Методика организации дифференцированной работы учащихся при изучении производной и её приложений

 

В эту же таблицу по усмотрению учителя могут быть включены некоторые  тригонометрические функции (синус  и косинус), без доказательства даны производные тангенса и котангенса. Для проверки усвоения определения производной может быть предложена письменная работа, состоящая из двух заданий на вычисление по определению производных функций y = –3x + 6 и y = 2x² + 5x – 4 (предполагается, что у каждого ученика свой  набор коэффициентов). Решение этих задач можно рассмотреть как один из способов мотивации изучения теорем о производной суммы, произведения, частного, производной сложной функции.

В классах нематематической специализации будет достаточно показать процедуру вывода формулы производной суммы (ученики могут не запоминать этот вывод), а остальные формулы привести без доказательства. Особое внимание следует уделить сложной функции и её производной, поскольку именно с нею связано наибольшее число ошибок (следующая по числу ошибок – производная дроби, где обычно ученик делит производную числителя на производную знаменателя). Можно предложить следующие задания.

►► ПРИМЕРЫ

1. Из функций f = 5x² + 3x – 8, g = , p = составьте функцию p ◦ g ◦ f и найдите её производную. Составьте другие композиции этих функций и также вычислите производные.
2. Представьте функцию ⁵ в виде композиции элементарных функций, найдите производную исходную функции. Какие композиции вы можете составить из полученных функций? Вычислите производные составленных вами функций.

Кроме того, учитель может  предложить ученикам самостоятельно составить  сложные функции и найти их производные. Поскольку производные  тригонометрических функций уже  были включены в таблицу производных, то в качестве элементарных функций для составления и дифференцирования сложных могут быть включены тригонометрические функции.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.2. Дифференциация при изучении приложений производной

Вторым разделом темы «Производная и её приложения» является применение производной к решению задач. Традиционное содержание этого раздела: применение производной в геометрии и физике, в приближённых вычислениях; исследование функций и построение графиков с помощью производной; решение задач на наибольшее и наименьшее значения.

При изучении уравнения  касательной к графику функции  можно опираться на известный  ученикам геометрический смысл производной.

Весьма интересным представляется знакомство учащихся с формулой Тейлора, применение которой в учебном процессе имеет значительные возможности для реализации различных образовательных целей. Формула Тейлора может рассматриваться как средство закрепления и обобщения материала темы, развития и закрепления навыков применения аппарата анализа как для исследования функций, так и для решения прикладных задач. Формула Тейлора, обладая внушительным внутренним содержанием, аккумулирует в себе практически все изученные понятия анализа: производную, уравнение касательной и вопросы линеаризации, приближённые вычисления и решение тонких моментов исследования функций, например, выяснение промежутков выпуклости функций. На основе формулы Тейлора строятся задания на разложение элементарных функций в ряд Тейлора, ведется содержательный разговор по вопросам погрешности вычислений с использованием этой формулы. При этом учащимся демонстрируется интегративный (в смысле объединения различных математических понятий) характер формулы Тейлора и подчеркивается ее весьма универсальный характер.

Можно рекомендовать  следующую методику изучения понятия «дифференциал». Несмотря на то что изучение этого понятия по программе базовой школы не предусматривается, целесообразно в практике обучения элементам математического анализа в школе искать возможности знакомства учеников с этим понятием, даже с учётом того, что оно имеет достаточно высокий для учащихся уровень математической абстракции.

Возможны различные  подходы к введению понятия «дифференциал» в школьном курсе математики. Один из подходов, связанный с историей вопроса, заключается в определении этого понятия на основе применяемого Г. Лейбницем специального вида производной функции в точке в виде «дифференциального отношения» – , т.е. f ′ = и, далее, df =f ' · dx. Это выражение и принимается за определение понятия дифференциала функции f. На этой основе можно достаточно формально вычислять дифференциалы элементарных функций и составить таблицу дифференциалов на основе таблицы производных. Например, f(x) = x², f '(x) = 2x, df = 2x · dx. Слабым местом такого подхода является сложность обоснования наличия множителя dx и, как следствие, возможность синдрома формализма знаний.

Другой подход опирается  на геометрический смысл дифференциала (рис.) и предполагает работу учителя  по разъяснению вводимого понятия  с привлечением рассуждений о  «потенциальном» характере изменения этой величины (имеются в виду рассуждения, приводящие к заключению о том, что

 

при Δx → 0 главный вклад в приращение функции AC, соответствующее приращению Δx, вносится именно линейной частью AB приращения функции). При таком подходе, записывая формулу для тангенса угла наклона касательной к графику функции y = f(x) в точке N в соответствии с геометрическим смыслом производной и определением функции тангенс, получаем естественное выражение для дифференциала df : tg α = f '(x₀), tg α = AB/NA = df / Δx, тогда df = f '(x₀)Δx и, далее, df = f '(x₀) – dx. Очевидно, что наглядность в данном случае играет решающую роль в формировании понятия дифференциала, сознательном его использовании и применении.

Понятие дифференциала  позволяет сделать приближённые вычисления более естественными с точки зрения их проведения в прикладных отраслях математики. Вообще, практика приближённых вычислений как в физике, так и в технике в большей степени связана с решением прямой или обратной задачи теории погрешностей. Прямая задача в общем случае состоит в определении погрешности функции по известным погрешностям аргументов.

►► ПРИМЕР

Пусть y = f(x₁, x₂, …, x_n) данная функция нескольких переменных x₁, x₂, …, x_n, имеющая соответствующие непрерывные частные производные по указанным переменным, и Δx₁, Δx₂, …, Δx_n – предельные абсолютные погрешности величин x₁, x₂, …, x_n, тогда предельная абсолютная погрешность значения функции y может быть определена по формуле

Δy = Δx₁ +  Δx₂ + … + Δx_n = _i.

Сущность обратной задачи теории погрешностей заключается в определении погрешности аргументов Δx₁, Δx₂, …, Δx_n по известной погрешности функции Δf(x₁, x₂, …, x_n). В отличие от прямой задачи теории погрешностей, обратная в силу некорректной математической постановки не имеет единственного решения.

Указанные задачи теории погрешностей могут рассматриваться  как дальнейшее развитие содержательно-методической линии приближённых вычислений, так  как в курсе неполной средней  школы учащиеся уже получили представление  об арифметических действиях с приближёнными числами. Там же были введены определения абсолютной и относительной погрешности.

Возможны различные  варианты введения теоретического материала  по исследованию функции с помощью  производной:

• сформулировать все утверждения и оставить их без доказательства;
• показать схему доказательства теорем;
• оставить без доказательства формулу Лагранжа и на её основе выполнить остальные доказательства.

Выбор методики изложения  этого материала следует осуществить  учителю. Опыт показывает, что наиболее оптимальным является вариант изложения материала в логике учебника А.Н. Колмогорова.

Также возможны различные  варианты схемы исследования функции  с помощью производной. Рекомендуется  придерживаться следующей схемы  исследования функции:

• область определения;
• область значений;
• чётность и нечётность;
• пересечение с осями;
• знакопостоянство;
• производная и критические точки;
• монотонность и экстремумы;
• выпуклость;
• точки перегиба;
• поведение на бесконечности и около точек разрыва.

Поиск области значений нередко сводится к поиску области определения обратной функции, поэтому реализация данного пункта исследования возможна лишь в классах математического профиля. При исследовании функции на чётность и нечётность учитель должен обратить внимание школьников, что они должны доказываться, а для функций общего вида достаточно привести конкретный пример. Определение промежутков знакопостоянства основано на поиске корней функции (координат точек пересечения с осью абсцисс). Поиск корней требует включения в базовый курс дополнительного материала, который раскрывается на примере. Исследуя функцию y = x³ – 3x + 2, учитель показывает, что некоторые корни многочлена могут быть найдены подбором (они являются делителями свободного члена), далее на основе теоремы Безу может быть выполнено деление многочлена на двучлен x – a, где a – найденный корень многочлена (нередко учителя показывают старшеклассникам схему Горнера). Понижение степени многочлена на основе деления многочлена на многочлен может быть рассмотрено при изучении основных методов решения тригонометрических уравнений (сведение к алгебраическому), чтобы не перегружать теоретическим материалом данную тему. Теоретический материал, связанный с выпуклостью и точками перегиба, вводится без доказательства и иллюстрируется с помощью функции y = x², выпуклой вниз (вторая производная положительна), функции y = – x², выпуклой вверх (вторая производная отрицательна), функции y = x³, меняющей характер выпуклости в нуле (у второй производной в этой точке происходит смена знака). Аналогично на примере функции y = x + вводятся понятия вертикальной и наклонной асимптот. С горизонтальными и вертикальными асимптотами ученики могут быть знакомы (функция y = ), и эти знания следует здесь использовать, либо предварить изучение рассказом о наклонных асимптотах воспоминаниями о свойствах обратной пропорциональности.

Кроме уже упомянутых примеров (функций  y = x³ – 3x + 2, y = x + ), рекомендуется совместно с учащимися рассмотреть исследование и построение графиков соответствующих функций.

В заключение надо отметить, что наиболее трудным для школьников является построение графика функции  по результатам её исследования.

Ещё одним трудным  вопросом является решение задач  на наибольшее и наименьшее значение (задач на «оптимизацию»), связанных с построением и исследованием некоторой модели. Ученики далеко не всегда осознают, какую же функцию следует составить на основе условия задачи. Здесь требуется грамотный анализ условия, опора на полученный при работе с сюжетными задачами опыт поиска решения.

Для совместной работы можно  предложить следующий набор заданий.

►► ПРИМЕРЫ.

1. Представьте число 10 в виде суммы двух положительных слагаемых так, чтобы сумма их квадратов была наименьшей.
2. Из всех цилиндров заданного объёма 16πм² найдите цилиндр с наименьшей полной поверхностью.
3. Из всех прямоугольников, вписанных в окружность, найдите прямоугольник наибольшей площади.

Работая с первой задачей, учитель показывает, что искомая  модель обозначена в условии задачи. Надо составить функцию суммы  квадратов двух чисел и исследовать её на наибольшее значение, для этого следует выбрать переменную – одно из слагаемых, на которое разбивается число 10.

Вторая задача с геометрическим содержанием (часто при решении  задач на наибольшее и наименьшее значения требуется определённый объём геометрических знаний). Здесь следует составить функцию полной поверхности цилиндра и исследовать её на наименьшее значение. Этот пример показывает, почему такие задачи называют задачами «на оптимизацию», надо выяснить, при каких размерах на изготовление цилиндрической ёмкости заданного объёма потребуется наименьшее количество материала.

Особенностью третьей  задачи является тот факт, что, во-первых, в условии явно не задан радиус окружности, во-вторых, если в качестве переменной принять половину одной из сторон прямоугольника, то функция площади будет иметь вид S = 2x, 0 < x < R/2 и вместо неё удобно исследовать на наибольшее значение функцию P = 4x²R² – 16x⁴ (точки экстремума функций S и P совпадают).

 

 

 

 

 

 

2.3. Анализ опытной работы по дифференциации обучения математике в 10 классе

Опытная работа по дифференциации осуществлялась в 10 классе Данная работа проводилась в несколько этапов. На первом этапе была проведена диагностическая  работа по выявлению индивидуальных особенностей каждого школьника, были выделены временные типологические группы для работы на уроках и составлен план дифференцированного обучения. Вторым этапом опытной работы было проведение уроков с использованием дифференциации. На заключительном, третьем этапе, были проведены проверочные работы для оценки результатов примененной системы обучения. Теперь подробнее о каждом этапе.

1 этап:

В 10 классе ГУ "средняя общеобразовательная школа №17" города Кокшетау учится 15 учеников, экспериментальня работа проводилась для 8 человек, из них – 3 мальчика, 5 девочек. Возраст учеников – 15-16 лет. В  целом, класс успевающий. Большинство учеников класса имеют достаточные знания в области математики, свободно на них опираются при изучении нового материала, при решении примеров. Это ученики с высоким и средним уровнем обученности. Но кроме них имеются 2 ученика, которым необходимо пристальное внимание со стороны учителя математики, так как они имеют пробелы в знании программного материала, часто не могут применить имеющиеся знания на практике, то есть обладают низким уровнем обученности. Эти данные получены с помощью изучения оценок по математике в классном журнале, а также из беседы с учителем математики, который на основе своего опыта работы с данным классом дал сведения об уровне подготовки каждого ученика в области математики. Распределение учащихся по уровням обученности отражено в таблице.

 

                                                                                                

 

 

Уровень обученности.

 

Фамилия ученика	Высокий уровень обученности	Средний уровень обученности	Низкий уровень обученности
Абишев Д.		+
Бушмаркина Е.		+
Жансакалова А.	+
Касимов В.	+
Саликова М.	+
Слуднев С.	+
Черепанова Я.			+
Шойкина Т.			+

 

Пояснение к таблице:

-Высокий уровень обученности -  ученик в любой ситуации учебного процесса демонстрирует высокие знания ранее изученного материала, высокий уровень математических умений и навыков;

-Средний уровень обученности  – ученик не всегда располагает  необходимым фондом знаний, умений  и навыков при изучении математики;

-Низкий уровень обученности  - школьник имеет ограниченный  фонд знаний, умений и навыков.