Методика организации дифференцированной работы учащихся при изучении производной и её приложений

Автор статьи не согласен с мнением отдельных учителей о том, что учащиеся первой группы должны решать только простые задачи, объясняя это тем, что обычные  способы решения затормаживают  мышление, следовательно, тормозят развитие. Поэтому все три группы наряду с простыми задачами должны решать сложные. Учащиеся всех трех групп могут решать одну и ту же сложную задачу, но мера помощи учителя каждой из групп будет разной. Эта мера определяется спецификой каждого из пяти этапов решения задач:

1. подготовки к решению;
2. поиска плана решения;
3. составления плана решения;
4. осуществления решения;
5. обсуждения найденного решения.

Учащимся третьей группы оказывается помощь лишь на втором и пятом этапах. Для учащихся второй группы может быть организована помощь на первом, втором и пятом этапах. Учащиеся первой группы нуждаются в помощи на всех этапах решения задачи, лишь постепенно помощь и контроль учителя ослабляются последовательно на четвертом, затем на третьем этапе решения (учащиеся переходят во вторую группу).

На некоторых этапах учитель организует помощь учащимся разных групп, например, на первом этапе  – учащимся первой и второй групп. С учащимися первой группы рекомендуется  вспомнить необходимый теоретический  материал, порешать подзадачи, к которым сводится исходная задача (часть из них может быть решена устно), решить аналогичную, более простую задачу с целью выявления метода решения.

Учащиеся второй группы решают предварительно ключевую подзадачу  в процессе подготовки к решению  основной задачи. Затем учитель помогает им свести исходную задачу к уже решенной продуманной системе вопросов.

Такая система обучения позволяет даже слабому ученику  перейти в дальнейшем в группу более высокого уровня, так как  школьников учат не просто воспроизводить ход решения задачи, но и вести поиск в разных направлениях.

Вообще, работа со слабыми  учащимися должна занимать очень  важное место в обучении. Но несмотря на это, очень часто ученики, которые  по каким-то причинам не усвоили материал, часто не получают никакой поддержки и помощи со стороны учителей. На этот факт обращает внимание Т.А. Косенкова - автор  статьи «Из опыта работы со слабыми учащимися»[20]; при этом она делится отдельными моментами проведения уроков, особое внимание уделяя именно работе со слабыми учениками.

При подготовке к уроку  учитель должен выписать формулы, отдельные  фрагменты решения примеров, которые  будут рассматриваться на уроке, теоремы, которые будут использованы во время урока, и начинать урок с  их повторения – это так называемая актуализация прежних знаний. Ее можно проводить фронтально, у доски, вызывая учащихся по их желанию. В любом случае на повторение нельзя тратить более 5 минут, поэтому рассматриваемые вопросы необходимо заранее написать на доске или воспользоваться кодоскопом. Ответы учащихся не оцениваются отдельной оценкой, но учитываются в дальнейшем.

При проведении практических уроков по решению примеров, уравнений  по темам «Производная», «Степень с  рациональным показателем», «Решение тригонометрических, показательных, логарифмических и иррациональных уравнений» и др. (т.е. по темам, где на решение задания затрачивается немного времени) – учитель поступает следующим образом. Сначала решает уравнение определенного типа сам с подробным объяснением, потом вызывает к доске 5 человек (желающих): трех учащихся средних способностей, двух послабее. Каждому дается свое задание, подобное разобранному учителем (можно пользоваться тетрадью). Перед всем классом ставится задача: решить все записанные на доске примеры самостоятельно, не дожидаясь записей на доске (на оценку).

Автор статьи считает, что  здесь очень часто учителя  допускают ошибку – очень боятся поставить ученику хорошую оценку, так как примеры однотипные и  не требуют большой сообразительности. «Но эта «жадность», - отмечает Т.А. Косенкова, – приводит к тому, что учащиеся становятся пассивными, равнодушными к предмету. Ведь если ученик систематически не занимается, то полученная случайно пятерка или четверка затеряется среди других оценок. Но в то же время хорошая оценка может пробудить уверенность в своих силах, самоуважение, желание лучше учиться, интерес к предмету».

Итак, 5 человек у доски 2-3 минуты пытаются решать задание самостоятельно, потом учитель начинает помогать каждому из них по очереди: сначала  первый пример подробно разбирается и повторяется вместе с отвечающим, второй пример разбирается уже менее подробно и так до тех пор, пока все примеры будут решены.

После этого проводится самостоятельная работа: всем раздаются  карточки с заданиями (желательно иметь 6 и более вариантов). После того как учащиеся начали работать, учитель проходит по классу и тех ребят, которые не знают с чего начать, вызывает к доске и снова подробно объясняет на подобном примере решение. И даже после этого следует подходить к работе учеников дифференцированно. Если учитель видит, что на самостоятельную работу осталось мало  времени и многие еще не успели выполнить задание, то на проверку разрешает сдать работу только желающим. Остальные должны переписать полностью свои задания и решить их дома. И только те учащиеся, которые не выполнят задания к следующему уроку, получают двойку.

Контрольные работы проводятся по индивидуальным карточкам с использованием справочного материала, подготовленного  самими учащимися. Если контрольная  работа написана на «2», то учащийся обязан сделать либо работу над ошибками сам, либо с помощью учителя на консультации. Если ученик хочет исправить оценку «3» на «4» или «5», то ему необходимо сделать работу над ошибками (можно дома), а потом на дополнительном занятии написать другой вариант.

Автор статьи рекомендует  проводить со слабыми учениками  математические диктанты, цель которых  – помочь школьникам запомнить формулировки аксиом и теорем, которые в дальнейшем будут использованы.

   «В результате такой систематической планомерной работы, - отмечает Т.А. Косенкова, – у ребят появляется интерес к предмету, желание трудиться. Они уже с удовольствием выходят к доске, не боятся отвечать. В результате увеличивается количество хороших оценок по математике».

Интересным опытом по организации дифференцированного обучения делится С.Н. Юркина в статье «О дифференцированном обучении математике»[48].

Каждый класс в начале года учитель разбивает на 6 групп  по результатам успеваемости и отношению  к делу в прошлом учебном году, при этом учитывается и психологическая совместимость учеников. Это разбиение будет стабильным в течение учебного года, хотя частые переходы из группы в группу возможны в случае, если ученик стал заниматься лучше или, наоборот, хуже. На разных этапах учебной работы для каждой группы учеников учитель использует варианты заданий разной сложности.

Так, при работе в классе дифференцированное обучение можно  провести следующим образом. После  того, как учитель объяснит всему  классу новый материал и проведет первоначальное формирование умений по данной теме, следует перейти к закреплению умений, доведению их до навыков. Именно здесь можно использовать варианты различной сложности. Существует несколько способов их применения:

• 1,2,3 группы решают общее задание фронтально под наблюдением учителя, а 4,5,6 группы выполняют общие или индивидуальные задания самостоятельно. Для них предусмотрен какой-либо вариант проверки (с использованием поворотных досок, магнитной доски и др.);
• 1,2,3,4 группы работают самостоятельно, а 5 и 6 группы вместе с учителем разбирают задания повышенной трудности;
• учащиеся, хорошо усвоившие материал, работают самостоятельно, а те, у кого возникли затруднения, выполняют задания под руководством учителя;
• ученики четырех групп работают самостоятельно, а одна группа получает более трудное задание, другая – более простое; для каждой группы предусмотрен свой способ проверки;

Такая организация формирования и закрепления умений позволяет  заботиться о развитии сильного ученика, предупредить отставание слабого, дает возможность основной массе класса получить достаточно прочные знания по теме.

Наличие вариантов различной  сложности позволяет легко организовать самостоятельную или контрольную  работу. Учитель  складывает карточки с заданиями на своем столе  в 6 стопок. Члены каждой группы по очереди подходят к столу и берут нужную карточку. Это занимает 1-2 минуты и не нарушает порядок на уроке.

Зачеты (в основном по геометрии) учитель также может  принимать, используя варианты различной  сложности. Представители от каждой группы (каждый раз по 3 человека) решают задания одновременно на трех досках.

Особенно удобно применять  варианты различной сложности на уроках-практикумах. Проводить их можно, по крайней мере, двумя способами.

1. Основная цель практикума, проводимого в середине изучения темы, – обучающая. Примерно за 2-3 дня до практикума выделяется 5-6 консультантов, вместе с которыми учитель составляет и решает задания практикума. Каждая группа получает свое задание и решает его в течение урока под руководством консультанта. После уроков учитель проверяет тетради вместе с консультантами, которые высказывают свое мнение об уровне подготовки и самостоятельности решения задания каждым учеником их группы.
2. Основная цель практикума, который проводится в конце изучения темы, – обобщить знания учащихся, провести необходимую коррекцию знаний, проверить общий уровень подготовки класса. Класс также разбивается на 6 групп, но принцип их подбора другой: в каждую группу входят и сильные, и слабые учащиеся. Учитель заранее составляет списки групп с указанием консультанта, но знакомит с ними ребят только на уроке. Урок начинается с краткого опроса по теории. Опрос проводит консультант по вопроснику, составленному учителем. Затем учащиеся все вместе решают данное задание, при необходимости обращаясь к образцу. По окончании этой части урока ответственный за работу группы сдает учителю листок с оценкой уровня подготовки учащихся по теории и решению задач. Последние 20-25 минут урока учащиеся выполняют самостоятельное задание, различное для каждого члена группы. Оценивает работу на практикуме учитель, при этом учитывается мнение консультантов.

В заключение автор статьи обращает внимание на организацию контроля домашнего задания. Он пишет, что  к этой форме контроля не обязательно  привлекать хорошо успевающих учеников, здесь может справиться любой. На каждую четверть выбирается 6 контролеров, которые перед каждым уроком математики проверяют у ребят определенной группы наличие домашней работы (причем контролер должен быть из другой группы). В течение учебного года к этой работе будут привлечены 24 человека. Таким образом, практически каждый ученик выполняет  посильную работу по организации учебного процесса.

Автор отмечает следующую  реальную пользу от применения всех этих деталей дифференцированного обучения:

• Значительно улучшается четкость в организации работы класса; 
• Так как каждый ученик работает на посильном для него уровне трудности, он лучше осознает свои ближайшие цели и задачи;
• Четкость в работе дает возможность постоянно контролировать знания, умения и навыки;
• Наличие сильных учеников как группы позволяет постоянно продумывать работу с ними, учитывать возможности их развития.

На основе вышесказанного можно заключить, что педагоги-математики, использующие дифференциацию при обучении школьников, отмечают его эффективность и целесообразность применения в школе.

Изучение производной  функции и её приложений направлено:

• на знакомство с одним из фундаментальным понятий математики;
• на введение нового метода решения задач (нового метода исследования моделей);
• на демонстрацию прикладного значения математики, реализацию межпредметных связей;
• на систематизацию функциональных знаний.

Основное содержание раздела: понятие производной, техника  дифференцирования, приложение производной  к исследованию функций и решению задач. На основе имеющихся знаний о пределе функции в точке может быть сформулировано определение производной как предела отношения приращения функции к приращению аргумента, при этом можно воспользоваться как геометрической иллюстрацией (подготовка к рассмотрению геометрического смысла производной), так и обратиться к физическим закономерностям. Выбор иллюстративного материала осуществляет учитель, но оптимальным будет введение производной на геометрической основе, что позволит ещё раз показать идею линеаризации (возможность замены части кривой в окрестности точки касания отрезком касательной) и подготовить учеников к изучению приложения производной к приближённым вычислениям.

Закрепление понятия  производной можно провести, заполняя совместно с учениками таблицу, в результате которой будет получена часть таблицы производных: