Математические задачи электроэнергетики

Событие называется достоверным, если оно обязательно происходит в результате опыта (обозн. U).

Событие называется невозможным, если оно не может произойти в результате рассматриваемого опыта (обозн. V ).

Два и более событий называются невозможными, если они не могут произойти одновременно в рассматриваемом опыте.

Событие А благоприятствует событию В, если из того что произошло событие А следует также, что произошло и событие В. Записывается это так   A В.

Множество  событий   А₁,А₂,…А_n   рассматриваемого  опыта,  одно  из

которых в результате опыта обязательно  происходит, а любые два из которых  несовместны, называются множеством исходов опыта.

При этом говорят, что события А_х,А₂,...А_п образуют полную группу попарно несовместных событий.

Вероятность случайного события

В обыденной  жизни очень часто произносятся фразы так или иначе связанные  с вероятностью того или иного  события: очень вероятно, что первого  июля будет плюсовая температура (это  событие практически достоверно) и т.д. Во всех оценках событий как - бы присутствует некоторая степень вероятности наступления того или иного события. Напрашивается введение некоторой числовой оценки наступления того или иного события.

Классическое  определение вероятности

Пусть события А_х,А₂,...А_п образуют полную группу попарно несовместных равновозможных событий. Пусть событие А разлагается на т частных событий из этой группы

А = А₁+А₂ +… + А_m

События А₁,А₂,....А_т будем называть событиями, благоприятствующими появлению события А, события A_m+1,А_т+2,...А_n не благоприятствуют появлению события А . Вероятность события А обозначается через Р(А).

Вероятность события А равна отношению числа событий, благоприятствующих появлению этого события к общему числу исходов опыта

Свойства вероятности

 

• Р(А)≥ 0 ,т.к. т>0,   n>0
• P(U) = 1, т.к. в этом случае т = п
• Р(V) = О, т.к. в этом случае т = 0
• 0 ≤ Р(А)≤1
• Теорема о вероятности суммы двух несовместных событий: если события  А и В несовместны, то Р(А + В) = Р(А) + Р(В)
• Если событие  A  влечет за собой событие B, т.е.  А В, то  P(A) ≤ Р(В)

Два события А и называются взаимообратными, если A + = U и      А* = V, в этом случае справедливо Р(А) = 1- Р( ).

Случайные величины

Случайной величиной X называется величина, которая в результате опыта может принимать то или иное значение, причем неизвестно заранее какое именно.

Множество числовых значений, которые может  принимать случайная величина, называется спектром случайной величины.

Дискретная случайная величина- величина, принимающая только отделенные друг от друга значения, которые можно заранее перечислить.

Непрерывная случайная величина имеет бесчисленное множество возможных значений сплошь заполняющих некоторый промежуток.

Если  дискретная случайная величина X принимает возможные значения х₁,х₂,...,х_п с заданными вероятностями p₁,р₂,...,p_n , то таблица

 

х	x1	x2	…..	xn
p	p1	p2	…..	pn

называется законом распределения  случайной величины.

Если  случайная величина имеет счетный  спектр, то закон распределения задается в виде двух бесконечных последовательностей:

Спектральное  значение, обладающее наибольшей вероятность  реализации, называется наивероятнейшим значением случайной величины.

Числовые характеристики дискретных случайных величин

Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется сумма ее всевозможных значений умноженная на соответствующие вероятности

^{M(X) =}

 

Дисперсией случайной величины X называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания

D(X) = M [X-M(X)]².

Средним квадратическим отклонением случайной величины X называют квадратный корень из дисперсии

σ(X)=

 

Принцип равных возможностей

 

Этот  принцип используют в случае, когда  нет оснований отдавать предпочтение какому-либо одному исходу эксперимента перед другими. В этом случае считают, что имеются равные возможности  для любого исхода эксперимента и  всем им следует предписывать одинаковые вероятности.

        Р₁ = Р₂ =…= Р_n    =>        p_i =     i =  

Для равновозможной случайной величины справедливо

M(x)=

,        D(X) =

Для  двух равновозможных случайных  величин вводится числовой

коэффициент   -    коэффициент   корреляции,   который   используется   для

определения взаимосвязи между  двумя случайными величинами.  Пусть случайные величины заданы своими возможными числовыми значениями X= {х_i} Y ={у_i}    i = .

Коэффициент корреляции вычисляется по формуле

 

 

5.2 Прогнозирование уровня  электропотребления на промышленном  предприятии

По  результатам наблюдений за выработкой продукции завода и потребляемой им электроэнергии из системы в течение п лет получена количественная зависимость П = f(W), отраженная в таблице. Здесь П- объем произведенной продукции в некоторых условных единицах, W- объем потребленной электроэнергии в МВт.ч. Через год намечается увеличение выпуска продукции до некоторой конкретной величины. Требуется определить, какое количество электроэнергии будет потреблено из системы в этот расчетный год. Для прогноза следует использовать линейное уравнение регрессии

.

Данное уравнение носит название линейного уравнения регрессии, т.к. зависимость между функцией W и аргументом П носит линейный характер

W = f(П) = k*П + b.

 

5.3 Вычисление числовых характеристик  случайных величин в системе  MATLAB

Никакой анализ статистических данных не может  обойтись без предварительной их обработки: max (А) , min(A) - поиск экстремальных элементов по столбцам массива А; тах(А,В) , min(A,B) - формирование массива с элементами, равными экстремальным из соответствующих элементов массивов; теап(Х) , mean (X,dim) -средние значения, в случае равновозможных значений случайной величины дискретного типа с помощью этих функций вычисляют математическое ожидание.

std(X), std(X,flag), std(X,flag,dim) - стандартное отклонение (flag=0 -несмещенная оценка ; flag=l - смещенная оценка s):

;

 

Для статистической обработки в  MATLAB-e имеются две основные функции для вычисления ковариации и коэффициентов корреляции:

• cov - в случае вектора данных эта функция выдает дисперсию, то есть меру распределения (отклонения) наблюдаемой переменной от ее среднего значения
• corrcoef (X,Y) - коэффициенты корреляции, нормализованная мера линейной вероятностной зависимости между переменными.

 

Расчетная часть

5.4 Расчет индивидуального  задания варианта 24

Данный раздел должен содержать:

• вычисление числовых характеристик случайных величин аналитически;
• вычисление числовых характеристик случайных величин в системе MATLAB;
• вычисление прогнозируемого значения электропотребления промышленного предприятия с помощью уравнения линейной регрессии.

Дано:

	12	15	16	17	15	13	14	15	18	19
W	12	15	16	17	15	13	14	15	18	19

 

 

4.5.1 Вычисление числовых характеристик случайных величин аналитически

4.5.2  Вычисление прогнозируемого значения электропотребления промышленного предприятия с помощью уравнения линейной регрессии.

При увеличении выработки продукции до 27 условных единиц в год из системы будет  потребляться 27 МВт.ч.

4.5.3 Вычисление числовых характеристик случайных величин в системе MATLAB

A=[12 15 16 17 15 13 14 15 18 19];

W=[12 15 16 17 15 13 14 15 18 19];

mean(A)

ans =

   15.4000

mean(W)

ans =

   15.4000

std(A, 1)

ans =

    2.0591

std(W, 1)

ans =

    2.0591

corrcoef(A, W)

ans =

     1     1

     1     1