Решение эллиптических уравнений несколькими методами

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

Филиал федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Казанский (Приволжский) федеральный университет» в г. Набережные Челны.

 

ФАКУЛЬТЕТ ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ  
И ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ

 

КАФЕДРА ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ И ИНФОРМАТИКИ

 

Специальность: 010501.65 – Прикладная математика и информатика

 

КУРСОВАЯ РАБОТА

VIII СЕМЕСТР

ТЕМА: «Решение эллиптических уравнений несколькими методами»

 

Дисциплина: численные методы

 

Выполнила

студентка Гатина Г. И.

группа 4606 курс 4

Научный руководитель

Марданшин Р. Г.

к. ф.–м. н., доцент

 

Члены комиссии по защите курсовой работы

                                                          _________________________________________

                                                                 Ф.И.О.                                                              подпись

                                                          _________________________________________

                                                                 Ф.И.О.                                                               подпись

                                                          _________________________________________

                                                                                                                              Ф.И.О.                                                               подпись

 

 

                                                                                                               Оценка________________

 

                                                                                                Дата    ________________

 

 

Набережные Челны

2009

 

Оглавление

 

 

Аннотация

 В работе сначала приводятся  основные понятия и математическое  толкование разностной схемы  для уравнения Лапласа, далее  приводятся разработанные в ходе  исследований методы. В третьем  разделе описываются работы методов  и выявляется устойчивость различных разностных схем. Далее делается вывод о  целесообразности применении тех или иных схем и листинги разработанных методов.

 

Введение

Численное решение прикладных задач всегда интересовало математиков. Крупнейшие представители прошлого сочетали в своих исследованиях изучение явлений природы, получение их математического описания, как иногда говорят, математической модели явления, и его исследование. Анализ усложненных моделей потребовал создание специальных, как правило, численных или асимптотических методов решения задач. Названия некоторых из таких методов – методы Ньютона, Эйлера, Лобачевского, Гаусса, Чебышева, Эрмита, Крылова – свидетельствуют о том, что их разработкой занимались крупнейшие ученые своего времени.

Настоящее время характерно резким расширением приложений математики, во многим связанным с созданием и развитием средств вычислительной техники. В результате появления ЭВМ (электронно-вычислительных  машин, или как часто говорят, компьютеров) с программным управлением менее чем за 50 лет скорость выполнения арифметических операций возросла от 0.1 операции в секунду при ручном расчете до 1012 операций на современных серийных ЭВМ, т.е. примерно в 1013 раз.

В настоящее время разработка методов и алгоритмов решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений продвинута настолько, что зачастую исследователь, имеющий дело с этой задачей, не занимается выбором метода ее решении, а просто обращается к стандартной программе.

В случае с уравнений с частными производными число принципиально различных постановок задач существенно больше. В курсе уравнений с частными производными обычно рассматривается незначительная часть таких постановок, главным образом связанных с постоянными коэффициентами. При этом существует очень малое количество задач, решаемых в явном виде. Многообразие постановок в теории уравнений с частными производными  связано с многообразием окружающего нас мира.

Среди всех типов уравнений математической физики эллиптические уравнения с точки зрения вычислителей стоят особняком. С одной стороны, имеется хорошо развитая теория решения эллиптических уравнений и систем. Достаточно легко доказываются теоремы об устойчивости разностных схем для эллиптических уравнений. Цель работы: разработать сеточный метод, позволяющих решать задачу Дирихле методом разностных схем на примере уравнения Лапласа. В качестве среды разработки был выбран пакет matlab 6.5. 

 

 

1. Математическое описание алгоритмов и операций

В данном разделе дается математическое толкование работы основных функций и процедур библиотеки.

Рассмотрим сначала некоторые необходимые понятия из теории сеток:

Пусть имеется пространство , где - функция непрерывного аргумента . На отрезке введем конечное множество точек , которое назовем сеткой. Точки , будем называть узлами сетки . Множество без узлов и будем обозначать . Если расстояние между соседними узлами постоянно (не зависит от i), для всех , то сетку называют равномерной (с шагом h), в противном случае – неравномерной. Вместо функции , определенной для всех  , будем рассматривать сеточную функцию , целочисленного аргумента или узла сетки , а заменим конечномерным (размерностью N+1) пространством сеточных функций. Очевидно, что сеточную функцию можно рассматривать как вектор [1].

Можно также провести дискретизацию и пространства функций многих переменных, когда - точка p-мерного евклидова пространства (p>1). Так на плоскости можно ввести сетку , как множество точек (узлов) пересечения перпендикулярных прямых , , , где - шаги сетки по направлениям и соответственно. Сетка , очевидно равномерна по каждому из переменных в отдельности. Вместо функции будем рассматривать сеточную функцию

 

Многие стационарные физически задачи (исследование задач, связанных с магнитными, гравитационными явлениями и теплопроводности) сводятся к решению уравнения Лапласа вида1

 (1)

Решение для этого уравнения будем искать для некоторой ограниченной области G изменения независимых переменных x, y. Границей области G является замкнутая линия L. Для полной формулировки краевой задачи кроме уравнения Лапласа нужно задать граничное условие на границе L. Примем его в виде

 (*)

Разностные схемы

В области введем  равномерную сетку

с шагами h по x и y. Заменяя производную по x и y разностными выражениями

в уравнении (1) получаем:

(2)

В граничных условиях заменяем непрерывную функцию дискретной на области прямоугольника:

С помощью данных уравнений можно записать систему линейных алгебраических уравнений (2) в виде (схема «Крест»)2

  (3)

Система (3) содержит 5 неизвестных. И образует систему линейных уравнений , где  A – блочно-трехдиагональная матрица вида

, где 

а матрицы - диагональные матрицы с элементами на диагонали равными единице. и размерности .

Правая часть системы имеет вид .

Для решения такой системы можно применить метод Гаусса с исключением несодержательных операций, т.е. обнуление элементов . В данном случае общее число операций составит величину 3

Еще одним из наиболее распространенных методом решения этой системы является итерационный метод. Каждое уравнение запишем в виде, разрешенном относительно значения в центральном узле:

(4)

Данную схему можно решить с помощью итерационных методов:

1. Гаусса-Зейделя,

(5)

2. Якоби,

(6)

3. Верхней релаксации.

(7)

В алгоритме предусмотрен выбор начальных значений . Итерационный процесс контролируется максимальным отклонением M значений сеточной функции в узлах для последовательных итераций. Если его величина достигнет некоторого допустимого значения точности , итерации прекращаются.

Существуют и другие разностные схемы для решения уравнения Лапласа.4 Представив уравнение (1) в виде (8), где t – переменная времени, то исходная задача сводится к разностной схеме для уравнения теплопроводности, где граничные условия совпадают с условиями .Условие (9)можно выбирать практически в произвольном виде, согласованном с граничным условием.

Имеем , отсюда можно найти явное выражение для значения сеточной функции на (k+1)-м слое:

(10)

Граничные условия принимают вид

(11)

Вышеописанный метод называется «метод установления».

Процесс численного решения представляет собой итерационный процесс решения задачи (8) с условием (9) и (*) состоит в переходе от произвольного значения (9) к искомому стационарному решению. Счет ведется до выхода решения в стационарный режим. Естественно, ограничиваются решением, при некотором достаточно большом  , если значения слоев совпадают с заданной степенью точности.

Условие устойчивости вышеописанной схемы определяется неравенством 5

(12)

 

2. Библиотека функций

В работе разработаны следующие функции для решения неоднородного одномерного уравнения теплопроводности:

1. ElipYa(X,N,fi,E) –реализует схему «Крест» при помощи метода Якоби,
2. Elip1(X,N,fi,E)– решает схему «Крест»  при помощи метода Гаусса-Зейделя.
3. ElipR(X,N,fi,t,E) – решает схему «Крест»  при помощи метода верхней релаксации.
4. ElipGauss(X,N,fi,E) – решает схему «Крест» методом Гаусса.
5. ElipT1(X,N,tau,fi,E) – сводит решаемую задачу к задаче теплопроводности и реализует явную схему.

где x – длина стороны квадрата сетки, N – количество узлов сетки по x, fi – граничное условие, E – точность вычислений. В методе верхней релаксации t – параметр, а в явной схеме tau – шаг по времени.

Каждая функция возвращает массивы, составляющие сетку: и и значения сеточной функции . В качестве начальных приближений используется функция rand(I,J), которая возвращает матрицу случайных чисел размерностью, указанной в скобках. Элементы матрицы находятся в диапазоне .

 

3. Тестирование

Примем следующие параметры разработанных функций:

X=10 длина стороны квадрата;

N=15 – кол-во узлов сетки;

fi=cos(x)+cos(y)– функция граничных условий;

E =0.001 – точность;

t=1.2– параметр для метода верхней релаксации;

tau=0.1 – шаг по времени для «метода установления».

Вводим начальные данные в  функцию ElipYa – схема «крест» метод Якоби

 

Рисунок 1

Всего итераций 167.

Теперь с теми же параметрами произведем расчеты с помощью метода Гаусса-Зейделя (Elip1).

Рисунок 2

Всего итераций 69.

Протестируем метод верхней релаксации (ElipT1)

Всего итераций 53.

Проверим метод Гаусса для решения схемы «крест»

Результаты совпадают с предыдущими схемами.

А теперь проверим явную схему – «метод установления»

Рисунок 3

Всего итераций 89.

Уменьшим шаг по сетке до h=0.59. Т.е. X=10, а N=17.

Рисунок 4

Схема проявила неустойчивость. Очевидно, что при данном раскладе условие (12) не выполнилось.

Исходя из вышеизложенного, приходится при достаточно малом шаге выбирать очень мелкий шаг по времени.

 

Вывод

Запишем результаты в таблице

Метод	Количество итераций
Якоби	167
Гаусса-Зейделя	69
Метод верхней релаксации	53
Явный метод установления	89

 

Для метода Гаусса не приходится учитывать количество итераций.