Система массового обслуживания с ожиданием

 
     Рассмотрим пример  одноканальной СМО с ожиданием. 
     Пример.  Специализированный пост диагностики представляет собой одноканальную СМО. Число стоянок для автомобилей, ожидающих проведения диагностики, ограниченно и равно 3, то есть (N— 1)=3. Если все стоянки заняты, т. е. в очереди уже находится три автомобиля, то очередной автомобиль, прибывший на диагностику, в очередь на обслуживание не становится. Поток автомобилей, прибывающих на диагностику имеет интенсивность λ=0,85 (автомобиля в час). Время диагностики автомобиля распределено по показательному закону и в среднем равно tоб=1,05 час. 
     Требуется определить вероятностные характеристики поста диагностики, работающего в стационарном режиме. 
     Решение 
     Интенсивность потока обслуживаний автомобилей: 
       
    

Приведенная интенсивность потока автомобилей определяется как отношение интенсивностей λ и μ, т.е. 
       
     Вычислим вероятности нахождения п заявок в системе: 
       
     P1=r∙P0=0,893∙0,248=0,221; 
     P2=r2∙P0=0,8932∙0,248=0,198; 
     P3=r3∙P0=0,8933∙0,248=0,177; 
     P4=r4∙P0=0,8934∙0,248=0,158. 
     Вероятность отказа в обслуживании автомобиля: 
     Pотк=Р4=r4∙P0≈0,158. 
     Относительная пропускная способность поста диагностики: 
     q=1–Pотк=1-0,158=0,842. 
     Абсолютная пропускная способность поста диагностики  
     А=λ∙q=0,85∙0,842=0,716 (автомобиля в час). 
     Среднее число автомобилей, находящихся на обслуживании и в очереди (т.е. в системе массового обслуживания): 
       
     Среднее время пребывания автомобиля в системе: 
         часа.           
     Средняя продолжительность пребывания заявки в очереди на обслуживание: 
     Wq=Ws-1/μ=2,473-1/0,952=1,423 часа. 
     Среднее число заявок в очереди (длина очереди): 
     Lq=λ∙(1-PN)∙Wq=0,85∙(1-0,158)∙1,423=1,02. 
     Работу рассмотренного поста диагностики можно считать удовлетворительной, так как пост диагностики не обнаруживает автомобили в среднем в 15,8% случаев (Ротк=0,158). [6]

3.1.2  Многоканальная СМО с ожиданием

         Рассмотрим многоканальную систему массового обслуживания с ожиданием. Процесс массового обслуживания при этом характеризуется следующим: входной и выходной потоки имеют интенсивности λ и μ соответственно, параллельно обслуживаться могут не более С клиентов, то есть система имеет С каналов обслуживания. Средняя продолжительность обслуживания одного клиента равна  .                                                         (15)

    Вероятности того, что в системе находятся п заявок (С обслуживаются, остальные ожидают в очереди) равна: 

                           (16)

где 

                                    (17)

Решение будет действительным, если выполняется следующее условие:  (18)

Остальные вероятностные характеристики функционирования в стационарном режиме многоканальной СМО с ожиданием и неограниченной очередью определяется по следующим формулам: 
среднее число клиентов в очереди на обслуживание:

                                            (19)

среднее число находящихся в системе клиентов (заявок на обслуживание и в очереди) 
     LS=Lq+ρ;                                                             (20) 
     средняя продолжительность пребывания клиента (заявки на обслуживание) в очереди:

                                                    (21)

средняя продолжительность пребывания клиента в системе:

                                                      (22)

Рассмотрим примеры многоканальной системы массового обслуживания с ожиданием. 
     Пример. Механическая мастерская завода с тремя постами (каналами) выполняет ремонт малой механизации. Поток неисправных механизмов, прибывающих в мастерскую,  - пуассоновский и имеет интенсивность λ=2,5 механизма в сутки, среднее время ремонта одного механизма распределено по показательному закону и равно tоб=0,5 сут. Предположим, что другой мастерской на заводе нет, и, значит, очередь механизмов перед мастерской может расти практически неограниченно.  
     Требуется вычислить следующие предельные значения вероятностных характеристик системы: 
     - вероятность состояний системы; 
     - среднее число заявок в очереди на обслуживание; 
     - среднее число находящихся в системе заявок; 
     - среднюю продолжительность пребывания заявки в очереди; 
     - среднюю продолжительность пребывания заявки в системе. 
     Решение 
Определим параметр потока обслуживаний

 

 Приведенная интенсивность потока заявок 
     ρ=λ/μ=2,5/2,0=1,25, 
     при этом λ/μ ∙с=2,5/2∙3=0,41<1. 
     Поскольку λ/μ∙с<1, то очередь не растет безгранично и в системе наступает предельный стационарный режим работы. 
     Вычислим вероятности состояний системы:

 

 

Вероятность отсутствия очереди у мастерской  Ротк≈Р0+Р1+Р2+Р3≈0,279+0,394+0,218+0,091=0,937. 
     Среднее число заявок в очереди на обслуживание: 

Среднее число находящихся в системе заявок 
     Ls=Lq+ =0,111+1,25=1,361. 

Средняя продолжительность пребывания механизма в очереди на обслуживание:

 суток.

Средняя продолжительность пребывания механизма в мастерской (в системе):

  суток   [12]

 

Вывод

В теоретической части данной исследовательской работы была  рассмотрена история возникновения теории массового обслуживания, были проанализированы предмет,  цель и задачи теории массового обслуживания, а так же представлена общая характеристика систем массового обслуживания и была определена структура систем массового обслуживания.

Были  определены след понятия как: каналы обслуживания, очередь, выходящий поток требований, марковский процесс, случайные процессы, а так же процессы гибели и размножения.

 

 

 

 

 

В результате создания исследовательской работы: «СМО с ожиданием», были выполнены все цели,  представленные во введении. Мы познакомились с историей создания систем массового обслуживания. Так же была проведена полная характеристика СМО и их непосредственных элементов. Данная курсовая работа отражает суть работы систем массового обслуживания, путем решения примерных  практических задач, с подробным изучением всех протекающих процессов в системах массового обслуживания.

 

Список литературы

1. http://www.wikiznanie.ru
2. http://www.wikipedia.org/wiki/
3. http://www.dis.ru/library/detail.php?ID=26707
4. http://zxshader.narod.ru
5. http://vtit.kuzstu.ru/stat/template/enterprises/e8description.htm
6. http://math.immf.ru/lections/206.html
7. http://mathhelpplanet.com/static.php?p=sistema-massovogo-obsluzhivaniya
8. http://window.edu.ru/resource/124/47124/files/sssu068.pdf
9. http://lib.convdocs.org
10. http://portal.tpu.ru/SHARED/l/LASUKOV/ms/Tab1/g5.pdf

11)   http://sysmodel.ru/markov

12)  http://masteroid.ru/content/view/909/42/

 13 ) Учеб. пособие для  вузов / Н. Ш. Кремер, Б. А. Путко,  И.М. Тришин, М. Н. Фридман;  Под ред. проф. Н. Ж Кремера. - М: ЮНИТИ, 2002. - 407 с

 14 ) “Информационные системы в технике и технологиях”/ Составители: Лаврусь О.Е.,  Миронов Ф.С.. - Самара: СамГАПС, 2002.- 38с.