

  В СМО поступает  поток заявок; часть из них  принимается на обслуживание  в каналы, часть ждет в очереди  на обслуживание, часть покидает  систему необслуженными. Эффективность функционирования СМО определяется её пропускной способностью – относительным числом обслуженных заявок.

Изучение СМО начинается с анализа входящего потока требований. Входящий поток требований представляет собой совокупность требований, которые поступают в систему и нуждаются в обслуживании. Входящий поток требований изучается с целью установления закономерностей этого потока и дальнейшего улучшения качества обслуживания.

В большинстве случаев входящий поток неуправляем и зависит от ряда случайных факторов. Число требований, поступающих в единицу времени, случайная величина. Случайной величиной является также интервал времени между соседними поступающими требованиями. Однако среднее количество требований, поступивших в единицу времени, и средний интервал времени между соседними поступающими требованиями предполагаются заданными.

Среднее число требований, поступающих в систему обслуживания за единицу времени, называется интенсивностью поступления требований и определяется следующим соотношением:

    (1)

где Т - среднее значение интервала между поступлением очередных требований. Одной из важнейших характеристик обслуживающих устройств, которая определяет пропускную способность всей системы, является время обслуживания.

Время обслуживания одного требования ( )- случайная величина, которая может изменяться в большом диапазоне. Она зависит от стабильности работы самих обслуживающих устройств, так и от различных параметров, поступающих в систему, требований (к примеру, различной грузоподъемности транспортных средств, поступающих под погрузку или выгрузку) .

Случайная величина полностью характеризуется законом распределения, который определяется на основе статистических испытаний.

При показательном законе распределения времени обслуживания вероятность события, что время обслуживания продлиться не более чем t, равна:

(2)

где v - интенсивность обслуживания одного требования одним обслуживающим устройством, которая определяется из соотношения:

, (3)

где - среднее время обслуживания одного требования одним обслуживающим устройством.

Важным параметром СМО является коэффициент загрузки , который определяется как отношение интенсивности поступления требований к интенсивности обслуживания v.

 (4)    

где a - коэффициент загрузки; - интенсивность поступления требований в систему; v - интенсивность обслуживания одного требования одним обслуживающим устройством.

Из (1) и (2) получаем, что

       (5)

Учитывая, что - интенсивность поступления требований в систему

в единицу времени, произведение показывает количество требований, поступающих в систему обслуживания за среднее время обслуживания одного требования одним устройством. [6]

Примерами систем массового обслуживания могут служить:

• посты технического обслуживания автомобилей;

• посты ремонта автомобилей;

• персональные компьютеры, обслуживающие поступающие заявки или     требования на решение тех или иных задач;

• станции технического обслуживания автомобилей;

• аудиторские фирмы;

• отделы налоговых инспекций, занимающиеся приемкой и проверкой текущей отчетности предприятий;

• телефонные станции и т. д. [7]

 

 

2.2  Структура системы массового обслуживания

Структурная схема систем массового обслуживания показана схематически на рис.1.

Таким образом, во всякой СМО можно выделить следующие основные элементы: