Курс лекци по " Механике жидкости и газа"

В механике жидкости для облегчения решения некоторых задач используется понятие о невязкой (совершенной) жидкости.

Под невязкой жидкостью понимают воображаемую жидкость, обладающую абсолютной подвижностью, т.е. лишенную вязкости, а также абсолютно  несжимаемую, не расширяющуюся с изменением температуры, абсолютно неспособную сопротивляться разрыву. Таким образом, невязкая жидкость представляет собой некоторую модель реальной жидкости. Выводы, полученные исходя из свойств невязкой жидкости, приходится, как правило, корректировать, вводя поправочные коэффициенты.

Общей задачей кинематики является описание движения среды. Существуют два  способа задания движения сплошной среды. Первый из них заключается  в задании так называемых кинематических уравнений движения

                               

                            (1)

Входящие сюда в качестве параметров величины , сохраняющие постоянные значения при движении среды, служат для указания выбора той точки среды, движение которой описывается уравнениями (1).Такого рода параметрами могут быть декартовы или криволинейные координаты точек среды в какой-то начальный момент времени. Совокупность величин:  носит наименование переменных Лагранжа.

При лагранжевом задании движения среды проекции скоростей и ускорений точек среды определятся равенствами

           

        (2)

Здесь точка над буквой – производная по времени  проекции вектора скорости на оси прямоугольной декартовой системы координат; проекции вектора ускорения на те же оси.

Второй наиболее используемый способ задания сплошной среды – это  способ Эйлера, заключающийся в задании  поля скорости, т.е. зависимости проекций скорости от координат точек пространства и времени :

                                                   

                                                (3)

Совокупность величин называют переменными Эйлера. Основное различие между этими двумя способами заключается в том, что в методе Лагранжа  величины являются переменными координатами движущейся частицы жидкости, а в методе Эйлера – это координаты фиксированных точек пространства, мимо которых в данный момент времени проходят частицы жидкости.

Поле скоростей будет стационарным, т.е. не изменяющимся во времени, если в  равенства (3) время не входит.

Поле скоростей (3) представляет собой бесконечное множество векторов скорости. Чтобы сделать это многообразие более обозримым, необходимо как-то упорядочить его рассмотрение. Для этого вводится представление о линиях тока в поле скоростей как о таких линиях, вдоль которых в данный момент времени векторы скорости направлены по касательным к ним в каждой точке.

О линиях тока даст наглядное представление  следующий простой опыт. Насыпем  на поверхность воды в канале легкий и хорошо видимый порошок, не растворяющийся в воде. Будем считать. Что частички порошка полностью увлекаются водой при ее движении, так что движения частиц воды и порошка на поверхности воды одинаковы (на самом деле это совсем не так; некоторая разница, особенно в тех областях, где движение воды резко ускоряется или замедляется, существует). При фотографировании с малым промежутком времени каждая частичка порошка изобразится на снимке в виде маленькой черточки. Черточки эти, соответствующие малым перемещениям частичек за время экспозиции сольются в отчетливо видимые линии, которые и будут представлять линии тока рассматриваемого движения.

Линии тока в жидкости при нестационарном поле скоростей  не совпадают с траекториями ее частиц. Действительно, рассмотрим точку М жидкости, скорость которой в данный момент времени равна . Чтобы построить линию тока для выбранного момента времени, отступим вдоль вектора скорости в смежную точку , нанесем на чертеже скорость точки , отметим на этом векторе точку , близкую к , проведем вектор ее скорости и т.д. Полигон , если стороны его взять сколь угодно малыми, представит линию тока, проведенную через данную точку и в данный момент времени. Для построения траектории частицы жидкости, в данный момент времени, находящейся в точке , проследим за движением этой частицы с течением времени. За малый промежуток времени частица переместится вдоль вектора скорости из точки в положение , причем перемещение подбором промежутка времени можно при желании сделать равным произвольному малому отрезку линии тока. Скорость в точке уже не будет равна , так как за протекший малый промежуток времени, в силу нестационарности поля, скорость изменится и станет равной, например, . Т.о., траектория далее уже пойдет по направлению , а затем и т.д.; полигон представит траекторию частицы с тем меньшей ошибкой, чем меньшими будут выбираться промежутки времени. Из построения вытекает следующий результат: при нестационарности поля скоростей линии тока совпадают с траекториями частиц.

Проведем в данный момент времени в жидкости некоторый  замкнутый, себя не пересекающий контур, контур . Через каждую точку такого контура можно провести определенную линию тока. Совокупность этих линий тока образует поверхность тока, а часть жидкости, выделенная из нее поверхностью тока, проведенной через замкнутый контур, называется трубкой тока.  Проведя через контур поверхность , заключенную внутри трубки тока и опирающуюся на контур , получим сечение трубки. Если все линии тока, расположенные внутри трубки тока и на ее поверхности, нормальны к поверхности сечения, то такое сечение называют нормальным  или  ортогональным сечением трубки.

 

 

 

 

 

 

Лекция №3 

Общие законы и уравнения гидростатики.

 

Силы, действующие в жидкостях. Гидростатическое давление. Общий случай напряженного состояния. Скорость деформации. Связь между напряженным состоянием и скоростью деформации.

 

В массе жидкости, которую  мы рассматриваем как сплошную среду, под влиянием внешних сил возникают  соответствующие внутренние силы. Проведем мысленно внутри рассматриваемой массы  поверхность, разделяющую объем массы на две части и (рис. ). Отбросим одну из них, например ; часть остается в равновесии. Это значит, что во всех точках разделяющей поверхности нужно ввести такие же силы, с которыми масса действовала на массу .

На элементарной площади  разделяющей поверхности действует сила . Площадь может быть стянута в точку с координатами . В этом случае как площадь поверхности так и сила стремятся к нулю. Отношение силы к площади поверхности стремится к пределу:

.

Значение этого предела  называется напряжением в точке с координатами , возникающим на площади . Значение напряжения в одной и той же точке зависит от ориентации выбранной площадки, на которой оно возникает и может быть направлено по отношению к ней под определенным углом.

Оценим порядок значений сил, действующих  на элементарный изолированный объем  (рис.   ), имеющий форму параллелепипеда со сторонами  . Вся система движущейся массы отнесена к координатам . На плоскостях граней изолированного параллелепипеда возникают напряжения. Их можно разложить на составляющие: нормальную к грани и расположенную в плоскости грани, которые, в свою очередь, можно разложить на составляющие, параллельные соответствующим осям координат. Составляющие напряжений, направленные перпендикулярно грани, называются нормальными напряжениями. Составляющие, находящиеся в плоскости граней, называются касательными напряжениями.

В покоящихся жидкости и газе касательные  напряжения в любой произвольной точке равны нулю и напряженное состояние определяется совокупным действием только нормальных напряжений, равных между собой ( ).

Напряжения  и являются сжимающими, так как жидкости и газы не сопротивляются растягивающим усилиям. Величина, равная модулю напряжения , в МЖГ называется гидростатическим давлением в точке и обозначается буквой :

                                                      

.                                                        (1)

Гидростатическое давление в точке также может быть представлено следующим образом. Рассмотрим в покоящейся жидкости произвольный объем , ограниченный поверхностью ; влияние жидкости, окружающей выделенный объем, можно заменить действием распределенных по поверхности    сил , направленных по нормали к этой поверхности в каждой ее точке (рис.    ).

 

 

 

Проведем секущую плоскость  , делящую объем на две части и, и отбросим  мысленно одну из них (например ). Действие отброшенной части на нижнюю часть следует заменить распределенными по поверхности силами , одна из них приходится на долю поверхности . Напряжение сжатия , возникающее при этом, определяется как частное от деления силы на площадь :

                                               

.                                               (2)

Значение этого напряжения принято называть средним гидростатическим давлением; предел отношения (2) при называется гидростатическим давлением в точке:

                                                   

.                                                   (3)

Размерность давления совпадает  с размерностью напряжения.

Гидростатическое давление обладает двумя свойствами.

Первое свойство. Сила гидростатического давления направлена по внутренней нормали к площадке, которая воспринимает это давление. Действительно, если жидкость или газ находятся в равновесии, то в любой произвольной точке касательные напряжения равны нулю и перемещение жидкой частицы вдоль площадки невозможно, так как в противном случае равновесие нарушится. Совпадение же направления действия силы гидростатического давления с внутренней нормалью доказывается свойством жидкости или газа не оказывать сопротивления растягивающим усилиям.

Второе свойство. Величина гидростатического давления в точке не зависит от ориентации (от угла наклона) площадки.

Для доказательства этого свойства выделим в покоящейся жидкости элементарный объем в форме тетраэдра  (рис.   ).

 

 

 

 

 

 

Действие жидкости, окружающей тетраэдр, заменим действием поверхностных распределенных по его граням сил давления и массовой силы , определяемой массой тетраэдра. Для рассматриваемого объема запишем условия равновесия в виде трех уравнений проекций действующих сил и трех уравнений моментов:

                                               

                                    (5)

Последнее условие (равенство  нулю главного момента) удовлетворяется  тождественно, так как при стягивании тетраэдра в точку ( ) равнодействующая всех внешних сил по отношению к выделенному объему сил проходит через центр тяжести этого объема.

Составим уравнение  проекций внешних сил на ось  . В соответствии с рис. 4 можно записать:

                                

,                              (6)

где  сила гидростатического давления на грань , сила гидростатического давления на грань ;  элементарная массовая сила, пропорциональная массе тетраэдра.

Определим каждое слагаемое  уравнения (6):

                                                  ,                                                (7) где среднее гидростатическое давление на грань , площадь которой равна ;

                                 ,                      (8) где проекция площадки (треугольник ) на плоскость ;

, 

где масса элементарного тетраэдра; ускорение массовой силы.

                                           

                                 (9)

где  ,  соответственно проекции ускорения на оси координат.

После подстановки  (7), (8) и (9) в исходное уравнение равновесия (6) имеем:

                                  

,                                 (10)

или после сокращения на 

                                                  

.                                          (11)

Пренебрегая величиной  как бесконечно малой по сравнению с и , получаем:  .

Обращаясь к условиям равновесия (4) в проекциях на и , по аналогии находим:  и , откуда следует:

                                              

.                                              (12)

Равенство (12) показывает, что гидравлическое давление на различных гранях тетраэдра с точностью до бесконечно малой величины постоянно. При стягивании тетраэдра в точку значения среднего гидростатического давления  можно заменить гидростатическим давлением в точке. Следовательно, уравнение (12) показывает, что гидростатическое давление в точке одинаково по любому направлению, т.е. не зависит от того, как ориентирована площадка, воспринимающая это давление.