Шпаргалка по "Математике"

 

Теоремы о бесконечно малых  величинах:

Предел отношения двух бесконечно малых функций не изменится, если каждую или одну из них заменить эквивалентной ей бесконечно малой.

Разность двух бесконечно малых  функций – бесконечно малая более  высокого порядка.

Сумма бесконечно малых функций  разных порядков эквивалентна слагаемому низшего порядка.

Определение производной. Производная функции в данной точке – это скорость изменения функции в этой точке. Процесс вычисление называется дифференцирование, а обратный процесс интегрирование.

Физический смысл производная имеет если описывает некий физический процесс. В этом случае это скорость протекания процесса, либо мгновенное значение функции.

Геометрический смысл заключается в том, что производная в точке равна угловому коэффициенту касательной к графику функции в точке, абсцисса которой равна .

Уравнение касательной имеет вид

Угловой коэффициент 

 

Угловой коэффициент нормали

 

Правила дифференцирования.

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Производная элементарных и сложных функций 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Производная обратной функции равна обратной величине производной данной функции

 

Степенная функция 

Показательная функция 

Неявно заданная функция имеет вид . Для нахождения производной от по достаточно продифференцировать это уравнение по, рассматривая при этом как функцию .

Параметричеси заданная функция 

Функция заданна двумя уравнениями  где t вспомогательная переменная.

Производная параметрической функции  вычисляется по формуле  

 

Логарифмическое дифференцирование – метод, при котором сначала находится логарифм функции, а потом производная от него.

                       =

Степенно-показательная  функция – функция, производная которой находится только логарифмическим дифференцированием. Записывается как

Где

Производная высшего порядка  - это когда от одной функции производную берут несколько раз. Если два – то 2-ого порядка, если 3 – то 3-его порядка.

 

Уравнение касательной к графику функции выглядит так:

Угловой коэффициент 

Уравнение нормали выглядит так:

Угловой коэффициент нормали 

 

Дифференциал функции в точке называется главная часть её приращения, равная произведению производной функции на приращение аргумента и обозначается

, где  называется главной частью приращения

- дифференциал первого  порядка.

Или дифференциал функции равен  произведению производной этой функции  на дифференциал независимой переменной.

Геометрический смысл  дифференциала.

Дифференциал функции  в точке равен приращению ординаты касательной к графику функции в этой точке, когда получит приращение

Инвариантность формы  дифференциала - свойство, проявляющееся при дифференцировании сложной функции.

• Дифференциал сложной функции равен произведению производной этой функции по промежуточному аргументу на дифференциал этого промежуточного аргумента.

Дифференциал высшего  порядка – результат многократного дифференцирования функции.

Приближенное значение функции вычисляется по формуле

 вычисления приближенного значения.

 

Уравнения прямых и кривых в параметрическом виде и в  полярной системе координат.

Окружность