Численные методы решения нелинейных уравнений

Министерство Образования и Науки РФ

Федеральное Государственное Бюджетное Образовательное Учреждение Высшего Профессионального Образования

Тульский Государственный Университет

Кафедра ССМиК

 

 

 

 

 

 

 

 

Пояснительная записка к курсовой работе

по дисциплине «информатика»

на тему:

«Численные методы решения нелинейных уравнений».

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тула 2012

 

 

 

 

Оглавление.

 

Цель работы. 3

Задание. 3

Теоретическая справка. 3

Описание метода. 3

Алгоритм метода Ньютона. 5

Решение. 6

Построение графика. 6

Программа Pascal. 6

Пример работы программы Pascal. 7

Результат работы программы Pascal. 7

Решение уравнения с использованием специальной программы. 8

Вывод. 8

 

 

Цель работы.

 

Целью моей работы является изучение и освоение методов  решения нелинейных уравнений на компьютере при помощи специальных  программ и языка программирования.

Задание.

 

Вариант №19.

 

Экспериментально установлено, что зависимость деформации z конусной пружины от приложенной силы F можно рассчитать по формуле

 

,

 

 

где A, B, C и D − постоянные, определяющиеся конструкцией пружины. При подстановке в формулу значения силы F в ньютонах деформация z определяется в миллиметрах. Задавшись приведенными в таблице параметрами A, B, C и D, определите силу F, удовлетворяющую указанному значению z.

 

A=0.02 , B=0.4 , C=0.1 , D=1.2 , z=6

Теоретическая справка.

Описание метода.

 

Метод Ньютона не требует предварительно указывать интервал, в котором располагается корень уравнения. Для начала работы требуется задать лишь одну начальную точку , расположенную вблизи от предполагаемого корня. Направление поиска определяется из этой точки с помощью линейной экстраполяции f(x). Таким образом, при начале расчета из заданной точки определяется точка , затем из точки рассчитывается и так далее. Продолжение этого процесса далее дает последовательность чисел , … последовательно приближающихся к корню уравнения.

 

Полагая далее, что в окрестностях имеется точка , в которой функция равна нулю, получим линейной уравнение:

 

 

 

из которого найдем :

 

,  

 

Это соотношение является итерационной формулой метода Ньютона.

Из уравнения выше следует, что каждый шаг метода Ньютона требует большего объема вычислений чем, например, метод половинного деления, так как приходится находить значение не только функции f(x), но и ее производной. Несмотря на это метод Ньютона и его модификации широко используются на практике. Это обусловлено, во-первых, тем, что он не требует задания отрезка [a, b], содержащего корень, а может стартовать от одной начальной точки. Во-вторых, он имеет более высокую скорость сходимости, чем другие методы.

 

Графическая интерпретация метода Ньютона.

 

При использовании  метода Ньютона следует учитывать  ряд его особенностей. Одна из них  состоит в необходимости правильного  выбора начального приближения. Так  же он обладает локальной сходимостью, то есть способен найти корень, если начальное приближение задано в  некоторой малой его окрестности. Если же начальное приближение взято  неудачно и функция немонотонна, метод может дать расходящуюся последовательность . Другая проблема заключается в том, что производная в (2) находится в знаменателе. Это означает, что не должна обращаться в ноль, так как в противном случае итерационная формула перестает работать. Трудности могут возникнуть и в том случае, если не равна нулю, но достаточно мала, вследствие чего результат деления f (x) / f '(x) может оказаться неприемлемо большим.

Алгоритм метода Ньютона.

 

 

 

Решение.

Построение графика.

 

Для определения приблизительного корня в программе MathCAD построю график данного уравнения.

 

 

Из графика  видно, что корень уравнения находится около значения 1,95.

Программа Pascal.

 

В качестве языка  программирования высокого уровня я  выбрала Pascal. Для решения данного уравнения я составила следующую программу:

 

program kursovaya;

var a,b,c,d,x,f,p,f1 : real;

begin

writeln('Введите начальную точку');

readln(x);

repeat

f:=0.02*x*x*x*x+0.4*x*x*x+0.1*x*x+1.2*x-6;

p:=0.2*x+1.2*x*x+0.08*x*x*x+1.2;

x:=x-(f/p);

d:=abs(f);

until d<0.000000000001;

writeln('x= ',x);

writeln('f(x)= ',f);

end.

Пример работы программы Pascal.

 

 

Полученное  значение x находится в окрестности точки 1,95, а полученное значение f(x) равно нулю – значит это точное значения корня уравнения.

Результат работы программы Pascal.

 

  Для закрепления результата повторно запущу программу, но при этом задавая другие начальные точки. Мною получены следующие результаты, которые я свела в таблицу:

 

 

№ п/п	1	2	3	4	5
	1	2	25	-2	0
	1,953643744	1,953643744	1,953643744	1,953643744	1,953643744

Решение уравнения с использованием специальной программы.

 

В качестве специализированной программы я выбрала MathCAD, т.к. он имеет очень удобный интерфейс и прост в освоении.

 

 

Мною получены следующие  результаты, которые я свела в таблицу:

 

№ п/п	1	2	3	4	5
	1	2	25	-2	0
	1,953643744	1,953643744	1,953643744	1,953643744	1,953643744

 

Вывод.

 

Результаты  работы Pascal и MathCAD абсолютно одинаковы, только MathCAD выдает в результате больше знаков после запятой. Решать в MathCAD`е было легче, чем в Pascal`е, т.к. не нужно было самой составлять программу. Я освоила методику решения нелинейных уравнений на компьютере.