Математические задачи электроэнергетики

Квадратные матрицы одинакового  порядка, произведение которых дает единичную матрицу Е, называются взаимообратными или обратными. Обозначается обратная матрица А^-1 и для нее справедливо

А*А^-1 =Е.

Вычислить обратную матрицу  можно только для такой матрицы А, для которой

 

 

Классический алгоритм вычисления обратной матрицы

1. Записывают матрицу А^T, транспонированную к матрице А.
2. Заменяют каждый элемент матрицы А^Т определителем, полученным в результате вычеркивания строки и столбца, на пересечении которых расположен данный элемент.
3. Этот определитель сопровождают знаком плюс, если сумма индексов элемента четная, и знаком минус - в противном случае.

4.     Делят полученную матрицу на определитель матрицы А. 

 

1.5 Решение задач линейной алгебры в системе MATLAB

При создании матриц в системе  MATLAB символы пробел и запятая используются для отделения элементов внутри строки в матрице, символ точка с запятой отделяет строки в матрице.

При создании матриц необходимо следить за равенством длин строк, ее образующих.

В MATLAB операция транспонирования матрицы выполняется с помощью либо оператора «.'», либо функции transpose()

Элементарными матричными преобразованиями являются:

• перестановка местами двух строк матрицы,
• умножение всех элементов строки матрицы на число, отличное от нуля,
• прибавление ко всем элементам строки матрицы соответствующих элементов другой строки, умноженных на одно и тоже число.

Система MATLAB позволяет выполнять поэлементное умножение матриц.

При выполнении поэлементного  умножения размерности матриц должны быть одинаковыми.

При поэлементном умножении  матриц умножаются значения соответствующих элементов этих матриц и записываются в результирующую матрицу.

Для нахождения определителя (детерминанта) и ранга матриц в  MATLAB имеются следующие функции:

det(X) — возвращает определитель квадратной матрицы X. Если X содержит только целые элементы, то результат — тоже целое число. Использование условия det(X)=0 как теста на вырожденность матрицы действительно только для матрицы малого порядка с целыми элементами.

Если  является квадратной матрицей, то обратной по отношению к называется матрица, которая при умножении на (как слева, так и справа) дает единичную матрицу:

Для того чтобы квадратная матрица  имела обратную матрицу необходимо и достаточно, чтобы она была невырожденной.

Обратная  матрица находится с помощью  функции  .

 

Расчетная часть

1.6 Расчет индивидуального задания варианта 24

Расчетная часть  должна содержать:

• вычисление       определителя       матрицы       двумя аналитическими способами;
• вычисление определителя в системе MATLAB;
• вычисление обратной матрицы классическим способом;
• вычисление обратной матрицы по системе MATLAB;

Дано:

1.6.1 Вычисление определителя  классическим способом

1.6.2 Вычисление определителя  методом разложения по элементам  строки и столбца

Расчет проводим по разложению 1-ого столбца.

1.6.3 Вычисление определителя в системе MATLAB

A=[5,2,3;3,1,3;4,5,1];

det(A)

ans =

  -19.0000

1.6.4 Вычисление обратной матрицы классическим способом

Записываем матрицу  , транспонированную к матрице .

 

Заменяем каждый элемент матрицы  определителем, полученным в результате вычеркивания строки и столбца, на пересечении которых расположен данный элемент.

Этот определитель сопровождаем знаком плюс, если сумма индексов элемента четная, и знаком минус – в  противном случае.

Делим полученную матрицу на определитель матрицы .

 

1.6.5 Вычисление обратной  матрицы в системе MATLAB

A=[5,2,3;3,1,3;4,5,1];

inv(A)

ans =

    0.7368   -0.6842   -0.1579

   -0.4737    0.3684    0.3158

   -0.5789    0.8947    0.0526

 

 

Задание 2. Расчет установившихся режимов электрических систем

 

Краткие теоретические  сведения

 

2.1 Схема замещения  электрической сети как связный  граф

Схемы замещения современных  сложных электрических систем содержат сотни и более узлов и ветвей. Для упрощения анализа электрических  систем используется подход, суть которого заключается в аналитическом  представлении конфигурации схемы  замещения электрической сети с  помощью процедур алгебры матриц и элементов теории графов.

Основной постулат заключается  в следующем: схема замещения  электрической сети может рассматриваться  как граф. Математические понятия  «вершина графа» и «ребро» могут  рассматриваться в электротехнике как «узел» и «ветвь». Цепочки (пути графа) замыкаясь, могут образовывать циклы (в электротехнике замкнутые  контуры). Все величины, характеризующие  параметры режима в ветвях (токи, ЭДС, напряжения), имеют определенные направления. Таким образом, схема  замещения электрической сети обычно является связным, ориентированным графом.

Схемой замещения  электрической цепи называется графическое изображение электрической цепи, показывающее последовательность соединения ее участков и отображающее свойства рассматриваемой электрической цепи. Любая электрическая цепь и соответственно ее схема содержит ветви, узлы и в общем случае контуры.

Ветвью называется участок электрической цепи, в которой в любой момент времени ток имеет одно и то же значение.

Узлом называется место соединения двух или большего числа ветвей. Одна из ветвей, соединяющихся в узле, может быть источником тока.

Контуром называется любой замкнутый путь, проходящий но нескольким ветвям. Если схема электрической цепи не содержит контуров, то она называется разомкнутой.

Любая электрическая схема состоит  из некоторого числа элементов: линий  электропередач, трансформаторов, источников питания, потребителей электрической  энергии  и т.д. Для проведения расчетов электрическую схему в  начале представляют схемой замещения, а затем переходят к направленному  графу электрической сети.

 

Основные определения  теории графов

 

Рис.1 Граф электрической сети

Граф можно представить, если представить множество точек  на плоскости X={1,2,3,4,5}, называемых вершинами графа и множества направленных отрезков U = { u₁,u₂,u₃,u₄,u₅,u₆), соединяющих все или несколько вершин и называемых дугами. Таким образом любой граф G можно определить как пару множеств X, UG = (X, U).

Путем в графе G называется такая последовательность дуг = (u_l,u₂---u_k), в которой конец каждой предыдущей дуги совпадает с началом следующей. Длиной пути называется число равное числу дуг на этом пути.

Иногда граф рассматривают без  учета ориентации его дуг, в этом случае граф называют неориентированным. У неориентированного графа понятие  дуга заменяется на понятие ребро. Цепью  называют последовательность ребер.

Говорят, что граф связен, если любые  две его вершины можно соединить  цепью. Циклом называется конечная цепь, у которой начальная и конечная вершины совпадают.

Деревом называется конечный, связный, неориентированный граф, не имеющий циклов. Если в дереве n вершин, в нем всегда   (n-1) ребро.

Все элементы схем замещения  делятся на активные и пассивные.

К активным элементам схем замещения относятся источники ЭДС и тока. . Для них характерно то, что они задают напряжения и токи в точках присоединения этих элементов в соответствующей цепи независимо от ее остальных параметров.

Пассивные элементы схем замещения: сопротивления и проводимости создают пути для протекания электрического тока. Пассивные элементы обычно разделяются на поперечные и продольные.

Поперечные  пассивные элементы - это ветви, включенные между узлами схемы и нейтралью.

К продольным пассивным элементам относятся ветви, соединяющие все узлы, кроме узла с напряжением равным нулю.

Поперечные пассивные элементы соответствуют проводимостям на землю линий электропередач, заземленным  реакторам и конденсаторам, а  также поперечным проводимостям  учитывающим потери в стали трансформаторов. В свою очередь продольные пассивные элементы соответствуют активным и индуктивным сопротивлениям ЛЭП, обмоток трансформаторов, емкостям устройств продольной компенсации.

Отдельные элементы электрической  системы в расчетах представляют схемами замещения, состоящими из элементов  электрической цепи - источников напряжения или тока и соответствующих сопротивлений.

Источники электрической энергии  могут быть представлены в виде источника  напряжения с ЭДС  и внутренним сопротивлением , либо в виде источника задающего тока с внутренним сопротивлением равным бесконечности.

Потребители электрической энергии  имеют схему замещения в виде сопротивления  либо в виде источника тока, равного току нагрузки, взятому с обратным знаком.

В практике расчета электрических  сетей  используются схемы замещения  с источниками тока.

В схеме замещения электрической  системы трансформаторы подстанций и электростанций, ЛЭП, реакторы и  другие элементы электрической сети представляются в виде сопротивлений.

Для двухобмоточных силовых трансформаторов, автотрансформаторов обычно применяется  Г-образная схема замещения, параметры  которой определяются по каталожным данным соответствующего трансформатора. Параметры поперечной ветви в  Г-образной схеме замещения моделируют потери мощности в стали.

2.2 Первая и  вторая матрицы инциденций

 

При расчете установившихся режимов электрические схемы  наиболее удобно представлять в виде матриц инциденций.

Первая матрица  инциденций, называется также матрицей соединений, обозначается . Показывает взаимосвязь между узлами и ветвями исходного графа. Матрица прямоугольная матрица число строк которой определяется числом узлов сети, а число столбцов числом ветвей. Элементы матрицы . могут принимать одно из трех значений:

 

Здесь {u₁,u₂,…u_m} ветви соответствующего графа схемы замещения, {1,2,…n} узлы соответствующего графа схемы замещения. Для графа представленного на рис.1 первая матрица инциденций будет выглядеть следующим образом:

          

 

 

 

 

Условием правильности заполнения матрицы  является наличие в каждом столбце только одной 1 со знаком «+» и только одной 1 со знаком «-». Это обусловлено тем, что любая ветвь всегда исходит из одного узла и всегда входит в один узел. Таким образом, сумма всех элементов в первой матрице инциденций равна нулю.

Если в матрице  выделить строку, соответствующую некоторому узлу, принятому за балансирующий узел, то матрица без последней строки называется матрицей соединений без балансирующего узла и обозначается М.

Вторая матрица  инциденций называется также матрицей контуров и обозначается N. Она связывает ветви и независимые контуры соответствующего графа схемы замещения. Для составления матрицы N нужно определить число независимых контуров схемы. Это число определяется по формуле к=т-n+1, где к - число независимых контуров, т - число ветвей, n- число узлов.

Строки матрицы N соответствуют независимым контурам схемы, столбцы ветвям. Элементы матрицы N определяются по следующим правилам:

-

 

2.3 Матричная форма  записи уравнений состояния электрической  сети

Целью расчета установившегося  режима является определение мощностей  и токов в ветвях схемы замещения и напряжений в узлах.

Исходными данными о нагрузках  потребителей обычно служат значения мощностей S_н1=P_н1+ jQ_н1, которые принимаются постоянными, или как функции напряжения узлов. Исходными данными об источниках питания служат постоянные значения активных и реактивных мощностей или значения активной мощности и напряжения в точках их подключения.

Один из источников питания, обычно самый мощный, играет роль балансирующего узла, для него задается базисное напряжение. Для решения поставленной задачи, т.е. для определения напряжений в узлах, токов и мощностей  в ветвях схемы могут быть использованы различные формы уравнений состояния: обобщенное уравнение состояния, уравнения  узловых напряжений, уравнения контурных токов.

Обобщенное уравнение  состояния

Обобщенное уравнение  состояния для схемы произвольной конфигурации имеет вид

A*I = F                                               (1)

Матричная форма записи уравнения, где А матрица параметров схемы замещения,  где I - вектор- столбец токов в ветвях, т - число ветвей в схеме замещения, F- вектор-столбец исходных параметров режима.

Уравнение (1) объединяет два  матричных уравнения.