Задачи по "Математическому моделированию"

 

Кафедра: ОНД

 

 

 

 

 

 

 

Дисциплина: Математические модели вагонов и процессов

 

Тема: Основные задачи математического моделирования

 

 

 

 

Задача по ресурсам

Предприятие выпускает два вида продукции А_{1 и А2, используя при этом три вида сырья S1,S2,S3. Известны запасы каждого вида сырья 40ab+12a^{2 (у.е.); 56ab (у.е.); 46ab+20b2 (у.е.). Расход сырья вида S1 на производство единицы продукции А1 составляет 2b+a; на производство единицы продукции А2 составляет 2a; расход сырья вида S2 на производство единицы продукции А1 составляет 2b; на производство единицы продукции А2 составляет 4a; расход сырья вида S3 на производство единицы продукции А1 составляет 2b; на производство единицы продукции А2 составляет 2b+3a. Доход от реализации единицы продукции А1 составляет 3b (у.е.); А2 составляет 2b+a (у.е.). Составить такой план производства продукции при котором доход будет максимальным. Найти двойственные оценки цен на сырье из решения двойственной задачи по теории двойственности.}}

_{^{а=3; b=2+4=6}}

_{^{Решение:}}

Сырье	А1	А2	bi
S1	15	6	828
S2	12	12	1008
S3	12	21	1548
Cj	18	15

 

 

 

 

 

 

 

_{^{На плоскости Х1ОХ2 построим прямые, уравнения которых получается путем замены в системе ограничений знака неравенства на знак равенства.}}

• Определяем полуплоскости описываемые каждым неравенством системы;
• Определяем выпуклый многоугольник решений системы;
• Построим нормальный вектор целевой функции . Построим прямую L: 18x_{1+15x2=0, проходящую через начало координат   многоугольник, который является решением системы ограничений.}

• Передвигая прямую L в положительном направлении вектора  , получаем, что в точке С= функция будет принимать свое наибольшее значение, среди всех возможных значений.

• Точка С – точка выхода (крайняя)
• Определим координаты точки С, решая систему
• 6x₁₌₂₁₆
• x₁₌₃₆
• x₂₌₄₈
• Точка С будет иметь координаты (36;48). Получим, что x_{max=(36;48), то есть оптимальный план предприятия предписывает производить 36 единиц продукции А1 и 48 единиц продукции А2, при этом максимально возможная прибыль составит f(xmax)=f(36;48)=36∙18+48∙15=1368 у.е.}
• При этом на выполнение данного плана потребуется сырья S_{1: 15∙36+6∙48=828 – израсходуется полностью, сырья S2: 12∙36+12∙48=1008 – израсходуется полностью, сырья S3: 12∙36+21∙48=1440 – останется 108 единиц сырья.}
• Для нахождения решения двойственной задачи воспользуемся теоремами двойственности:
• Если одна из двойственных задач имеет оптимальное решение, то и другая тоже имеет оптимальное решение. Причем оптимальное значение целевой функции совпадает f(x_max)=g(ymin)
• Пусть одна из двойственных задач имеет оптимальное решение, тогда для неизвестных и ограничений выполняются следующие условия:

• Если координаты оптимального плана исходной задачи строго положительны, то соответствующее ограничение в двойственной задаче выполняется как уравнение при подстановке в него координат оптимального решения.
• Если при подстановке координат оптимального решения какое-либо ограничение исходной задачи оно выполняется как строгое неравенство, то соответствующая ему переменная в двойственной задаче равна 0.

• Известно, что исходная задача имеет оптимальное решение x_{max=(36;48); f(xmax)=f(36;48)= 1368 у.е., тогда по первой теореме двойственности g(ymin)=g(36;48)= 1368 у.е. По теореме 2 пункт 1 имеем:}
• x_{1=36>0 →}
• x_2=48>0→,
• по теореме 2 пункт 2 имеем:
• 15∙36+6∙48=828 =828 →
• 12∙36+12∙48=1008 = 1008 →
• 12∙36+21∙48=1440<1548 →
• Подставим в систему значения , найдем значения y_{1 и y2}
• 3y₁₌₁
• y₁₌
• y₂₌
• y₃₌₀
• Проверим правильность найденного решения. Найденные значения подставим в целевую функцию  у.е. – верно.
• Ответ: y_{1= у.е. стоимость одной единицы сырья S1; y2= у.е. стоимость одной единицы сырья S2; y3=0 у.е. стоимость одной единицы сырья S3. Значимость третьего ресурса не велика. Увеличение запаса данного сырья прибыли не дает.}
• Транспортная задача
• Составим транспортную таблицу:

	Потребитель					Запас
Поставщик	В1	В2	В3	В4	В5
А1	13	27	-	13	-	53
		13	9	15	3		18
А2	12	-	15	-	3	30
		7	8	6	10		9
А3	-	-	-	-	17	17
		16	4	10	11		2
Потребность	25	27	15	13	20

• Составим первоначальный опорный план методом наименьшей стоимости.
• Выбираем клетку с наименьшей стоимостью (А_{3;В5) и поместим в нее максимально допустимую перевозку. Min{17;20}=17. Вычислим общую стоимость перевозок f(x)=13∙13+27∙9+13∙3+12∙7+15∙6+3∙9+17∙2=686.}
• Метод потенциалов позволяет оценить составленный опорный план, и при необходимости, постепенно улучшая его найти оптимальное решение.
• Для каждой заполненной клетки составим уравнения u_{i+vj=cij из полученной системы находим значения всех потенциалов, задав начально одному из потенциалов значение ноль.}
• u₃₌₀
• Вычисляем сумму потенциалов для всех свободных клеток, если найденная стоимость соответствует условию , то опорное решение является оптимальным.

	Потребитель					Запас
Поставщик	В1	В2	В3	В4	В5
А1	13	27	-	13	-	53	13	u1
		13	9	15	3				18
А2	12	-	15	-	3	30	7	u2
		7	8	6	10				9
А3	-	-	-	-	17	17	0	u3
		16	4	10	11				2
Потребность	25	27	15	13	20
	0	-4	-1	-10	2
	v1	v2	v3	v4	v5

• Для свободных клеток проверяем условие оптимальности:
• Найденное решение является оптимальным, т.к. для всех свободных клеток условия оптимальности выполнены.
• Оптимальный план приписывает поставщику А_{1 перевозить потребителю В1 - 13 единиц товара, потребителю В2 - 27 единиц товара, потребителю В4 - 13 единиц товара, поставщику А2 перевозить потребителю В1 - 12 единиц товара, потребителю В3 - 15 единиц товара, потребителю В5 - 3 единицы товара, поставщику А3 перевозить потребителю В5 - 17 единиц товара.}
• Интерполяционный многочлен Лагранжа.
• Для функции, заданной таблицей, составить интерполяционный многочлен Лагранжа. С его помощью найти приближенное значение функции в точке х.

x	1,1	1,5	1,7
y	0,1	0,41	0,53

• x=1,56
• Решение: Число узлов равно трем, поэтому многочлен Лагранжа будет многочленом второй степени. Запишем его, используя формулу:
• Многочлены Ньютона
• Функция y=y(x) задана таблицей. Требуется составить многочлены Ньютона для интерполирования вперед и интерполирования назад и с их помощью найти значения функции в точках х_{1 и х2 с погрешностью не более чем 5∙10^-3.}