Представление о множестве как средство развития логического мышления у детей первого класса

Для понятия пустое множество детям дают такой набор картинок к сказке «Колобок» и просят дать название этому множеству. Потом просят назвать элементы этого множества, а далее звучит вопрос: «Перечислите элементы множества птиц в сказке «Колобок». Правильно в сказке не встречаются птицы, делаем вывод, если в множестве нет ни одного элемента – множество называется пустым.

И так чтобы задать множество необходимо перечислить элементы множества или назвать общие свойства этих элементов.22

Для определения понятия «подмножества» детям дают так же набор картинок: самолеты, машины, корабли и предлагают их сложить опять же в мешок и назвать одним словом – транспорт. Потом детей подводят к тому что все элементы маленьких множеств входят в состав большого подмножества – транспорт.

2.2. Отношения между множествами. Операции над множествами. Разбиение множества на классы.

Между двумя множествами существует пять видов отношений. Если множества А и В не имеют общих элементов, то говорят, что эти множества не пересекаются и записывают этот факт в виде А∩В =∅ . Например, А = { a , c , k }, В = { d , e , m , n }, общих элементов у этих множеств нет, поэтому множества не пересекаются.

Если множества А и В имеют общие элементы, т.е. элементы, принадлежащие одновременно А и В, то говорят, что эти множества пересекаются и записывают А∩В≠∅ . Например, множества А = { a , c , k } и В = { c , k , m , n } пересекаются, т. к. у них есть общие элементы c , k . 

Множество В является подмножеством множества А, если каждый элемент множества В является также элементом множества А. Пустое множество является подмножеством любого множества. Само множество является подмножеством самого себя. (пишут В⊂ А)23

Пустое множество и само множество называют несобственными подмножествами. Остальные подмножества множества А называются собственными. Для каждого множества, состоящего из n элементов можно образовать 2 n  подмножеств. Если рассматривают лишь подмножества некоторого множества U, то U называют универсальным множеством.

 Если множества А и В состоят из одних и тех же элементов, то они называются равными.

Например, А = { a , c , k , m , n } и В = { m , n , a , c , k }, А = В.

Существует пять случаев отношений между двумя множествами. Их можно наглядно представить при помощи особых чертежей, которые называются кругами  или диаграммами Эйлера-Венна.

Определение. Пересечением множеств А и В называется множество, содержащее все элементы, которые принадлежат множеству А и множеству В.

Пересечение множеств А и В обозначают А∩ В. Таким образом, по определению, А ∩ В = { х | х ∈ А их ∈ В}.

Определение. Объединением множеств А и В называется множество, содержащее все элементы, которые принадлежат множеству А или множеству В.

Для детей отношение между множествами сводится к более простому объяснению. Например, для не пересекающихся множеств детям дают такие картинки: на одной – роза, одуванчик, незабудка, а на второй – машина, трактор, самолет. Для выполнения этого задания детям предлагается назвать одним словом все что изображено на картинках, т.е. «цветы» и «транспорт». Далее их спрашивают о том есть ли у этих множеств предметов общее свойство. Потом учителем дается определение о не пересекающихся множествах и делается зарисовка кругами или диаграммами Э. Венна на доске.24

2.3. Математические понятия. Объем и содержание понятий. Определение понятий.

Всякий математический объект обладает определенными свойствами. Например, квадрат имеет четыре стороны, четыре прямых угла и др. Различают свойства существенные и несущественные.

Существенное свойство - свойство, без которого объект не может существовать.

Несущественное свойство - свойство, отсутствие которого не влияет на существование объекта.

 Для квадрата: АВСД  существенные свойства: АВ = ВС = СД =ДА, АВ║ ДС, АД ║  ВС;

несущественные свойства: АВ, ДС - горизонтальны, АД, ВС - вертикальны.

Если квадрат повернуть, сохранятся только существенные свойства, именно они и составляют понятие об объекте.

Рассмотрим пример для младших школьников, используя наглядный материал

Диалог:

 Опиши фигуру.

Маленький черный треугольник.

Большой белый треугольник.

Чем фигуры похожи?

Формой.

Чем фигуры отличаются?

Цветом, величиной.

Что есть у треугольника?

3 стороны, 3 угла.

Таким образом, дети выясняют существенные и несущественные свойства понятия «треугольник». Существенные свойства – «иметь три стороны и три угла», несущественные свойства - цвет и размеры.

Совокупность всех существенных свойств объекта называют содержанием понятия.

Совокупность всех объектов, обозначаемая одним термином, составляет объем понятия.

Например, содержание понятия «квадрат» - это совокупность всех существенных свойств, которыми обладают квадраты, а в объем этого понятия входят квадраты различных размеров.

Итак, любое понятие характеризуется:

• термином (название);
• объемом (совокупность всех объектов, называемых этим термином);
• содержанием (совокупность всех существенных свойств объектов, входящих в объем понятия).

Между объемом понятия и его содержанием существует связь: чем «больше объем понятия, тем «меньше» его содержание, и наоборот. Объем понятия «треугольник» «больше», чем объем понятия «прямоугольный треугольник», так как все объекты второго понятия являются и объектами первого понятия. Содержание понятия «треугольник» «меньше», чем содержание понятия «прямоугольный треугольник», так как прямоугольный треугольник обладает всеми свойствами любого треугольника и еще другими свойствами, присущими только ему.

Определение понятий.

Для распознавания объекта необязательно проверять у него все существенные свойства, достаточно лишь некоторых. Этим пользуются, когда понятию дают определение.

Определение понятия – это логическая операция, которая раскрывает содержание понятия либо устанавливает значение термина. Определение понятия позволяет отличать определяемые объекты от других объектов. Так, например, определение понятия «прямоугольный треугольник» позволяет отличить его от других треугольников.

Различают явные и неявные определения. Явные определения имеют форму равенства двух понятий. Одно из них называют определяемым другое определяющим.

Например: «Квадрат – это прямоугольник, у которого все стороны равны». Здесь определяемое понятие – «квадрат», а определяющее – «прямоугольник, у которого все стороны равны».

Самый распространенный вид явных определений - это определение через род и видовое отличие. Приведенное выше определение квадрата относится к таким определениям. Действительно, понятие «прямоугольник», содержащееся в определяющем понятии, является ближайшим родовым понятием по отношению к понятию «квадрат», а свойство «иметь все равные стороны» позволяет из всех прямоугольников выделить один из видов - квадраты.

Следует иметь в виду, что понятия рода и вида относительны. Так, «прямоугольник» – это родовое к понятию «квадрат», но видовое по отношению к понятию «четырехугольник».

Кроме того, для одного понятия могут существовать несколько родовых. Например, для квадрата родовыми являются ромб, четырехугольник, многоугольник, геометрическая фигура. В определении через род и видовое отличие для определяемого понятия принято называть ближайшее родовое понятие.

Таким образом, определение через род и видовое отличие имеет следующую структуру:

Определяемое = Род + Видовое

К явным определениям предъявляются определенные требования.

1) Определение должно  быть соразмерным. Например, нельзя  говорить, что окружность – это  линия, которая начинается и кончается  в одной точке. Этому определению удовлетворяют много линий, не являющихся окружностями.

2) В определении (или их  системе) не должно быть порочного  круга. Это означает, что нельзя  определять понятие через само  себя. Например, содержит порочный  круг определение: «Касательная  к окружности – это прямая, которая касается окружности».

3) Определение должно  быть ясным и минимальным. Нельзя  определять прямоугольник как  параллелограмм с прямым углом, если понятие «параллелограмм»  еще не рассмотрено. В определении  не должно быть лишних свойств. Например, неправильным будет определение: «Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны и равны». Равенство сторон в определении не нужно указывать, так как оно вытекает из свойств параллелограмма.

Существуют неявные определения. В их структуре нельзя выделить определяемое и определяющее понятия. Среди них выделяют контекстуальные и остенсивные определения.

В контекстуальных определениях содержание нового понятия раскрывается через отрывок текста, через контекст, через анализ конкретной ситуации, описывающей смысл вводимого понятия. Например, в начальной школе понятие уравнения можно ввести так: «К какому числу надо прибавить 6, чтобы получилось 15? Обозначим неизвестное число латинской буквой х (икс): х + 6 = 15 – это уравнение. Решить уравнение – значит найти неизвестное число. В данном уравнении неизвестное число равно 9, так как 9 + 6 = 15».

Остенсивные определения – это определения путем показа. Например, таким способом можно определить в начальной школе понятия равенства и неравенства:

3·8 > 2·8 - Это неравенства.

5·8 = 40 - Это равенства.

65 + 9 < 82 – 5

6·8 = 5·8 + 8

48 : 8 < 48

18 : 9 = 16 – 14

Контекстуальные и остенсивные определения используются на ранних стадиях изучения предмета, когда обучаемые не обладают достаточными теоретическими знаниями.

П р и м е р. Назовите несколько свойств, принадлежащих содержанию понятия «треугольник». Принадлежит ли содержанию этого понятия свойство «иметь две равные стороны»?

Р е ш е н и е. В содержание понятия «треугольник» входят только те свойства, которые являются общими для всех треугольников, например, такие: 1) имеет три вершины, 2) имеет три угла, 3) имеет три стороны, 4) ограничен замкнутой ломаной линией. Свойство «иметь две равные стороны» в содержание понятия «треугольник» не входит, так как этим свойством обладают не все треугольники.25

2.2.Роль различных анализаторов в развитии представлений о множестве.

Ребенок окружен различными множествами, выраженными не только предметами, но и звуками, движениями и т. д. Эти множества ребенок воспринимает различными анализаторами: зрительным, слуховым, осязательным, кинестетическим и др.

На разных этапах восприятия множества и его элементов анализаторы играют различную роль.

Кинестетический анализатор играет ведущую роль в формировании представлений о множестве в основном в дошкольном возрасте. Основной задачей является пополнение и уточнение знаний учащихся о сенсорных эталонах. С учетом особенностей психофизиологического развития детей с интеллектуальными нарушениями становится ясно, что данный вид работы требует системного и последовательного подхода. Такие дети затрудняются в различении, дифференциации общих, особых и единичных свойств, в последовательности обследования и различения форм, что просто необходимо для формирования множеств. Детям свойственны фрагментарность, узость восприятия, слабая направленность процессов анализа и сравнения. Эти же особенности проявляются и при знакомстве с величиной предметов.