Курс лекци по " Механике жидкости и газа"

Положение элементарного  тетраэдра было выбрано произвольно, поэтому можно заключить, что  гидростатическое давление является непрерывной  функцией координат пространства:

                                                 

.                                                  (13)

 

 

 

Лекция №4.  Дифференциальные уравнения равновесия жидкости (уравнения Эйлера).

 

 

Выделим в покоящейся жидкости элементарный объем в форме  прямоугольного параллелепипеда с  ребрами, параллельными осям координат  и равными соответственно (рис.   ). Со стороны окружающей жидкости на выделенный параллелепипед действуют поверхностные силы, определяемые гидростатическим давлением, а также массовые силы, пропорциональные его массе.

 

 

 

 

 

 

 

Составим уравнение равновесия для этой системы сил в проекциях  на координатную ось  . При этом будем предполагать, что гидростатическое давление есть непрерывная функция координат пространства и что его значение в центре тяжести параллелепипеда (точка М) равно . Тогда первое уравнение равновесия в проекциях на ось запишется следующим образом:

                                               

                                         (14)

где  сила гидростатического давления на грань 1-2-3-4; то же на грань 5-6-7-8;   проекция элементарной массовой силы на ось ;  -- среднее гидростатическое давление соответственно на грани 1-2-3-4  и 5-6-7-8.

Так как гидростатическое давление является функцией координат, значения давлений   и будут:

;

.

Тогда уравнение (1) примет вид:

                                    

                (15)

или 

                                                      .                                               (16)

Проделав аналогичные  операции с проекциями внешних сил  на оси  и , получим систему дифференциальных уравнений равновесия жидкости:

                                                         

                                                        (17)

Эта система уравнений  была впервые получена в 1755 году Эйлером.

Умножим каждое уравнение (17) соответственно на     и сложим их:

                                  

                          (18)

или

                                           

                                 (19)

Давление является функцией только трех независимых переменных координат  , поэтому левая часть уравнения (19) представляет собой полный дифференциал функции . Следовательно,

                                                   

                                                (20)

Уравнение (20) называется основным дифференциальным уравнением равновесия жидкости.  Это уравнение имеет общий характер и может быть использовано и для сжимаемой жидкости, так как мы не вводили никаких дополнительных ограничений на массовые силы и на плотность.

Левая часть уравнения (20) представляет собой полный дифференциал, значит, и правая его часть также должна быть полным дифференциалом.

Если принять плотность  жидкости или газа постоянной или  независимой от    , то выражение в скобках тоже будет полным дифференциалом некоторой функции , частные производные которой, равны проекциям ускорений массовых сил на соответствующие оси:

                                                       

                                                       (21)

Величины  можно рассматривать как проекции массовых сил, отнесенных к единице массы данной жидкости, поэтому функцию называют потенциальной или силовой функцией, а силы, удовлетворяющие условию (21), - силами, имеющими потенциал. Таким образом, при рассмотрении уравнения (20) с учетом выражения (21) можно сделать вывод: равновесие жидкости возможно только в том случае, когда массовые силы имеют потенциал.

В основном уравнении равновесия жидкости неизвестны только две величины и .

Следовательно, для получения  однозначного решения уравнения (20) нужно воспользоваться так называемым характеристическим уравнением, которое  определяло бы связь между физическими  свойствами и состоянием рассматриваемой  жидкости, например, связь между плотностью жидкости, ее температурой и давлением.

Поверхность, в каждой точке которой  значение данной функции постоянно, называется поверхностью уровня. В  МЖГ наибольший интерес представляет поверхность равного давления, т.е. такая поверхность, в каждой точке которой давление имеет постоянное значение.

Уравнение поверхности  равного давления просто получается из основного уравнения равновесия жидкости. так как для поверхности  уровня  в любой ее точке, и, следовательно, правая часть уравнения также равна нулю. Плотность жидкости отлична от нуля, поэтому выражение в скобках должно быть равным нулю:

                                                      

                                                     (22)

Это и есть уравнение  поверхности уровня.

Поверхность уровня обладает двумя  основными свойствами:

1. Поверхности уровня не пересекаются между собой.

2. Внешние массовые силы  направлены по внутренней нормали  к поверхности уровня.

                

 

§ Равновесие жидкости в поле силы тяжести

 

Поверхность уровня. В рассматриваемом случае массовой силой является сила тяжести, ускорением – ускорение свободного падения , поэтому в выбранной системе координат проекции единичной массовой силы на оси   будут:  , а уравнение поверхности уровня запишется в следующей форме:

                                                                

                                                            (23)

или, так как 

                                                                          

.                                                         (24)

Таким образом, поверхностью уровня (поверхностью равного давления) в однородной покоящейся жидкости будет горизонтальная плоскость, в том числе и свободная поверхность, независимо от формы сосуда или водоема. Горизонтальной плоскостью будет также граница раздела двух несмешивающихся жидкостей.

Распределение давления в покоящейся жидкости. Воспользуемся основным дифференциальным уравнением равновесия жидкости (20)  и после подстановки в него  получим:

                                                             

.                                                          (25)

После интегрирования и  деления на получим:

                                                          

                                                   (26)

Уравнение (26) называется основным уравнением гидростатики; оно выражает закон распределения гидростатического давления в покоящейся жидкости.

Для определения постоянной интегрирования рассмотрим равновесие жидкости в сосуде произвольной формы со свободной поверхнqqостью  (рис.    ). Давление в каждой точке на свободной поверхности , расстояние от произвольной плоскости сравнения (в нашем случае – плоскость ) до свободной поверхности равно .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тогда , и основное уравнение приобретает следующий вид:

                                                     

.                                           (27)

или           

                                                                

                                                   (28)

Графически уравнение (27) можно представить в виде отрезка  между плоскостью сравнения и плоскостью . Нетрудно заметить, что разность отметок представляет собой глубину погружения точки , поэтому

                                                             

.                                                        (29)

Это – другая форма  основного уравнения гидростатики, удобная для практических расчетов.

В гидравлике величина называется полным или абсолютным гидростатическим давлением. Первое слагаемое уравнения (29) принято называть внешним давлением или давлением на поверхности. Его величина остается постоянной для любой точки внутри покоящейся жидкости. Действительно, вычислим полное давление в двух произвольных точках и :

   и   .

Нетрудно заметить, что  разность этих давлений не зависит  от внешнего давления, а зависит  лишь от разности отметок выбранных точек:

                                

.                          (30)

Другими словами, давление на граничной поверхности (в частном  случае – на свободной поверхности) передается во все точки покоящейся жидкости по всем направлениям без изменения. В этом определении заключается закон Паскаля.

Как видно из уравнения (29), величина второго слагаемого зависит при  постоянной плотности жидкости  только от глубины погружения рассматриваемой точки. Эта величина называется в гидравлике избыточным давлением. Таким образом, уравнение (29) можно представить в виде:

                                                          

.                                                      (31)

Из уравнения (29) следует, что распределение гидростатического  давления по вертикали линейно зависит  от глубины погружения рассматриваемой  точки и может быть графически представлено в виде трапеции для  полного давления (рис.      ) или прямоугольного треугольника для избыточного давления   (рис.     ). Отметим, что котангенс угла наклона линии давления прямо пропорционален плотности жидкости.

 

 

 

 

 

 

 

 

Рассмотрим равновесие жидкости в  открытом сосуде, изображенном на рис.6. Предположим, что вдоль поверхности уровня внешнее давление равно атмосферному, вдоль -   нулю. Тогда изменение полного давления по вертикали графически будет изображаться  треугольником ; в вершине этого треугольника  полное давление равно нулю, на глубине оно будет или, учитывая, что вдоль линии давление атмосферное,  (где полная глубина жидкости в сосуде). Проведем вертикаль через точку  до пересечения с линиями и . Треугольник делится на две части, одна из которых (трапеция  ) определяет полное давление ниже линии , другая  ( ) – выше линии .

Выберем внутри рассматриваемой жидкости две точки  и так, чтобы одна из них  находилась ниже, а другая  выше поверхности уровня .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Определим давление в этих точках с помощью графика распределения  давления. Полное давление в точке определится отрезком , причем внешнему давлению будет соответствовать отрезок , избыточному – отрезок . Давление в точке можно представить в виде разности отрезков и . Заметим, что в обоих случаях атмосферное давление соответствует отрезкам или . В результате имеем:

 

 где   и расстояния соответственно от точек и до поверхности уровня .

Таким образом, в общем  виде можно записать

                                                           

                                                       (32)

где  расстояние от рассматриваемой точки до свободной поверхности.

Из уравнения (32) следует, что в графической интерпретации избыточное давление может быть как положительным, так и отрицательным, в то время как полное и внешнее величины сугубо положительные.

В общем случае полное давление может  быть больше или меньше атмосферного; если , разность между атмосферным давлением и полным называется вакуумом:

                                                        

,                                                     (33)

 а величина  вакуумметрической высотой. Применительно к рис.6 вакууметрическая высота – любой отрезок между линиями   и , например для точки .

В технике часто используется понятие манометрическое давление; это давление определяется разностью  между полным и атмосферным давлениями: